专题26 概率统计综合与统计决策专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题26　概率统计综合与统计决策 群哥高中数学辅导资料 专题26　概率统计综合与统计决策 一、核心知识 分步求分布列 数学期望 方差与风险 几何分布 递推求概率 频率估计概率 分层抽样估计 独立性检验 决策准则 二、题型精练 题型一　分布列的综合求法 【方法与技巧】 求复杂分布列先拆阶段：把随机试验分成先后几步，每一步的条件概率用树状图串起来。 遇到『最大值』『最小值』『差的绝对值』这类随机变量，先穷举取值再逐个计数，别硬套公式。 取球模型先分清是不放回（组合数）还是有放回（独立重复、二项分布）。 算完分布列一定要验一遍概率之和是否为 ，这是最便宜的纠错手段。 【例题精讲】 1．甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，记 为两人点数之差的绝对值，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】基本事件共 个，两人点数相同有 个，概率为 。故选：B。 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中最大的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】总数 ；最大数为 需取到 且另两个从 中选，有 种，概率为 。故选：A。 3．袋中有 个红球、 个白球，从中不放回地任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】总数 ，恰 个红球有 种，概率为 。故选：C。 【变式训练】 1．同时掷两枚质地均匀的骰子，记 为点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】和为 的有 共 个，概率为 。故选：D。 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中较小的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】总数 ；较小数为 则另一个从 中选，有 种，概率为 。故选：C。 3．甲袋中有 个红球、 个白球，乙袋中有 个红球、 个白球，从两袋中各取 个球，记 为取到红球的总个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】恰 个红球为『甲红乙白』或『甲白乙红』，概率为 。故选：B。 4．将 个相同的小球随机放入 个不同的盒子，记 为 号盒中小球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】每个球不入 号盒的概率为 ，三个球独立，概率为 。故选：D。 5．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总数 ，恰 个红球有 种，概率为 。故选：B。 6．掷一枚质地均匀的骰子 次，记 为两次点数的最大值，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两次都不超过 且至少一次为 ，有 种，概率为 。故选：B。 【巩固练习】 1．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为 的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】 共 个，概率为 。故答案为：。 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中较大的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】较大数为 则另一个从 中选，有 种，概率为 。故选：A。 3．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到白球的个数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．连续掷一枚质地均匀的骰子 次，记 为出现 点的次数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 5．有 五张卡片，从中任取 张，记 为两张数字之差的绝对值，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】差为 的有 共 种，概率为 。故答案为：。 6．盒中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 7．抛掷 枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．甲、乙两人各掷一枚骰子，记 为两人点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】和为 有 种，概率为 。故选：D。 题型二　期望与决策问题 【方法与技巧】 决策问题的通法：先列出每个方案收益的分布列，再算期望，按期望大小择优。 期望相同时再比方差：方差小的风险小，适合稳健型选择；方差大的机会大，适合搏一把。 算期望收益别忘了把成本（票价、投入、保费等）一起算进去，只看收入会算错。 『期望等于成本』意味着长期看不赚不亏，这是判断方案是否划算的分水岭。 【例题精讲】 1．某投资有两种方案。方案甲：获利 元的概率为 ，亏损 元的概率为 ；方案乙：获利 元的概率为 ，不赔不赚的概率为 。仅看期望收益，应选择（　　） A．方案甲 B．两方案相同 C．方案乙 D．无法判断 【答案】C 【详解】甲的期望收益为 元，乙为 元，乙更高。故选：C。 2．某抽奖活动每张票价 元，中奖概率为 ，奖金 元，则购买一张彩票的期望收益为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】期望奖金为 元，减去成本 元，期望收益为 元。故选：B。 3．某人参加保险，出险概率为 ，出险可获赔 元，则保险公司为不亏本，至少应收保费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】期望赔付为 元，故保费至少为 元。故选：A。 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．甲、乙两种产品的月利润期望都是 万元，方差分别为 与 ，若企业想稳一点，应选择（　　） A．产品乙 B．产品甲 C．两者相同 D．无法判断 【答案】A 【详解】期望相同看方差，方差小的波动小，选乙。故选：A。 3．某游戏每次获胜可获得 分、失败扣 分，胜率为 ，则玩一次的期望得分为（　　） A． 分 B． 分 C． 分 D． 分 【答案】D 【详解】 分。故选：D。 4．某商店进一批货，若当天售出可获利 元，售不出则亏损 元，售出概率为 ，则期望利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】 元。故选：B。 5．两张彩票：A 中奖概率 、奖金 元；B 中奖概率 、奖金 元。仅看期望奖金，（　　） A．B 更高 B．A 更高 C．两张相同 D．无法比较 【答案】B 【详解】A 的期望奖金为 元，B 为 元，故 A 更高。故选：B。 6．关于用期望作决策，下列说法正确的是（　　） A．期望高的方案一定每次都更好 B．期望与风险完全无关 C．期望收益低于成本时，长期做下去会亏 D．期望相同的方案没有区别 【答案】C 【详解】期望反映长期平均水平，低于成本即长期亏损；期望相同还要看方差（风险）。故选：C。 【巩固练习】 1．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望值为______．　　　　 【答案】 【详解】命中次数 ，期望为 。故答案为：。 2．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．某抽奖券每张 元，中奖概率为 ，奖金 元，则买一张的期望收益为______元．　　　　 【答案】 【详解】期望奖金 元，减成本 元，收益为 元。故答案为：。 4．甲、乙两台设备生产零件的次品率分别为 、，各生产 件，则次品总数的期望为（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 【答案】C 【详解】 件。故选：C。 5．某投资获利 万元，其中 ，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．某厂家有两种销售策略，策略一期望利润 万元、方差 ；策略二期望利润 万元、方差 。若想风险小一些，应选择（　　） A．策略一 B．策略二 C．两者相同 D．无法判断 【答案】B 【详解】期望相同，方差小的风险小，选策略二。故选：B。 7．某班有 名学生，每人通过某项测试的概率为 ，则通过人数的期望为______人．　　　　 【答案】 【详解】 人。故答案为：。 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 题型三　概率与数列、递推的交汇 【方法与技巧】 轮流型游戏（先掷出某点者胜）用等比数列求和：把每一轮的胜率列出来再求无穷和。 传球、游走类问题用递推：设 为第 步后的概率，写出 与 的关系再迭代。 首次成功问题用几何分布模型：第 次才首次成功的概率为 。 递推关系写出来后先算前几项找规律，再代入题目要的项，比硬解通项快。 【例题精讲】 1．甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，先掷出 点者获胜，甲先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲在第 次掷出 点即胜，概率为 。故选：D。 2．袋中有 个红球、 个白球，每次随机取 个后放回，则第 次才首次取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】前两次取到白球、第 次取到红球，概率为 。故选：C。 3．甲、乙、丙三人传球，从甲开始，每次持球者等可能地传给其余两人之一，则传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第 次必传给乙或丙，第 次由乙（丙）传给甲的概率为 ，故为 。故选：B。 【变式训练】 1．在上题的传球游戏中，传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设传 次后在甲手中的概率为 ，则 ，，故 ，。故选：C。 2．接上题，传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选：A。 3．某射手每次射击命中目标的概率为 ，且各次独立，则他第 次射击才首次命中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】前两次未中、第 次命中，概率为 。故选：C。 4．甲、乙两人轮流投篮，先投中者获胜，甲先投，两人命中率都是 ，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲在第 次投中即胜，概率为 。故选：A。 5．一个袋中有 个白球，每次从中取 个球后放回并再放入 个白球，则第 次取到白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】袋中始终只有白球，故第 次取到白球的概率为 。故选：C。 6．甲、乙两人轮流掷骰子，先掷出 点者胜，乙先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】乙先掷时甲胜率为 。故选：D。 【巩固练习】 1．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则甲在第 轮就获胜的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】甲第一次掷出 点即胜，概率为 。故答案为：。 2．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则前两轮内分出胜负的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 3．某射手每次命中率为 ，独立射击，则他第 次才首次命中的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．甲、乙、丙三人传球，从甲开始，传球 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，，得 。故选：B。 5．袋中有 个红球、 个白球，有放回地取球，则首次取到红球所需次数的期望为______．　　　　 【答案】 【详解】每次取到红球的概率为 ，首次成功所需次数服从几何分布，期望为 。故答案为：。 6．甲、乙两人轮流掷一枚均匀硬币，先掷出正面者胜，甲先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲胜率为 。故选：A。 7．某设备每小时发生故障的概率为 ，且各小时相互独立，则前 小时都正常的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．关于递推求概率，下列说法正确的是（　　） A．直接猜测答案即可 B．递推只适用于独立事件 C．传球问题不能用递推 D．先由全概率公式写出 与 的关系，再迭代求值 【答案】D 【详解】递推法的核心是用全概率公式建立相邻两项的关系，再逐项迭代。故选：D。 题型四　概率与函数、不等式的交汇 【方法与技巧】 把概率写成参数的函数 ，再按题设列不等式或求最值，是概率与函数交汇的标准动作。 『至少一次发生』的概率写成 ，是单调递增函数，列不等式可直接解出 的下界。 多局比赛的获胜概率通常可写成关于单局胜率的多项式，代入端点值检验是常用的验算手段。 含参数的概率问题要检查参数的取值范围，解出的解必须落回 内才有意义。 【例题精讲】 1．甲、乙比赛采取三局两胜制，每局甲胜的概率为 （），各局独立，则当 时甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲胜率为 ，代入 得 。故选：A。 2．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则至少命中 次的概率不小于 时， 应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 ，故 ，即 。故选：A。 3．已知 且 ，，则正整数 可以取（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 得 ； 得 ，故 可取 。故选：D。 【变式训练】 1．某射手命中率为 ，独立射击 次，则至少命中 次的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用对立事件：。故选：A。 2．函数 （）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当 时取最大值 。故选：B。 3．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，取到红球的概率不小于 ，则 至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即 ，得 。故选：A。 4．已知 且 ，则 应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选：B。 5．甲、乙比赛采取三局两胜制，每局甲胜概率为 ，则甲获胜概率 在 时的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 6．某元件正常工作的概率为 ，三个这样的元件并联（只要有一个正常即正常）且相互独立，则系统正常工作的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用对立事件：全部失效的概率为 ，故正常概率为 。故选：D。 【巩固练习】 1．甲、乙三局两胜制比赛，每局甲胜概率为 ，则甲获胜概率 ，当 时 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．某射手命中率为 ，独立射击 次，至少命中 次的概率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即 ，得 ，故 。故选：B。 3．已知 且 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 4．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【详解】，即 ，解得 或 。故选：D。 5．某射手每次命中率为 ，若要使至少命中一次的概率大于 ，则至少要射击______次．　　　　 【答案】 【详解】，即 ，而 ，，故至少 次。故答案为：。 6．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．单调递增 D．为常数 【答案】C 【详解】（），故单调递增。故选：C。 7．甲、乙两人各掷一枚骰子，记 为点数之和，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】每枚骰子点数期望为 ，故 。故答案为：。 8．设 ，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ，即 。故选：C。 题型五　统计与概率的综合 【方法与技巧】 统计与概率综合的标准套路：先用样本频率估计概率，再把这个概率当已知去求分布列与期望。 抽样估计总体时，样本容量越大估计越可靠；分层抽样估计总体均值要用各层占比加权。 独立性检验之后常接一问『从某组中任取若干，求某类个数的分布列』，注意此时要用条件概率。 频率与概率的关系要写清楚：频率是随机变量，概率是常数，大量试验下频率稳定在概率附近。 【例题精讲】 1．从一批产品中随机抽取 件检验，发现有 件次品，则用频率估计这批产品的次品率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用频率估计概率：。故选：A。 2．由抽检估计某批产品的次品率为 ，现从中任取 件，记 为次品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把 看作服从 ，期望为 。故选：B。 3．某射手射击 次命中 次，用频率估计其命中率，则他独立射击 次恰好命中 次的概率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命中率估计为 ，故概率为 。故选：D。 【变式训练】 1．某批种子发芽试验中， 粒种子有 粒发芽，则估计该批种子的发芽率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．接上题，若播下 粒种子，记 为发芽的粒数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 近似服从 ，期望为 。故选：D。 3．从某校随机抽取 名学生，其中有 人喜欢数学，则估计该校学生喜欢数学的比例为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 4．接上题，若从该校任取 名学生，记 为喜欢数学的人数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 5．为调查某地区成年人吸烟情况，分层抽样得到城镇样本 人、吸烟率 ，农村样本 人、吸烟率 ，则该地区成年人吸烟率的估计值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】加权平均：。故选：B。 6．关于用样本估计总体，下列说法正确的是（　　） A．样本频率等于总体概率 B．抽样方式对估计没有影响 C．样本容量越大，估计一般越可靠 D．样本容量越小估计越准确 【答案】C 【详解】大样本下频率更稳定地接近概率，估计更可靠。故选：C。 【巩固练习】 1．某厂抽检 件产品，发现 件不合格，则估计该厂产品的不合格率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．接上题，从该厂产品中任取 件，记 为不合格品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．某射手射击 次命中 次，则估计其命中率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．接上题，他独立射击 次，恰好命中 次的概率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 5．某班 名学生中随机抽取 名，测得平均身高为 cm，则估计该班平均身高为______cm．　　　　 【答案】 【详解】用样本平均数估计总体平均数，为 cm。故答案为：。 6．某种电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 ，则其平均寿命为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D．无法确定 【答案】A 【详解】正态分布的第一个参数就是均值，故平均寿命为 小时。故选：A。 7．已知某随机变量 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由对称性，。故答案为：。 8．在独立性检验中，若算得 ，则下列结论正确的是（　　） A．有 的把握认为两个变量有关 B．有 的把握认为两个变量有关 C．没有 的把握认为两个变量有关 D．两个变量一定无关 【答案】A 【详解】，故有 的把握认为两个变量有关。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．从 中任取 个不同的数，则这两个数之和为 的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】和为 的有 共 种，概率为 。故选：C。 2．某射手每次命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 4．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲胜率为 。故选：C。 5．某射手命中率为 ，独立射击 次至少命中 次的概率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，得 ，故 。故选：C。 6．抽检 件产品发现 件次品，则估计次品率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对称性得 。故选：D。 8．某投资获利期望为 万元，成本为 万元，则该投资（　　） A．长期看会盈利 B．不赚不亏 C．无法判断 D．长期看会亏损 【答案】D 【详解】期望收益 万元低于成本 万元，长期做下去会亏。故选：D。 【多项选择题】 9．关于分布列的求法，下列说法正确的是（　　） A．要先确定随机变量的所有可能取值 B．对每个取值算出对应概率 C．所有概率之和必须等于 D．取值可以随意设定 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；随机变量的取值由问题决定，不能随意设定，D 错误。故选：ABC。 10．关于用期望作决策，下列说法正确的是（　　） A．期望收益越大，长期平均收益越高 B．期望相同的方案还应比较方差 C．成本要计入期望收益的计算 D．期望一定等于实际收益 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；期望是理论平均值，单次实际收益未必等于期望，D 错误。故选：ABC。 11．关于概率与数列、递推的交汇，下列说法正确的是（　　） A．轮流取胜问题常化为无穷等比数列求和 B．传球问题可用递推关系 C．首次成功问题对应几何分布 D．所有概率问题都能用等比数列解决 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；D 明显夸大，错误。故选：ABC。 【填空题】 12．某射手命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 13．甲、乙轮流掷骰子先掷出 点者胜，甲先掷，则乙获胜的概率为______．　　　　 【答案】 【详解】甲胜率为 ，故乙胜率为 。故答案为：。 14．抽检 件产品发现 件次品，则估计次品率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题26　概率统计综合与统计决策 群哥高中数学辅导资料 专题26　概率统计综合与统计决策 一、核心知识 分步求分布列 数学期望 方差与风险 几何分布 递推求概率 频率估计概率 分层抽样估计 独立性检验 决策准则 二、题型精练 题型一　分布列的综合求法 【方法与技巧】 求复杂分布列先拆阶段：把随机试验分成先后几步，每一步的条件概率用树状图串起来。 遇到『最大值』『最小值』『差的绝对值』这类随机变量，先穷举取值再逐个计数，别硬套公式。 取球模型先分清是不放回（组合数）还是有放回（独立重复、二项分布）。 算完分布列一定要验一遍概率之和是否为 ，这是最便宜的纠错手段。 【例题精讲】 1．甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，记 为两人点数之差的绝对值，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中最大的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．袋中有 个红球、 个白球，从中不放回地任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．同时掷两枚质地均匀的骰子，记 为点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中较小的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．甲袋中有 个红球、 个白球，乙袋中有 个红球、 个白球，从两袋中各取 个球，记 为取到红球的总个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．将 个相同的小球随机放入 个不同的盒子，记 为 号盒中小球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．掷一枚质地均匀的骰子 次，记 为两次点数的最大值，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为 的概率为______．　　　　 2．从 中任取 个不同的数，记 为其中较大的数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到白球的个数，则 的值为______．　　　　 4．连续掷一枚质地均匀的骰子 次，记 为出现 点的次数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．有 五张卡片，从中任取 张，记 为两张数字之差的绝对值，则 的值为______．　　　　 6．盒中有 个红球、 个白球，从中任取 个，记 为取到红球的个数，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．抛掷 枚质地均匀的硬币，记 为正面向上的枚数，则 的值为______．　　　　 8．甲、乙两人各掷一枚骰子，记 为两人点数之和，则 等于（　　） A． B． C． D． 题型二　期望与决策问题 【方法与技巧】 决策问题的通法：先列出每个方案收益的分布列，再算期望，按期望大小择优。 期望相同时再比方差：方差小的风险小，适合稳健型选择；方差大的机会大，适合搏一把。 算期望收益别忘了把成本（票价、投入、保费等）一起算进去，只看收入会算错。 『期望等于成本』意味着长期看不赚不亏，这是判断方案是否划算的分水岭。 【例题精讲】 1．某投资有两种方案。方案甲：获利 元的概率为 ，亏损 元的概率为 ；方案乙：获利 元的概率为 ，不赔不赚的概率为 。仅看期望收益，应选择（　　） A．方案甲 B．两方案相同 C．方案乙 D．无法判断 　 　 　 2．某抽奖活动每张票价 元，中奖概率为 ，奖金 元，则购买一张彩票的期望收益为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 　 　 　 3．某人参加保险，出险概率为 ，出险可获赔 元，则保险公司为不亏本，至少应收保费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 　 　 　 【变式训练】 1．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两种产品的月利润期望都是 万元，方差分别为 与 ，若企业想稳一点，应选择（　　） A．产品乙 B．产品甲 C．两者相同 D．无法判断 3．某游戏每次获胜可获得 分、失败扣 分，胜率为 ，则玩一次的期望得分为（　　） A． 分 B． 分 C． 分 D． 分 4．某商店进一批货，若当天售出可获利 元，售不出则亏损 元，售出概率为 ，则期望利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．两张彩票：A 中奖概率 、奖金 元；B 中奖概率 、奖金 元。仅看期望奖金，（　　） A．B 更高 B．A 更高 C．两张相同 D．无法比较 6．关于用期望作决策，下列说法正确的是（　　） A．期望高的方案一定每次都更好 B．期望与风险完全无关 C．期望收益低于成本时，长期做下去会亏 D．期望相同的方案没有区别 【巩固练习】 1．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望值为______．　　　　 2．随机变量 的分布列为 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．某抽奖券每张 元，中奖概率为 ，奖金 元，则买一张的期望收益为______元．　　　　 4．甲、乙两台设备生产零件的次品率分别为 、，各生产 件，则次品总数的期望为（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 5．某投资获利 万元，其中 ，，则 的值为______．　　　　 6．某厂家有两种销售策略，策略一期望利润 万元、方差 ；策略二期望利润 万元、方差 。若想风险小一些，应选择（　　） A．策略一 B．策略二 C．两者相同 D．无法判断 7．某班有 名学生，每人通过某项测试的概率为 ，则通过人数的期望为______人．　　　　 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 题型三　概率与数列、递推的交汇 【方法与技巧】 轮流型游戏（先掷出某点者胜）用等比数列求和：把每一轮的胜率列出来再求无穷和。 传球、游走类问题用递推：设 为第 步后的概率，写出 与 的关系再迭代。 首次成功问题用几何分布模型：第 次才首次成功的概率为 。 递推关系写出来后先算前几项找规律，再代入题目要的项，比硬解通项快。 【例题精讲】 1．甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，先掷出 点者获胜，甲先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．袋中有 个红球、 个白球，每次随机取 个后放回，则第 次才首次取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．甲、乙、丙三人传球，从甲开始，每次持球者等可能地传给其余两人之一，则传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．在上题的传球游戏中，传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 2．接上题，传 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 3．某射手每次射击命中目标的概率为 ，且各次独立，则他第 次射击才首次命中的概率为（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙两人轮流投篮，先投中者获胜，甲先投，两人命中率都是 ，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 5．一个袋中有 个白球，每次从中取 个球后放回并再放入 个白球，则第 次取到白球的概率为（　　） A． B． C． D． 6．甲、乙两人轮流掷骰子，先掷出 点者胜，乙先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则甲在第 轮就获胜的概率为______．　　　　 2．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则前两轮内分出胜负的概率为（　　） A． B． C． D． 3．某射手每次命中率为 ，独立射击，则他第 次才首次命中的概率为______．　　　　 4．甲、乙、丙三人传球，从甲开始，传球 次后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 5．袋中有 个红球、 个白球，有放回地取球，则首次取到红球所需次数的期望为______．　　　　 6．甲、乙两人轮流掷一枚均匀硬币，先掷出正面者胜，甲先掷，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 7．某设备每小时发生故障的概率为 ，且各小时相互独立，则前 小时都正常的概率为______．　　　　 8．关于递推求概率，下列说法正确的是（　　） A．直接猜测答案即可 B．递推只适用于独立事件 C．传球问题不能用递推 D．先由全概率公式写出 与 的关系，再迭代求值 题型四　概率与函数、不等式的交汇 【方法与技巧】 把概率写成参数的函数 ，再按题设列不等式或求最值，是概率与函数交汇的标准动作。 『至少一次发生』的概率写成 ，是单调递增函数，列不等式可直接解出 的下界。 多局比赛的获胜概率通常可写成关于单局胜率的多项式，代入端点值检验是常用的验算手段。 含参数的概率问题要检查参数的取值范围，解出的解必须落回 内才有意义。 【例题精讲】 1．甲、乙比赛采取三局两胜制，每局甲胜的概率为 （），各局独立，则当 时甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．某射手每次射击命中率为 ，独立射击 次，则至少命中 次的概率不小于 时， 应满足（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知 且 ，，则正整数 可以取（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．某射手命中率为 ，独立射击 次，则至少命中 次的概率为（　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．袋中有 个红球、 个白球，从中任取 个球，取到红球的概率不小于 ，则 至少为（　　） A． B． C． D． 4．已知 且 ，则 应满足（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙比赛采取三局两胜制，每局甲胜概率为 ，则甲获胜概率 在 时的值为（　　） A． B． C． D． 6．某元件正常工作的概率为 ，三个这样的元件并联（只要有一个正常即正常）且相互独立，则系统正常工作的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．甲、乙三局两胜制比赛，每局甲胜概率为 ，则甲获胜概率 ，当 时 的值为______．　　　　 2．某射手命中率为 ，独立射击 次，至少命中 次的概率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 且 ，则 的值为______．　　　　 4．已知 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 或 5．某射手每次命中率为 ，若要使至少命中一次的概率大于 ，则至少要射击______次．　　　　 6．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．单调递增 D．为常数 7．甲、乙两人各掷一枚骰子，记 为点数之和，则 的值为______．　　　　 8．设 ，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 题型五　统计与概率的综合 【方法与技巧】 统计与概率综合的标准套路：先用样本频率估计概率，再把这个概率当已知去求分布列与期望。 抽样估计总体时，样本容量越大估计越可靠；分层抽样估计总体均值要用各层占比加权。 独立性检验之后常接一问『从某组中任取若干，求某类个数的分布列』，注意此时要用条件概率。 频率与概率的关系要写清楚：频率是随机变量，概率是常数，大量试验下频率稳定在概率附近。 【例题精讲】 1．从一批产品中随机抽取 件检验，发现有 件次品，则用频率估计这批产品的次品率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．由抽检估计某批产品的次品率为 ，现从中任取 件，记 为次品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．某射手射击 次命中 次，用频率估计其命中率，则他独立射击 次恰好命中 次的概率约为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．某批种子发芽试验中， 粒种子有 粒发芽，则估计该批种子的发芽率为（　　） A． B． C． D． 2．接上题，若播下 粒种子，记 为发芽的粒数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．从某校随机抽取 名学生，其中有 人喜欢数学，则估计该校学生喜欢数学的比例为（　　） A． B． C． D． 4．接上题，若从该校任取 名学生，记 为喜欢数学的人数，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．为调查某地区成年人吸烟情况，分层抽样得到城镇样本 人、吸烟率 ，农村样本 人、吸烟率 ，则该地区成年人吸烟率的估计值为（　　） A． B． C． D． 6．关于用样本估计总体，下列说法正确的是（　　） A．样本频率等于总体概率 B．抽样方式对估计没有影响 C．样本容量越大，估计一般越可靠 D．样本容量越小估计越准确 【巩固练习】 1．某厂抽检 件产品，发现 件不合格，则估计该厂产品的不合格率为______．　　　　 2．接上题，从该厂产品中任取 件，记 为不合格品件数，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．某射手射击 次命中 次，则估计其命中率为______．　　　　 4．接上题，他独立射击 次，恰好命中 次的概率约为（　　） A． B． C． D． 5．某班 名学生中随机抽取 名，测得平均身高为 cm，则估计该班平均身高为______cm．　　　　 6．某种电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 ，则其平均寿命为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D．无法确定 7．已知某随机变量 ，则 的值为______．　　　　 8．在独立性检验中，若算得 ，则下列结论正确的是（　　） A．有 的把握认为两个变量有关 B．有 的把握认为两个变量有关 C．没有 的把握认为两个变量有关 D．两个变量一定无关 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．从 中任取 个不同的数，则这两个数之和为 的概率为（　　） A． B． C． D． 2．某射手每次命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙轮流掷骰子，先掷出 点者胜，甲先掷，则甲胜的概率为（　　） A． B． C． D． 5．某射手命中率为 ，独立射击 次至少命中 次的概率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．抽检 件产品发现 件次品，则估计次品率为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．某投资获利期望为 万元，成本为 万元，则该投资（　　） A．长期看会盈利 B．不赚不亏 C．无法判断 D．长期看会亏损 【多项选择题】 9．关于分布列的求法，下列说法正确的是（　　） A．要先确定随机变量的所有可能取值 B．对每个取值算出对应概率 C．所有概率之和必须等于 D．取值可以随意设定 10．关于用期望作决策，下列说法正确的是（　　） A．期望收益越大，长期平均收益越高 B．期望相同的方案还应比较方差 C．成本要计入期望收益的计算 D．期望一定等于实际收益 11．关于概率与数列、递推的交汇，下列说法正确的是（　　） A．轮流取胜问题常化为无穷等比数列求和 B．传球问题可用递推关系 C．首次成功问题对应几何分布 D．所有概率问题都能用等比数列解决 【填空题】 12．某射手命中率为 ，独立射击 次，则命中次数的期望为______．　　　　 13．甲、乙轮流掷骰子先掷出 点者胜，甲先掷，则乙获胜的概率为______．　　　　 14．抽检 件产品发现 件次品，则估计次品率为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $