第三章函数的概念与性质单元测试A卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数的概念与性质单元测试A卷，覆盖函数定义、定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础辨析、综合应用及创新情境题，考查抽象能力、推理能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|函数图象识别、定义域求解、幂函数性质|基础概念辨析，突出抽象能力| |多项选择题|3/18|同一函数判断、奇函数性质、新定义“Ω函数”|多维度考查推理能力，设置新定义情境| |填空题|3/15|函数值域、偶函数单调性、“共鸣区间”创新题|结合性质应用，渗透创新意识| |解答题|5/77|函数解析式求法、奇偶性证明、“保值函数”探究、实际利润问题|分层设计，综合考查模型意识与逻辑推理，如实际利润问题体现数学建模|

第三章 函数的概念与性质单元测试A卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 3．函数，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系 【详解】因为， 所以. 故选：B 4．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义分类解不等式，然后合并． 【详解】时，由解得， 时，由解得， 综上不等式的解为或． 故选：D． 【点睛】本题考查分段函数，解题时根据分段函数定义分类求解即可．属于基础题． 5．设函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数分离常数化简，利用函数图象的平移变换并根据反比例函数的奇偶性即可得出结果. 【详解】由可得， 根据函数图象平移变换可知是由函数向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的， 而即为奇函数； 所以只需将反向平移，即向右平移2个单位得到，再向上平移1个单位得到，即为奇函数. 故选：A 6．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为是定义域为R的奇函数， 由，得， 该函数的周期为2， 所以. 故选：A 7．幂函数在上是减函数，则实数值为（    ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，且可求出实数的值. 【详解】幂函数， ， 解得，或； 又时为减函数， 当时，，幂函数为，满足题意； 当时，，幂函数为，不满足题意； 综上，， 故选：A． 8．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的定义判断. 【详解】A. ，定义域都为R，故表示同一函数； B. ，故不是同一函数； C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数； D. ，的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数， 故选：AC 10．若函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．若在上有最小值，则在有最大值1 C．若在上单调递增，则在上单调递减 D．是偶函数 【答案】AB 【分析】根据奇函数定义判断A正确；根据奇函数对称性判断B正确；根据奇函数单调性判断C不正确；根据奇函数的定义研究函数与的关系，即可得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，故A正确；奇函数的图象关于原点对称，当在上有最小值时，则在有最大值1，故B正确；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在关于原点对称的区间内单调相同，故选项C错误；函数的定义域为，函数的定义域为，关于原点对称，函数为奇函数，则. 为奇函数，故选项D错误. 故选：AB. 11．我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（    ） A．若f (x)为“Ω函数”，则 B．若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数 C．函数，在[0,+∞）上是“Ω函数” D．函数在[0,+∞）上是“Ω函数” 【答案】AD 【分析】利用赋值法及条件可判断A，验证“Ω函数”条件可判断B，取，则可判断C，验证“Ω函数”条件可判断D. 【详解】取得到，即，又对任意的x∈[0，+∞），总有，故，A正确； 由题知，满足“Ω函数”条件，f(x)为“Ω函数”，但f(x)在上不是增函数，故B错误； ，取，则，不满足，故C错误； 在上单调递增，故，即，又，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为___________． 【答案】. 【分析】根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 13．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为_______________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性，将不等式，转化为 或，化简即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数 所以在上是减函数，因为，所以 所以不等式等价为 或 解得 或 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及抽象不等式的解法，属于中等题. 14．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域为，则称区间为函数的共鸣区间．若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题设新定义，结合函数的单调性，利用换元法进行求解即可. 【详解】∵函数在上单调递增，若存在共鸣区间， 则，即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， ∴关于t的方程在上有两个不等的实根， 令， 则，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，画出函数图象即可； 【详解】（1）解：因为 所以，， ． （2）解：当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为或或． （3）解：函数的图象，如图所示： 16．（1）已知求的解析式. （2）已知函数，求函数，的解析式 （3）已知是二次函数，且，求的解析式 （4）已知函数满足，则=_____________. 【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）. 【分析】（1）先令，求出的范围，再由题中条件，求出，进而可得的解析式； （2）令，根据题中条件，求出，进而可得的解析式； （3）设二次函数，根据题中条件，由待定系数法，即可求出解析式； （4）由已知条件，得到，根据消元法，即可求出结果. 【详解】（1）令，当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立； 所以； 又，所以，， 因此，； （2）令，因为，所以，即； 所以； （3）设二次函数， 因为， 所以， 即，即， 因此，解得，所以； （4）因为函数满足①， 所以②， ②①可得：， 整理得. 【点睛】方法点睛： 求函数解析式的常用方法： 1.换元法：已知的解析式，求时，常用换元法求解，求解时利用，求出，再由相等函数的概念，即可得出结果； 2.待定系数法：已知函数类型求解析式时，常永待定系数法求解，先设函数解析式，根据题中条件，列出关于待定系数的方程组，求出待定系数，即可得出解析式； 3.消元法（解方程组法）：已知与、与（为常数）等之间的关系式，只需结合原式得出新的式子，两式联立，利用消元法，即可求出. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 18．已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式； （2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解； （3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可. 【详解】（1）设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，， （2）作出函数的图像，如图所示： 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. （3）由（1）知，解不等式， 等价于或，解得：或 综上可知，不等式的解集为 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题. 19．对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； (3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：，时，， 根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数. (2)； (3)； 【分析】（1）求解函数的值域，由“保值函数”的定义判断； （2）由定义域和值域都是，将问题等价于方程有两个不等的实数根，根据判别式大于零计算即可； （3）首先进行转化可得对恒成立，根据恒成立思想分别求最值即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为在上单调递增， 结合题意易知在内单调递增，且定义域和值域都是， 所以或，， 因此是方程的两个不等实数根， 等价于方程有两个不等的实数根， 即，解得或， 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 所以实数的取值范围为. （3），， ， 即为对恒成立. 令，易证在单调递增， 同理在单调递减.因此，， ，所以 解得，又或， 所以的取值范围是. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质单元测试A卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 4．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．幂函数在上是减函数，则实数值为（    ） A．2 B． C．2或 D．1 8．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．若在上有最小值，则在有最大值1 C．若在上单调递增，则在上单调递减 D．是偶函数 11．我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（    ） A．若f (x)为“Ω函数”，则 B．若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数 C．函数，在[0,+∞）上是“Ω函数” D．函数在[0,+∞）上是“Ω函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为___________． 13．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为_______________. 14．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域为，则称区间为函数的共鸣区间．若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 16．（1）已知求的解析式. （2）已知函数，求函数，的解析式 （3）已知是二次函数，且，求的解析式 （4）已知函数满足，则=_____________. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 18．已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． （3）解不等式． 19．对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； (3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $