3.2函数的基本性质（第一课时　函数的单调性） 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层明确，梯度合理，通过基础巩固与能力提升双层次设计，实现从单调性概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（基础巩固）|单调性定义、一次/二次函数单调性判断、概念辨析|选择/填空/判断/解答题结合，第8题定义法证明单调性，强化推理能力| |B组（能力提升）|含参数二次函数、复合函数、分段函数单调性|综合应用题型，第9题结合对称轴与区间关系，第11题分段函数分析，发展抽象能力与逻辑思维|

3.2　函数的基本性质 第一课时　函数的单调性　·　课时作业 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　建议用时：25 分钟 A 组全体必做；B 组（★）优生班必做、普通班选做。解答题与证明题要求写出完整过程，证明按"取值—作差—变形—定号—结论"五步书写。 A 组　基础巩固 1．下列函数中，在区间 [－2，＋∞) 上单调递增的是（　　） 　A．y＝x²－5x－6　　B．y＝9－x²　　C．y＝x＋　　D．y＝ 2．若函数 f(x) 在 R 上单调递增，则下列一定成立的是（　　） 　A．＞1　　B．＞1　　C．f(2)＋f(0)＞0　　D．f(2)－f(0)＞0 3．下列说法中，正确的是（　　） 　A．函数 y＝x² 在 R 上是增函数 　B．函数 y＝－ 在定义域上是增函数 　C．函数 y＝ 的单调区间是 (－∞，0)∪(0，＋∞) 　D．y＝kx（k0）不是增函数就是减函数 4．已知 f(x) 在 (2，5) 上是减函数，∀x₁，x₂(2，5)，若 x₁＜x₂，则下列正确的是（　　） 　A．f(x₁)＜f(x₂)　　B．f(x₁)＝f(x₂)　　C．f(x₁)＞f(x₂)　　D．以上都可能 5．若函数 y＝(k－1)x＋b 在 (－∞，＋∞) 上是增函数，则（　　） 　A．k＞1　　B．k＜1　　C．k＜－1　　D．k＞－1 6．填空：如果函数 y＝f(x) 在区间 I 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间上具有（严格的）＿＿＿＿＿，区间 I 叫作 y＝f(x) 的＿＿＿＿＿。 7．判断正误（正确的写"正确"，错误的写"错误"） 　（1）函数 f(x)＝2x²，若 f(－1)＜f(2)，则函数 f(x) 在 R 上是增函数。（　　） 　（2）函数 f(x)＝ 在 (－∞，0)∪(0，＋∞) 上是减函数。（　　） 　（3）若 f(x) 在 R 上是减函数，则 f(0)＞f(1)。（　　） 　（4）若 f(x) 在 [1，2] 和 (2，3] 上均单调递增，则 f(x) 在 [1，3] 上单调递增。（　　） 8．已知函数 f(x)＝ax²－2x－3，不等式 f(x)＞0 的解集为 {x｜x＜－1 或 x＞3}。 　（1）求函数 f(x) 的解析式； 　（2）设 g(x)＝，判断 g(x) 在区间 (0，＋∞) 上的单调性，并用定义法证明。 B 组　能力提升（★） 9．若 f(x)＝－2x²－(2k＋1)x＋3 在 [－1，2] 上是单调函数，则 k 的取值范围是（　　） 　A．[，＋∞)　　B．[－，]　　C．(－∞，－]　　D．(－∞，－]∪[，＋∞) 10．若函数 y＝x－＋ 在 (1，＋∞) 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（　　） 　A．(－∞，－1]　　B．[－1，＋∞)　　C．(－∞，1]　　D．[1，＋∞) 11．函数 f(x)＝(1－x)·｜2－x｜ 的单调递增区间为（　　） 　A．(，2)　　B．(1，)　　C．(－∞，)　　D．(，＋∞) 参考答案与详解 A 组 1．D。A 的对称轴是 x＝，在 [－2，] 上递减、[，＋∞) 上递增，整个区间上不单调；B 是开口向下的抛物线，对称轴 x＝0，在 [－2，0] 上递增、[0，＋∞) 上递减；C 的定义域不含 x＝4，函数在 [－2，＋∞) 上被 x＝4 断开，且在 4 的两侧不能连成一段递增；D 中 y＝ 的定义域为 [－2，＋∞)，随着 x 增大，x＋2 增大，算术平方根也增大，在整个区间上单调递增。 2．D。由 0＜2 和 f(x) 在 R 上递增，得 f(2)＞f(0)，即 f(2)－f(0)＞0，D 一定成立。A、B 是两个函数值的商，题目没给 f(0)、f(2) 的正负，商的大小无法判断（若 f(0)＜0＜f(2)，商为负）；C 同理，两个函数值的和的正负也无法判断。这道题的坑就是把"函数值的大小"和"函数值的正负"混为一谈。 3．D。A 错在 y＝x² 在 (－∞，0] 上递减，不是 R 上的增函数；B 错在 y＝－ 的定义域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，它在这两段上各自递增，但整体不是增函数（取 x₁＝－1，x₂＝1，f(－1)＝1＞－1＝f(1)）；C 错在单调区间不能用并集连接，应写成 (－∞，0) 和 (0，＋∞)；D 中 k＞0 时 y＝kx 是增函数，k＜0 时是减函数，k0 保证不出现常数函数，D 正确。 4．C。减函数的定义直接给出：x₁＜x₂ 时 f(x₁)＞f(x₂)。选 A 是把增减方向记反；选 D 是没抓住定义中"都有"两个字，误以为只对部分取值成立。 5．A。一次函数 y＝(k－1)x＋b 为增函数的充要条件是一次项系数大于 0，即 k－1＞0，解得 k＞1。选 D 是把 k－1＞0 解成了 k＞－1（移项时符号处理错）。 6．单调性；单调区间。 7．（1）错误。两个特殊值的比较不能代替"任意"，事实上 f(x)＝2x² 在 (－∞，0] 上递减。（2）错误。两段减区间不能用并集连接，反例 x₁＝－1＜1＝x₂ 时 f(x₁)＝－1＜1＝f(x₂)。（3）正确。由 0＜1 及减函数定义直接得到。（4）错误。反例：f(x)＝x（1≤x≤2），f(x)＝x－2（2＜x≤3），两段各自递增，但 f(2)＝2＞1＝f(3)，整体不递增。分段函数整体递增还要求分界处衔接得上。 8．（1）由题意，－1 和 3 是方程 ax²－2x－3＝0 的两个根。 　由根与系数的关系得 －1＋3＝2/a，所以 a＝1。（也可把 x＝－1 代入 a＋2－3＝0 直接得 a＝1。） 　检验：a＝1 时 f(x)＝x²－2x－3＝(x＋1)(x－3)，f(x)＞0 的解集确为 {x｜x＜－1 或 x＞3}。 　所以 f(x)＝x²－2x－3。 　（2）g(x) 在 (0，＋∞) 上单调递增。证明如下： 　g(x)＝＝＝x－－2。 　任取 x₁，x₂(0，＋∞)，且 x₁＜x₂，则 　g(x₁)－g(x₂)＝(x₁－－2)－(x₂－－2)＝(x₁－x₂)－＝(x₁－x₂)(1＋)。 　由 x₁＜x₂ 得 x₁－x₂＜0；由 x₁，x₂(0，＋∞) 得 x₁x₂＞0，所以 1＋＞0。 　于是 g(x₁)－g(x₂)＜0，即 g(x₁)＜g(x₂)。 　所以 g(x) 在区间 (0，＋∞) 上单调递增。（把分式先化成 x－－2 再作差，比直接通分省一半功夫，这一步是本题的关键动作。） B 组 9．D。f(x)＝－2x²－(2k＋1)x＋3 的图象开口向下，对称轴为 x＝－。 　f(x) 在 [－1，2] 上是单调函数，说明区间整体落在对称轴的同一侧： 　若在 [－1，2] 上单调递减，须 －≤－1，解得 2k＋1≥4，即 k≥； 　若在 [－1，2] 上单调递增，须 －≥2，解得 2k＋1≤－8，即 k≤－。 　所以 k 的取值范围是 (－∞，－]∪[，＋∞)，选 D。选 A、C 都是只考虑了一种情况，选 B 是把不等号方向弄反（那是"对称轴落在区间内"，恰恰不单调）。 10．B。任取 x₁，x₂(1，＋∞)，且 x₁＜x₂，则 　y₁－y₂＝(x₁－＋)－(x₂－＋)＝(x₁－x₂)＋k(－)＝(x₁－x₂)＋＝。 　由 x₁＜x₂ 得 x₁－x₂＜0；由 x₁，x₂＞1 得 x₁x₂＞1＞0。 　要使 y₁－y₂＜0，须 x₁x₂＋k＞0 对任意 x₁，x₂(1，＋∞) 成立。 　因为 x₁x₂ 可以取到接近 1 的任意值（但取不到 1），所以须 k≥－1。 　所以 k 的取值范围是 [－1，＋∞)，选 B。（常数项 在作差时被消掉，对单调性没有影响，这是本题的第一个观察点；第二个观察点是临界值 k＝－1 能不能取——此时 x₁x₂＋k＝x₁x₂－1＞0 仍成立，所以能取。） 11．A。先去绝对值化成分段函数： 　当 x≥2 时，｜2－x｜＝x－2，f(x)＝(1－x)(x－2)＝－x²＋3x－2，对称轴 x＝，在 [2，＋∞) 上单调递减； 　当 x＜2 时，｜2－x｜＝2－x，f(x)＝(1－x)(2－x)＝x²－3x＋2，对称轴 x＝，在 (－∞，) 上单调递减，在 (，2) 上单调递增。 　所以 f(x) 的单调递增区间是 (，2)，选 A。选 C、D 是漏了分段，直接把 x²－3x＋2 或 －x²＋3x－2 的单调区间当成了答案；这类题的固定动作是"先去绝对值分段，再逐段用对称轴判断，最后按定义域拼起来"。 学科网（北京）股份有限公司 $