专题3.2 函数的基本性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.2 函数的基本性质 考点预览 考点一 函数单调性的判断与证明 考点二 求函数的单调区间 考点三 函数的最值及其应用 考点四 函数奇偶性的判断 考点五 奇偶性与单调性的综合应用 一、知识填空 1．增函数与减函数的定义 （1）设函数 的定义域为 ，区间 满足 。若对 上任意两个自变量的值 ，，当 时都有 ，则称 在区间 上是 。 （2）若当 时都有 ，则称 在区间 上是 。 （3）单调性总是相对于 而言的，脱离区间谈某个函数是增函数或减函数是没有意义的。 （4）定义中的 ， 具有 性，不能用两个特殊值代替。 2．用定义证明单调性的步骤 （1）四个步骤依次是： 下结论。 （2）第一步要在给定区间内 两个自变量的值，通常规定 。 （3）第三步“变形”的常用手段是 、 、化为几个因式的积或商。 （4）第四步是根据各因式的符号判断差的 ，再依据定义下结论。 3．函数的最大（小）值 （1）若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为函数在该区间上的 。 （2）最小值的定义类似，只需把不等号换成 。 （3）单调函数在闭区间 上的最大值与最小值一定在 处取得。 （4）二次函数 （）在闭区间上求最值，先看对称轴 是否 给定区间。 4．函数的奇偶性 （1）若函数 的定义域关于 对称，且对定义域内任意 都有 ，则 是 。 （2）若对定义域内任意 都有 ，则 是 。 （3）判断奇偶性的第一步必须先检查 ，若不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。 （4）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称。 （5）若奇函数 在 处有定义，则 。 5．奇偶性与单调性的关系 （1）偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性 ；奇函数在这两个区间上单调性 。 （2）对偶函数恒有 ，故比较大小时可先把自变量化为 。 （3）解题关键是利用奇偶性，把所求区间上的函数值 到已知单调性的区间上。 二、考点专练 考点一 函数单调性的判断与证明 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出具体函数问"在哪个区间单调递增/递减"，或要求"用定义证明单调性"，或给出 与 的大小反推自变量的大小。 1. 操作流程：用定义证明的四步——区间内任取 → 作差 → 变形（配方、通分、因式分解）→ 判断符号下结论。 1. 技巧·口诀：变形的目标是凑出因式之积，让每个因式的符号一眼看出；记住几个常用结论：（ 增）、（ 时在 上减）、（在 上增）。 1. 易错点：， 不能取特殊值，必须任取；已知单调性反推自变量大小时，减函数方向要反过来；说单调性必须带上区间，说"函数是单调函数"不给分。 【例题精讲】 1．下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．用定义证明 在 上单调递减，设 ，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．用定义证明函数单调性的四个步骤依次是（　　） A．作差；变形；取值；定号 B．取值；变形；作差；结论 C．取值；定号；作差；变形 D．取值；作差；变形；判断符号 3．已知 是定义在 上的减函数，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．先增后减 C．单调递减 D．不单调 3．设函数 在 上是增函数，则对任意实数 ，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 5．已知函数 在区间 上单调递增，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 6．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 7．若函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．用定义证明 在 上单调递增时，（）应变形为（　　） A． B． C． D． 考点二 求函数的单调区间 方法与技巧： 1. 识别信号：题目问"单调递增（递减）区间"，给出二次函数、反比例函数、含绝对值的函数或分段函数。 1. 操作流程：二次函数先看开口方向再找对称轴 ， 时对称轴左侧递减、右侧递增；分式与绝对值型先写出解析式再分段判断。 1. 技巧·口诀：单调区间能用闭区间就用闭区间（端点有定义时要带上）；多个单调区间之间用"与""和"或逗号隔开，绝不能写并集符号 。 1. 易错点： 在 上整体不是减函数，只能说在两个区间上分别递减——写并集是本题最高频的错误。 【例题精讲】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． 与 C． D． 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． 与 D． 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 4．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的单调性为（　　） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 上递减 D．不单调 6．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 7．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 8．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点三 函数的最值及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出定义域（尤其是闭区间）问最大值、最小值或值域，或给出利润、面积等实际背景求"最大利润""最大面积"。 1. 操作流程：判断单调性与对称轴位置 → 若对称轴在区间内，一个最值在顶点、另一个在离对称轴较远的端点；若对称轴不在区间内，函数在该区间单调，两个最值都在端点。 1. 技巧·口诀："定函数、列关系式、找范围、求最值、写答案"；实际应用题先设自变量并写出取值范围，再列目标函数。 1. 易错点：忘记检验顶点是否落在给定区间内；实际问题的自变量有实际限制（如边长、件数为正），算出的顶点不在允许范围内时，最值要在边界取；答案要带单位。 【例题精讲】 1．函数 在 上的最小值与最大值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．某商品每件成本 元，售价定为 元时每天可卖出 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【变式训练】 1．函数 在 上的最大值与最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 ，该函数在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．用长为 m 的篱笆靠一面墙围一块矩形菜地（墙足够长），则这块菜地的最大面积为（　　） A． m B． m C． m D． m 4．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最大值为（　　） A． B． C．不存在 D． 7．函数 在 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．某商品每件成本 元，售价为 元时每天销售 件，则每天的最大利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 考点四 函数奇偶性的判断 方法与技巧： 1. 识别信号：问"是奇函数还是偶函数"，或给出含参数的解析式、由奇偶性反求参数，或给 求 。 1. 操作流程：先看定义域是否关于原点对称，再算 与 比较：相等为偶，互为相反数为奇，两者都不是则非奇非偶。 1. 技巧·口诀：多项式函数中，"只含偶次项（含常数项）是偶函数，只含奇次项是奇函数"；由此可直接读出参数。 1. 易错点：跳过定义域检查直接代值是最大的坑；奇函数若在 处有定义，必有 ，这是求参数的简便入口，但反过来不成立。 【例题精讲】 1．下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 是偶函数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶 2．若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 3．若奇函数 在 处有定义，则 等于（　　） A． B． C． D．不确定 【巩固练习】 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象关于（　　） A． 轴对称 B．原点对称 C． 轴对称 D．直线 对称 3．函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶 C．单调函数 D．偶函数 4．若 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．奇函数 在 上的最小值为 ，则它在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．若偶函数 在 上单调递增，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．设 是奇函数，当 时 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．下列判断中正确的是（　　） A．定义域关于原点对称的函数一定具有奇偶性 B．既是奇函数又是偶函数的函数必恒等于 C．奇函数在 处一定没有定义 D．偶函数的图象一定与 轴相交 考点五 奇偶性与单调性的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目同时给出奇偶性与某区间的单调性，要求比较几个函数值的大小，或解 型不等式。 1. 操作流程：先统一转化到已知单调性的那个区间。偶函数用 ，把自变量变成非负数；奇函数用 把负号提到外面。 1. 技巧·口诀：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上单调性相同；解抽象不等式就八个字——"脱去 ，比较内部"。 1. 易错点：忘记画出大致图象辅助判断；解 时，必须保证两个自变量都落在同一单调区间内再脱去 ；结果要写成集合或区间。 【例题精讲】 1．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．已知奇函数 在 上单调递增，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知偶函数 在 上单调递减，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．设偶函数 在 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．已知奇函数 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．若偶函数 在 上单调递减，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知 是奇函数且在 上单调递增，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．设奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 8．已知偶函数 在 上单调递减，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．不单调 4．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．函数 在 上的最大值与最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．已知奇函数 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 9．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 10．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．用定义证明函数单调性时，作差变形之后最关键的一步是（　　） A．判断差的符号 B．求出差值 C．画出函数图象 D．求出定义域 12．若函数 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的基本性质 考点预览 考点一 函数单调性的判断与证明 考点二 求函数的单调区间 考点三 函数的最值及其应用 考点四 函数奇偶性的判断 考点五 奇偶性与单调性的综合应用 一、知识填空 1．增函数与减函数的定义 （1）设函数 的定义域为 ，区间 满足 。若对 上任意两个自变量的值 ，，当 时都有 ，则称 在区间 上是 。 （2）若当 时都有 ，则称 在区间 上是 。 （3）单调性总是相对于 而言的，脱离区间谈某个函数是增函数或减函数是没有意义的。 （4）定义中的 ， 具有 性，不能用两个特殊值代替。 2．用定义证明单调性的步骤 （1）四个步骤依次是： 下结论。 （2）第一步要在给定区间内 两个自变量的值，通常规定 。 （3）第三步“变形”的常用手段是 、 、化为几个因式的积或商。 （4）第四步是根据各因式的符号判断差的 ，再依据定义下结论。 3．函数的最大（小）值 （1）若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为函数在该区间上的 。 （2）最小值的定义类似，只需把不等号换成 。 （3）单调函数在闭区间 上的最大值与最小值一定在 处取得。 （4）二次函数 （）在闭区间上求最值，先看对称轴 是否 给定区间。 4．函数的奇偶性 （1）若函数 的定义域关于 对称，且对定义域内任意 都有 ，则 是 。 （2）若对定义域内任意 都有 ，则 是 。 （3）判断奇偶性的第一步必须先检查 ，若不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。 （4）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称。 （5）若奇函数 在 处有定义，则 。 5．奇偶性与单调性的关系 （1）偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性 ；奇函数在这两个区间上单调性 。 （2）对偶函数恒有 ，故比较大小时可先把自变量化为 。 （3）解题关键是利用奇偶性，把所求区间上的函数值 到已知单调性的区间上。 自检自纠： 1．（1）增函数 （2）减函数 （3）某个区间 （4）任意 2．（1）取值；作差；变形；判断符号 （2）任取 （3）配方；通分 （4）符号 3．（1）最大值 （2） （3）区间端点 （4）落在 4．（1）原点；偶函数 （2）奇函数 （3）定义域 （4）原点； 轴 （5） 5．（1）相反；相同 （2）它的绝对值 （3）转化 二、考点专练 考点一 函数单调性的判断与证明 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出具体函数问"在哪个区间单调递增/递减"，或要求"用定义证明单调性"，或给出 与 的大小反推自变量的大小。 1. 操作流程：用定义证明的四步——区间内任取 → 作差 → 变形（配方、通分、因式分解）→ 判断符号下结论。 1. 技巧·口诀：变形的目标是凑出因式之积，让每个因式的符号一眼看出；记住几个常用结论：（ 增）、（ 时在 上减）、（在 上增）。 1. 易错点：， 不能取特殊值，必须任取；已知单调性反推自变量大小时，减函数方向要反过来；说单调性必须带上区间，说"函数是单调函数"不给分。 【例题精讲】 1．下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A 中 在 上单调递增。 B 中反比例函数 在 上递减； C 中一次项系数 ，在 上递减； D 中 开口向下，在 上递减。故选 A。 2．用定义证明 在 上单调递减，设 ，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。 由 得分子 、分母 ，故差大于 ，即 ，函数单调递减。故选 C。 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配方得 ，开口向下，对称轴为 。 故在 上递增，在 上递减。 端点 处函数有定义，写成闭区间更准确。故选 B。 2．用定义证明函数单调性的四个步骤依次是（　　） A．作差；变形；取值；定号 B．取值；变形；作差；结论 C．取值；定号；作差；变形 D．取值；作差；变形；判断符号 【答案】D 【详解】标准四步：取值（任取 ）→ 作差 → 变形（配方、通分、因式分解）→ 判断符号并下结论。 顺序不能颠倒，先有差值才能谈变形。故选 D。 3．已知 是定义在 上的减函数，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】减函数的定义是： 越大，函数值越小。 故由 反推得 。 这是"由函数值大小反推自变量大小"，方向要与单调性一致。故选 C。 【巩固练习】 1．下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】一次函数 当 时在 上递减，这里 。 A、D 在 上先减后增；C 在 处无定义。故选 B。 2．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．先增后减 C．单调递减 D．不单调 【答案】C 【详解】由反比例函数的性质， 时在每个象限内单调递减。 也可用定义： 增大时 减小。故选 C。 3．设函数 在 上是增函数，则对任意实数 ，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】D 中 ，故 ，由增函数得 。 A 在 时两边相等；B 中 ，应有 ；C 在 时两边相等。故选 D。 4．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】当 时 ，随 增大而减小；当 时 ，随 增大而增大。 故递减区间为 。故选 A。 5．已知函数 在区间 上单调递增，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】因 且两点都在区间 内，由单调递增得 。 注意前提是两个自变量都落在单调区间内。故选 C。 6．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配方得 ，开口向上，对称轴为 。 故在 上递减，在 上递增。故选 B。 7．若函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一次函数 单调递减的充要条件是 。 当 时为常函数，既非增也非严格减，故取严格小于。故选 D。 8．用定义证明 在 上单调递增时，（）应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 由 得 、，故差大于 ，函数递增。变形的目的是凑符号明确的因式。故选 A。 考点二 求函数的单调区间 方法与技巧： 1. 识别信号：题目问"单调递增（递减）区间"，给出二次函数、反比例函数、含绝对值的函数或分段函数。 1. 操作流程：二次函数先看开口方向再找对称轴 ， 时对称轴左侧递减、右侧递增；分式与绝对值型先写出解析式再分段判断。 1. 技巧·口诀：单调区间能用闭区间就用闭区间（端点有定义时要带上）；多个单调区间之间用"与""和"或逗号隔开，绝不能写并集符号 。 1. 易错点： 在 上整体不是减函数，只能说在两个区间上分别递减——写并集是本题最高频的错误。 【例题精讲】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． 与 C． D． 【答案】B 【详解】该函数在 与 上分别单调递减，但在整个定义域上不是减函数： 取 ，，有 ，与递减矛盾。 多个单调区间必须分开写，不能用并集符号。故选 B。 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】配方得 ，对称轴为 ，开口向上。 故在 上递增。故选 D。 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，对称轴为 ，开口向下。 故在 上递增，在 上递减。故选 A。 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． 与 D． 【答案】C 【详解】定义域为 ，函数在每个分支上递减但要分成两段表述。 写成 的形式只是把图象向左平移 个单位，单调性不变。故选 C。 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时 ，递增；当 时 ，递减。 分界点 x=2 是分段点，图象呈"V"字形。故选 B。 【巩固练习】 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对称轴为 ，开口向上，故递减区间为 。 注意对称轴公式前面有负号，别算成 。故选 C。 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称轴为 ，开口向下。 故在 上递增。故选 A。 3．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 【答案】D 【详解】，因 型函数在各分支上递增，故在两个区间上分别递增。 仍要分开写，不能取并集。故选 D。 4．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】使绝对值内为 0 的点是 x=-1，当 时 ，递减。 后面的 只是向下平移，不影响单调性。故选 B。 5．函数 的单调性为（　　） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 上递减 D．不单调 【答案】A 【详解】由 ， 后一因式恒非负且不恒为零，故差与 同号，函数在 上递增。故选 A。 6．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】C 【详解】对称轴为 ，落在区间 内部。 故在 上递减、在 上递增，整体上先减后增。故选 C。 7．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 【答案】D 【详解】分离常数得 ，由 在各分支上递增知原函数递增。 仍须分两段写出。故选 D。 8．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对称轴为 ，开口向上，递增区间为 。 要使 落在递增区间内，需 。 这类题用"对称轴与区间的位置关系"处理最快。故选 B。 考点三 函数的最值及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出定义域（尤其是闭区间）问最大值、最小值或值域，或给出利润、面积等实际背景求"最大利润""最大面积"。 1. 操作流程：判断单调性与对称轴位置 → 若对称轴在区间内，一个最值在顶点、另一个在离对称轴较远的端点；若对称轴不在区间内，函数在该区间单调，两个最值都在端点。 1. 技巧·口诀："定函数、列关系式、找范围、求最值、写答案"；实际应用题先设自变量并写出取值范围，再列目标函数。 1. 易错点：忘记检验顶点是否落在给定区间内；实际问题的自变量有实际限制（如边长、件数为正），算出的顶点不在允许范围内时，最值要在边界取；答案要带单位。 【例题精讲】 1．函数 在 上的最小值与最大值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】配方得 ，对称轴 ，故最小值为 。 端点处 ，，故最大值为 。 比较两端点值取较大者，别漏掉 。故选 C。 2．某商品每件成本 元，售价定为 元时每天可卖出 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】设利润为 元，则 。 对称轴为 ，开口向下，故售价定为 元时利润最大。故选 A。 【变式训练】 1．函数 在 上的最大值与最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】配方得 ，对称轴 ，故最大值为 。 端点 ，，故最小值为 。 离对称轴越远的端点值越小（开口向下）。故选 D。 2．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 （），当 时取等号。 因 ，故最小值为 。 这类"对勾函数"的极值点是 。故选 B。 3．函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在 上单调递减，故在 上最大值取在左端点 处，为 ；最小值在 处，为 。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配方得 ，对称轴 ，故最小值为 。故选 B。 2．函数 ，该函数在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】端点 ，，取较大者为 。 因 离对称轴 更远，故最大值在 处。故选 C。 3．用长为 m 的篱笆靠一面墙围一块矩形菜地（墙足够长），则这块菜地的最大面积为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】A 【详解】设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m， ，对称轴 ，最大面积为 m。故选 A。 4．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由绝对值的几何意义，当 时取到最小值 。 一般地 的最小值为 。故选 D。 5．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配方得 ，对称轴 ，最大值为 。 端点 ，，故最小值为 ，值域为 。故选 B。 6．函数 的最大值为（　　） A． B． C．不存在 D． 【答案】D 【详解】分母配方得 ，故 ，当 时取到最大值 。 分子为常数时，分母最小处取最大值。故选 D。 7．函数 在 上的最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小值 在 处取得，要使区间 上的最小值也是 ，必须让 落在区间内， 即 ，解得 。故选 C。 8．某商品每件成本 元，售价为 元时每天销售 件，则每天的最大利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】，对称轴 。 此时销量为 件，每件利润 元，总利润为 元。故选 A。 考点四 函数奇偶性的判断 方法与技巧： 1. 识别信号：问"是奇函数还是偶函数"，或给出含参数的解析式、由奇偶性反求参数，或给 求 。 1. 操作流程：先看定义域是否关于原点对称，再算 与 比较：相等为偶，互为相反数为奇，两者都不是则非奇非偶。 1. 技巧·口诀：多项式函数中，"只含偶次项（含常数项）是偶函数，只含奇次项是奇函数"；由此可直接读出参数。 1. 易错点：跳过定义域检查直接代值是最大的坑；奇函数若在 处有定义，必有 ，这是求参数的简便入口，但反过来不成立。 【例题精讲】 1．下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B 中 ，定义域 关于原点对称，是偶函数。 A、D 是奇函数；C 中 既不等于 也不等于 ，非奇非偶。故选 B。 2．若函数 是偶函数，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ， 即 对任意 成立，故 ，。 本质上是"奇次项系数必须为 "。故选 D。 【变式训练】 1．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶 【答案】A 【详解】，定义域 关于原点对称，故是奇函数。 虽然含绝对值，整体仍是奇函数，别被外表迷惑。故选 A。 2．若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】由奇函数定义 ，取 得 。 这是奇偶性最基本的直接应用。故选 C。 3．若奇函数 在 处有定义，则 等于（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】由 得 ，故 。 该结论常用于快速排除选项或求参数。故选 B。 【巩固练习】 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】C 中 ，是奇函数。 A、B 是偶函数；D 非奇非偶。故选 C。 2．函数 的图象关于（　　） A． 轴对称 B．原点对称 C． 轴对称 D．直线 对称 【答案】A 【详解】因 ，该函数是偶函数，图象关于 轴对称。 偶 关于 轴对称，奇 关于原点对称。故选 A。 3．函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶 C．单调函数 D．偶函数 【答案】D 【详解】定义域为 ，关于原点对称；，故是偶函数。 两项都是偶次幂，符合偶函数特征。故选 D。 4．若 且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该函数只含奇次项，是奇函数，故 。 不必去求 、 的具体值。故选 B。 5．奇函数 在 上的最小值为 ，则它在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】奇函数图象关于原点对称，对称区间上的最值也互为相反数，且"最小"变"最大"。 故 上的最大值为 。故选 C。 6．若偶函数 在 上单调递增，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由偶性得 ，。 因 且函数在 上递增，故 ，即 。故选 A。 7．设 是奇函数，当 时 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求正值：。 再由奇性得 。 "正区求负"是求值的固定套路。故选 D。 8．下列判断中正确的是（　　） A．定义域关于原点对称的函数一定具有奇偶性 B．既是奇函数又是偶函数的函数必恒等于 C．奇函数在 处一定没有定义 D．偶函数的图象一定与 轴相交 【答案】B 【详解】B 正确：由 且 得 恒成立。 A 错，还需满足 ；C 错，如 在 有定义；D 错，如 与 轴无交点。故选 B。 考点五 奇偶性与单调性的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目同时给出奇偶性与某区间的单调性，要求比较几个函数值的大小，或解 型不等式。 1. 操作流程：先统一转化到已知单调性的那个区间。偶函数用 ，把自变量变成非负数；奇函数用 把负号提到外面。 1. 技巧·口诀：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上单调性相同；解抽象不等式就八个字——"脱去 ，比较内部"。 1. 易错点：忘记画出大致图象辅助判断；解 时，必须保证两个自变量都落在同一单调区间内再脱去 ；结果要写成集合或区间。 【例题精讲】 1．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由偶性 ，不等式化为 。 因在 上递减，故 ，解得 。 关键在把 换成 ，把问题拉回正半轴。故选 A。 2．已知奇函数 在 上单调递增，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 。 因函数递增，故 ，即 。 套路是"把加号变成减号，再用奇性把负号收进括号"。故选 C。 【变式训练】 1．已知偶函数 在 上单调递减，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶性 。 在 上递减，且 ，故 。 统一到负半轴后直接比大小。故选 B。 2．已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当 时， 得 ； 当 时， 即 ，得 ，即 。 两段分别处理再取并集，结果为 。故选 D。 3．设偶函数 在 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由偶性 ，不等式化为 。 在 上递增，故 ， 解得 ，即 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，不等式化为 。 因在 上递增，故 ，得 或 。 解集为 。故选 D。 2．已知奇函数 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】单调递减，故由 得 ， 即 ，解得 。 注意这里是减函数，不等号方向要反过来。故选 A。 3．已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶性 ，。 在 上递增且 ，故 ，即 。故选 C。 4．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时， 且递减，得 ； 当 时， 即 ，得 ，即 。 故解集为 。故选 B。 5．若偶函数 在 上单调递减，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化为 ，因在 上递减，故 ， 解得 ，即 。故选 D。 6．已知 是奇函数且在 上单调递增，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 再由单调递增得 ，即 ，。 核心操作是"移项后用奇性把负号收进函数里"。故选 A。 7．设奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 时，需 ，由递增得 ； 当 时，需 ，即 ，得 ，即 。 取并集得 。故选 C。 8．已知偶函数 在 上单调递减，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶性 。 在 上递减且 ，故 ，即 。故选 B。 三、达标检测 1．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B 满足 且在 上递增。 A 是奇函数；C 是奇函数且在 上递减；D 在 上递减。故选 B。 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对称轴为 ，开口向上，故递增区间为 。故选 D。 3．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．不单调 【答案】A 【详解】反比例函数 （）在每个分支上都单调递减，包括 。 但不能说在整个定义域上递减。故选 A。 4．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对称轴为 ，递减区间为 。 要使 落在其中，需 ，得 。故选 C。 5．已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶性 ，而 ，故 。 注意不能把 直接代入 ，该式只在 时成立。故选 B。 6．函数 在 上的最大值与最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】配方得 ，对称轴 ，最大值为 。 端点 ，，故最小值为 。故选 D。 7．已知奇函数 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 再由单调递减得 ，即 。 减函数脱去 时不等号要变向。故选 A。 8．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】当 时 ，递减；当 时 ，递增。 故递减区间为 。故选 C。 9．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化为 ，因在 上递减，故 ， 解得 或 ，即 。故选 B。 10．函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该函数在 上单调递增，故在 上最小值取在 处，为 。 端点 时为 ，较大。故选 D。 11．用定义证明函数单调性时，作差变形之后最关键的一步是（　　） A．判断差的符号 B．求出差值 C．画出函数图象 D．求出定义域 【答案】A 【详解】证明的核心是判断 的正负，进而依据定义判定增减。 变形只是手段，定号才是目的。故选 A。 12．若函数 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，即 恒成立，故 。 口诀：偶函数不含奇次项。故选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $