专题29 双曲线与抛物线专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题29　双曲线与抛物线 群哥高中数学辅导资料 专题29　双曲线与抛物线 一、核心知识 双曲线的定义 双曲线标准方程 双曲线的 a,b,c 离心率 渐近线 焦点到渐近线距离 共渐近线系 抛物线的定义 抛物线标准方程 抛物线焦点与准线 焦半径 通径 弦长公式 点差法 二、题型精练 题型一　双曲线的定义与标准方程 【方法与技巧】 双曲线定义：（），绝对值别丢，两支对应两种符号。 焦点位置看正项：正项是 项则焦点在 轴，正项是 项则焦点在 轴。 的关系是 （注意不是 ）， 永远是最大的。 写标准方程先定焦点所在轴，再定 与 ，最后用 验一遍。 【例题精讲】 1．双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 ，焦距 。故选：A。 2．实半轴长为 、虚半轴长为 且焦点在 轴上的双曲线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】焦点在 轴，故 项为正，，，方程为 。故选：B。 3．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 【变式训练】 1．双曲线 的左焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，焦点在 轴上，故左焦点为 。故选：A。 2．双曲线 的焦点所在坐标轴为（　　） A． 轴 B．直线 C．无法确定 D． 轴 【答案】D 【详解】 项系数为正，故焦点在 轴上。故选：D。 3．已知双曲线中 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，故 。故选：C。 4．双曲线 的半焦距 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．双曲线 的实轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即 ，故实轴长 。故选：D。 6．若点 在双曲线上，两焦点为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线定义，距离之差的绝对值等于实轴长 。故选：B。 【巩固练习】 1．双曲线 的虚半轴长为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 2．焦点为 且实半轴长为 的双曲线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】焦点在 轴，，，故 ，方程为 。故选：C。 3．双曲线 的焦距为______．　　　　 【答案】 【详解】，焦距为 。故答案为：。 4．双曲线 的半焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．已知双曲线中 ，，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．双曲线 上一点到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由定义，差的绝对值为 。故选：A。 7．双曲线 的虚半轴长为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 8．关于双曲线的标准方程，下列说法正确的是（　　） A．分母大的一定是 B． 一定大于 C．标准方程右端可以是 D．正项是 时焦点在 轴上 【答案】D 【详解】焦点所在轴由正项决定； 与 没有固定大小关系，右端恒为 。故选：D。 题型二　双曲线的几何性质（渐近线、离心率） 【方法与技巧】 焦点在 轴的双曲线 的渐近线为 ；焦点在 轴则为 。 离心率 ， 越大开口越阔； 时是等轴双曲线。 焦点到渐近线的距离恒等于 ，这个结论可以直接当结论用，能省一大堆计算。 共渐近线的双曲线可设为 （）， 与 对应共轭的两支。 【例题精讲】 1．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】焦点在 轴，渐近线为 。故选：D。 2．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 3．渐近线为 且实半轴长为 、焦点在 轴上的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 且 得 ，方程为 。故选：C。 【变式训练】 1．若双曲线（焦点在 轴）的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 即 ，故 ，。故选：D。 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故渐近线为 。故选：D。 3．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】焦点 到渐近线 的距离为 ，恰等于 。故选：C。 4．与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可设为（　　） A． B．（） C． D． 【答案】B 【详解】共渐近线的双曲线系只需把常数 换成参数 。故选：B。 5．双曲线 的共轭双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共轭双曲线把实轴与虚轴互换，方程为 。故选：A。 6．关于双曲线的离心率，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 可以小于 【答案】B 【详解】双曲线中 ，故 。故选：B。 【巩固练习】 1．双曲线 的渐近线方程为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 3．若双曲线（焦点在 轴）的一条渐近线为 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】渐近线为 ，故 。故答案为：。 4．双曲线 的两条渐近线的夹角情况为（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．互相垂直 D．重合 【答案】B 【详解】两条渐近线 关于 轴对称。故选：B。 5．若双曲线的离心率 ，且实半轴长为 ，则半焦距为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】焦点在 轴，渐近线为 。故选：B。 7．等轴双曲线的两条渐近线互相______．　　　　 【答案】垂直 【详解】等轴双曲线 ，渐近线斜率为 ，故互相垂直。故答案为：垂直。 8．若双曲线（焦点在 轴）的渐近线为 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ，。故选：C。 题型三　抛物线的定义与标准方程 【方法与技巧】 抛物线定义：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等，准线一定不经过焦点。 四种标准方程靠一次项定轴、靠系数符号定开口： 开口向右， 开口向下。 焦点坐标是 而不是 ，准线是 ，这是最高频的失分点。 先把方程化成标准形式 或 （），再读焦点与准线。 【例题精讲】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 即 ，焦点为 。故选：D。 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】准线为 。故选：B。 3．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】焦点在 轴正半轴， 即 ，方程为 。故选：D。 【变式训练】 1．抛物线 （）的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由标准方程知焦点为 。故选：B。 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 即 ，开口向下，准线为 。故选：C。 3．顶点在原点、准线为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】准线 得 ，开口向右，方程为 。故选：A。 4．焦点为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 即 ，方程为 。故选：D。 5．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 得 ，焦点为 。故选：B。 6．抛物线 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】标准方程的顶点在原点 。故选：B。 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 【答案】 【详解】 得 ，焦点为 。故答案为：。 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，准线为 。故选：A。 3．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 【答案】 【详解】 得 ，开口向下，焦点为 。故答案为：。 4．顶点在原点、开口向左且 的抛物线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向左时方程为 。故选：A。 5．抛物线 的焦点到准线的距离为______．　　　　 【答案】 【详解】焦点到准线的距离等于 。故答案为：。 6．抛物线 （）的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】开口向上时准线在下方，为 。故选：D。 7．若抛物线的准线为 ，则其标准方程为______．　　　　 【答案】 【详解】准线在 轴上方说明开口向下， 对应 得 ，方程为 。故答案为：。 8．关于抛物线的标准方程，下列说法正确的是（　　） A．系数为正一定开口向上 B．一次项是哪个字母，对称轴就是哪条坐标轴 C． 一定等于 D．焦点一定在 轴上 【答案】B 【详解】一次项为 则对称轴为 轴，一次项为 则对称轴为 轴。故选：B。 题型四　抛物线的几何性质（焦半径、焦点弦） 【方法与技巧】 焦半径公式：抛物线 上点 到焦点的距离为 ，直接代入横坐标即可。 通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为 ，也是所有焦点弦中最短的。 焦点弦长公式为 （ 为弦所在直线与对称轴的夹角）。 涉及『到焦点距离』就联想到『到准线距离』，二者相等，常能把距离和转化为横坐标的运算。 【例题精讲】 1．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由焦半径公式，距离为 。故选：A。 2．抛物线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】通径长为 ，而 。故选：B。 3．抛物线 上横坐标为 的点到准线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】准线为 ，点到准线的距离为 。故选：B。 【变式训练】 1．抛物线 上的点到焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】顶点到焦点的距离最小，为 。故选：C。 2．抛物线 的所有焦点弦中，最短的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最短的焦点弦是通径，长为 。故选：A。 3．抛物线 上点 到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由焦半径公式，距离为 。故选：A。 4．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】距离为 。故选：D。 5．过抛物线 的焦点且斜率为 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线为 ，联立得 ，弦长为 。故选：A。 6．抛物线 上纵坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由焦半径公式，距离为 。故选：A。 【巩固练习】 1．抛物线 的通径长为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．抛物线 上横坐标为 的点到准线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】准线为 ，距离为 。故选：D。 3．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 【答案】 【详解】距离为 。故答案为：。 4．抛物线 的焦点弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点弦最短为通径，长为 。故选：A。 5．抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则 的横坐标为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故答案为：。 6．抛物线 上横坐标为 的点到顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，点到顶点距离为 。故选：B。 7．过抛物线 焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的弦长为______．　　　　 【答案】 【详解】即通径，长为 。故答案为：。 8．关于抛物线的焦半径，下列说法正确的是（　　） A．它等于该点的横坐标 B．它恒等于 C．它随点的位置变化但不超过 D．它等于该点到准线的距离 【答案】D 【详解】由抛物线定义，到焦点的距离等于到准线的距离。故选：D。 题型五　直线与双曲线、抛物线的位置关系 【方法与技巧】 直线与圆锥曲线的位置关系统一用判别式：联立后看 的符号， 是相切的代数刻画。 直线与双曲线只有一个交点有两种可能：相切，或与渐近线平行（此时 退化），必须区分。 弦长公式 ，用韦达定理算 即可。 中点弦问题用『点差法』：把两端点代入方程相减，直接得到中点坐标与斜率的关系。 【例题精讲】 1．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 【答案】D 【详解】联立得 ，即 ，只有一解 ，故只有一个交点。故选：D。 2．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】A 【详解】联立得 ，即 或 ，故有两个交点。故选：A。 3．若直线 与抛物线 相切，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立得 ，令 得 ，解得 。故选：B。 【变式训练】 1．直线 被抛物线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立得 ，故 ；由斜率为 得 ，弦长为 。故选：B。 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】联立得 ，，故无交点。故选：C。 3．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】B 【详解】代入 得 ，即 ，有两个解。故选：B。 4．过点 且与抛物线 相切的直线中，斜率存在的那条直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线 ，联立得 ；令 ，解得 （另有斜率不存在的切线 ）。故选：A。 5．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相交于两点 B．相切 C．相离 D．重合 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，有两个解，故相交于两点。故选：A。 6．抛物线 的弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用点差法：两端点代入相减得 ；由中点纵坐标为 知 ，故 ，得 。故选：C。 【巩固练习】 1．直线 与抛物线 的交点坐标为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 。故答案为：。 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】代入得 ，即 ，只有一个交点 。故选：C。 3．若直线 与双曲线 无交点，则 的取值范围为______．　　　　 【答案】 【详解】无交点要求直线斜率不小于渐近线斜率，即 。故答案为：。 4．抛物线 上两点连线的中点为 ，则该弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点差法得斜率 ，直线为 ；联立得 ，故 ，弦长为 。故选：A。 5．直线 与抛物线 的位置关系是______．　　　　 【答案】相离 【详解】联立得 ，即 ，无实解，故相离。故答案为：相离。 6．过抛物线 的焦点且斜率为 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点弦长 ，其中 ，故 ，弦长为 。故选：A。 7．双曲线 与直线 的交点个数为______．　　　　 【答案】 【详解】该直线斜率 恰为渐近线斜率，与双曲线无交点。故答案为：。 8．关于直线与双曲线的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．只有一个交点就一定相切 B．判别式大于 时一定有两个交点 C．与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点 D．直线不可能与双曲线相切 【答案】C 【详解】与渐近线平行时联立方程退化为一元一次方程，只有一个交点但不相切；B、D 错误。故选：C。 题型六　定点、定值与最值问题（综合） 【方法与技巧】 定点定值问题的通法：设出直线（或点）的参数，把目标量表示成参数的函数，再令参数的系数为零。 最值问题先找几何意义：抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，常能把折线和化为直线段。 范围问题常用判别式 或基本不等式，先列约束再解不等式。 遇到『是否存在』类问题，先假设存在并列方程，有解即存在、无解即不存在，结论要说清楚。 【例题精讲】 1．抛物线 上的点 到焦点 与到 轴的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，到 轴距离为 （），和为 ，当 时最小为 。故选：D。 2．双曲线 右支上的点到左焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】右顶点 到左焦点 的距离为 ，即 。故选：C。 3．抛物线 的焦点弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点弦最短为通径，长为 。故选：A。 【变式训练】 1．抛物线 上的点 到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ，则 ，当 时取最小值 ，故 的最小值为 。故选：D。 2．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】距离为 。故选：C。 3．双曲线 上的点到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由定义，差的绝对值恒为 ，是定值。故选：B。 4．抛物线 与直线 围成的封闭图形中，抛物线上点到直线 距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线顶点 到直线 的距离最大，为 。故选：D。 5．若点 在抛物线 上，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 等于 到准线 的距离，故 的最小值为 到准线的距离 。故选：B。 6．过抛物线 焦点的弦长取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】焦点弦最短为通径 ，可无限长，故范围为 。故选：D。 【巩固练习】 1．抛物线 上的点到焦点距离的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】顶点到焦点距离最小，为 。故答案为：。 2．抛物线 上一点到准线与到点 的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】到准线的距离等于到焦点的距离，故和的最小值为 到焦点 的距离 。故选：C。 3．双曲线 左支上的点到右焦点距离的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】左顶点 到右焦点 的距离为 。故答案为：。 4．抛物线 上到焦点距离为 的点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 。故选：C。 5．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】焦点弦有 （此处 ）。故答案为：。 6．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，距离为 ，最小值为 。故选：A。 7．双曲线 的右支上一点到右焦点的距离的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】右顶点 到右焦点 的距离最小，为 。故答案为：。 8．关于圆锥曲线中的最值问题，下列思路正确的是（　　） A．直接猜在顶点处取到 B．最值一定在对称轴上 C．先把目标量表示成某个参数的函数，再求最值 D．最值与参数无关 【答案】C 【详解】通法是参数化后求函数最值；顶点处取到只是特殊情形，需验证。故选：C。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，焦距为 。故选：D。 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，焦点为 。故选：A。 4．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】准线为 。故选：C。 5．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】距离为 。故选：A。 6．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 7．直线 与双曲线 的公共点个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 【答案】D 【详解】联立得 ，只有一个解。故选：D。 8．焦点为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 得 ，开口向下，方程为 。故选：C。 【多项选择题】 9．关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点坐标为 ，其中 B．渐近线方程为 C．离心率 D．实轴长为 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；实轴长为 ，D 错误。故选：ABC。 10．关于抛物线 （），下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线为 C．通径长为 D．顶点为 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；顶点在原点，D 错误。故选：ABC。 11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．判别式大于 时有两个交点 B．判别式等于 时相切 C．直线与双曲线只有一个交点时还可能与渐近线平行 D．判别式小于 时一定相离 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；D 在双曲线与渐近线平行的情形不成立，故错误。故选：ABC。 【填空题】 12．双曲线 的半焦距为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 13．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 【答案】 【详解】 得 ，焦点为 。故答案为：。 14．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 【答案】 【详解】距离为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题29　双曲线与抛物线 群哥高中数学辅导资料 专题29　双曲线与抛物线 一、核心知识 双曲线的定义 双曲线标准方程 双曲线的 a,b,c 离心率 渐近线 焦点到渐近线距离 共渐近线系 抛物线的定义 抛物线标准方程 抛物线焦点与准线 焦半径 通径 弦长公式 点差法 二、题型精练 题型一　双曲线的定义与标准方程 【方法与技巧】 双曲线定义：（），绝对值别丢，两支对应两种符号。 焦点位置看正项：正项是 项则焦点在 轴，正项是 项则焦点在 轴。 的关系是 （注意不是 ）， 永远是最大的。 写标准方程先定焦点所在轴，再定 与 ，最后用 验一遍。 【例题精讲】 1．双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．实半轴长为 、虚半轴长为 且焦点在 轴上的双曲线标准方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　 【变式训练】 1．双曲线 的左焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的焦点所在坐标轴为（　　） A． 轴 B．直线 C．无法确定 D． 轴 3．已知双曲线中 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的半焦距 等于（　　） A． B． C． D． 5．双曲线 的实轴长为（　　） A． B． C． D． 6．若点 在双曲线上，两焦点为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．双曲线 的虚半轴长为______．　　　　 2．焦点为 且实半轴长为 的双曲线标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的焦距为______．　　　　 4．双曲线 的半焦距为（　　） A． B． C． D． 5．已知双曲线中 ，，则 的值为______．　　　　 6．双曲线 上一点到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的虚半轴长为______．　　　　 8．关于双曲线的标准方程，下列说法正确的是（　　） A．分母大的一定是 B． 一定大于 C．标准方程右端可以是 D．正项是 时焦点在 轴上 题型二　双曲线的几何性质（渐近线、离心率） 【方法与技巧】 焦点在 轴的双曲线 的渐近线为 ；焦点在 轴则为 。 离心率 ， 越大开口越阔； 时是等轴双曲线。 焦点到渐近线的距离恒等于 ，这个结论可以直接当结论用，能省一大堆计算。 共渐近线的双曲线可设为 （）， 与 对应共轭的两支。 【例题精讲】 1．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．渐近线为 且实半轴长为 、焦点在 轴上的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．若双曲线（焦点在 轴）的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 4．与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可设为（　　） A． B．（） C． D． 5．双曲线 的共轭双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 6．关于双曲线的离心率，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 可以小于 【巩固练习】 1．双曲线 的渐近线方程为______．　　　　 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．若双曲线（焦点在 轴）的一条渐近线为 ，则 的值为______．　　　　 4．双曲线 的两条渐近线的夹角情况为（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．互相垂直 D．重合 5．若双曲线的离心率 ，且实半轴长为 ，则半焦距为______．　　　　 6．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 7．等轴双曲线的两条渐近线互相______．　　　　 8．若双曲线（焦点在 轴）的渐近线为 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 题型三　抛物线的定义与标准方程 【方法与技巧】 抛物线定义：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等，准线一定不经过焦点。 四种标准方程靠一次项定轴、靠系数符号定开口： 开口向右， 开口向下。 焦点坐标是 而不是 ，准线是 ，这是最高频的失分点。 先把方程化成标准形式 或 （），再读焦点与准线。 【例题精讲】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．抛物线 （）的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 3．顶点在原点、准线为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 4．焦点为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．抛物线 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 4．顶点在原点、开口向左且 的抛物线方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的焦点到准线的距离为______．　　　　 6．抛物线 （）的准线方程为（　　） A． B． C． D． 7．若抛物线的准线为 ，则其标准方程为______．　　　　 8．关于抛物线的标准方程，下列说法正确的是（　　） A．系数为正一定开口向上 B．一次项是哪个字母，对称轴就是哪条坐标轴 C． 一定等于 D．焦点一定在 轴上 题型四　抛物线的几何性质（焦半径、焦点弦） 【方法与技巧】 焦半径公式：抛物线 上点 到焦点的距离为 ，直接代入横坐标即可。 通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为 ，也是所有焦点弦中最短的。 焦点弦长公式为 （ 为弦所在直线与对称轴的夹角）。 涉及『到焦点距离』就联想到『到准线距离』，二者相等，常能把距离和转化为横坐标的运算。 【例题精讲】 1．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．抛物线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．抛物线 上横坐标为 的点到准线的距离为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．抛物线 上的点到焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的所有焦点弦中，最短的弦长为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 上点 到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 5．过抛物线 的焦点且斜率为 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 6．抛物线 上纵坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．抛物线 的通径长为______．　　　　 2．抛物线 上横坐标为 的点到准线的距离为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 4．抛物线 的焦点弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则 的横坐标为______．　　　　 6．抛物线 上横坐标为 的点到顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 7．过抛物线 焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的弦长为______．　　　　 8．关于抛物线的焦半径，下列说法正确的是（　　） A．它等于该点的横坐标 B．它恒等于 C．它随点的位置变化但不超过 D．它等于该点到准线的距离 题型五　直线与双曲线、抛物线的位置关系 【方法与技巧】 直线与圆锥曲线的位置关系统一用判别式：联立后看 的符号， 是相切的代数刻画。 直线与双曲线只有一个交点有两种可能：相切，或与渐近线平行（此时 退化），必须区分。 弦长公式 ，用韦达定理算 即可。 中点弦问题用『点差法』：把两端点代入方程相减，直接得到中点坐标与斜率的关系。 【例题精讲】 1．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 　 　 　 2．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 　 　 　 3．若直线 与抛物线 相切，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．直线 被抛物线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 3．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 4．过点 且与抛物线 相切的直线中，斜率存在的那条直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．相交于两点 B．相切 C．相离 D．重合 6．抛物线 的弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．直线 与抛物线 的交点坐标为______．　　　　 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数个 3．若直线 与双曲线 无交点，则 的取值范围为______．　　　　 4．抛物线 上两点连线的中点为 ，则该弦长为（　　） A． B． C． D． 5．直线 与抛物线 的位置关系是______．　　　　 6．过抛物线 的焦点且斜率为 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 与直线 的交点个数为______．　　　　 8．关于直线与双曲线的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．只有一个交点就一定相切 B．判别式大于 时一定有两个交点 C．与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点 D．直线不可能与双曲线相切 题型六　定点、定值与最值问题（综合） 【方法与技巧】 定点定值问题的通法：设出直线（或点）的参数，把目标量表示成参数的函数，再令参数的系数为零。 最值问题先找几何意义：抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，常能把折线和化为直线段。 范围问题常用判别式 或基本不等式，先列约束再解不等式。 遇到『是否存在』类问题，先假设存在并列方程，有解即存在、无解即不存在，结论要说清楚。 【例题精讲】 1．抛物线 上的点 到焦点 与到 轴的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．双曲线 右支上的点到左焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．抛物线 的焦点弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．抛物线 上的点 到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 上的点到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 与直线 围成的封闭图形中，抛物线上点到直线 距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．若点 在抛物线 上，则 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．过抛物线 焦点的弦长取值范围为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．抛物线 上的点到焦点距离的最小值为______．　　　　 2．抛物线 上一点到准线与到点 的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 左支上的点到右焦点距离的最小值为______．　　　　 4．抛物线 上到焦点距离为 的点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ，则 的值为______．　　　　 6．抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的右支上一点到右焦点的距离的最小值为______．　　　　 8．关于圆锥曲线中的最值问题，下列思路正确的是（　　） A．直接猜在顶点处取到 B．最值一定在对称轴上 C．先把目标量表示成某个参数的函数，再求最值 D．最值与参数无关 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 6．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．直线 与双曲线 的公共点个数为（　　） A． B． C．无数个 D． 8．焦点为 的抛物线标准方程为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点坐标为 ，其中 B．渐近线方程为 C．离心率 D．实轴长为 10．关于抛物线 （），下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线为 C．通径长为 D．顶点为 11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．判别式大于 时有两个交点 B．判别式等于 时相切 C．直线与双曲线只有一个交点时还可能与渐近线平行 D．判别式小于 时一定相离 【填空题】 12．双曲线 的半焦距为______．　　　　 13．抛物线 的焦点坐标为______．　　　　 14．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $