第5章第12讲一次函数的图象与性质（5.3～5.4）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第12讲 一次函数的图象与性质(5.3~5.4) (一)一次函数的概念 例题精析 例1 下列函数中：①；②；③；④；⑤，是一次函数的个数为（　） ▸思路点拨 用一次函数 （ 为常数，）来判断。 ▸过程详解 解：①⑤自变量 出现在分母里，④自变量 的次数为 2，均不是一次函数，②③符合要求，是一次函数。故选 B。 ▸总结升华 本题考查一次函数的概念，（ 为常数，）。 变式训练 1. 下列 关于 的函数中，属于正比例函数的是（　） A． B． C． D． 例2 已知 。(1)当 取何值时， 是 的一次函数？(2)当 取何值时， 是 的正比例函数？ ▸思路点拨 (1)根据一次函数的定义可知，，且 ，即可求出 满足的条件；(2)根据正比例函数的定义可知，，且 ，同时满足 ，即可求出 满足的条件。 ▸过程详解 解：(1)，解得 。因为 ，即 ，所以当 ， 为任意实数时， 是 的一次函数。(2)，，解得 ，。因为 ，即 ，所以当 ， 时， 是 的正比例函数。 ▸总结升华 本题考查一次函数和正比例函数的定义，利用定义求一次函数 表达式时，要保证 且 的次数为 1，若正比例函数还需保证 。 变式训练 2. 已知关于 的函数 ，当 ________ 时，它是一次函数；当 ________ 时，它是正比例函数。 (二)用待定系数法求表达式 例题精析 例3 已知 与 成正比例，且当 时，。(1)求 与 之间的函数表达式。(2)当 时，求 的值。 ▸思路点拨 (1)根据题意设出函数表达式，将 ， 代入表达式，列出方程，求出未知数，即可求得表达式；(2)将 代入表达式中，即可求解。 ▸过程详解 解：(1)因为 与 成正比例，设 ，将 ， 代入，得 ，解得 ，则 ， 与 之间的函数表达式为 。(2)把 代入，得 ，解得 。 ▸总结升华 本题抓住“整体成正比例”这一重要条件来设表达式，即可求解。 变式训练 3. 已知 与 成正比例，且当 时，。(1)求 与 之间的函数表达式。(2)当 时， 的值是多少？ 例4 已知 ，其中 与 成正比例， 与 成正比例，当 时，；当 时，。(1)求 与 的函数表达式。(2)当 取何值时， 的值为 30？ ▸思路点拨 (1)根据题意设出函数表达式，将 ，；， 分别代入表达式，列出方程组，求出未知数，即可求得表达式；(2)把 代入表达式，即可求得 的值。 ▸过程详解 解：(1)设 ，（，），则 ，根据题意，得 ，，解得 ，，所以 与 的函数关系式为 ，即 。(2)把 代入 ，得 ，解得 ，所以当 时， 的值为 30。 ▸总结升华 本题考查了待定系数法求表达式，值得注意的是两个正比例函数的比例系数不同，因此要设两个字母。 变式训练 4. 已知函数 ， 与 成正比例关系。当 时，；当 时，，则 与 之间的函数关系式为 ________。 例5 在平面直角坐标系中，将直线 平移后得到直线 ，则下列平移方法正确的是（　） ▸思路点拨 方法一：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，即可得出；方法二：根据函数图象上特殊点的坐标平移，即可得出。 ▸过程详解 解：方法一：根据图象平移规律，设直线 向上平移 个单位长度得到 ，所以 ，解得 ，故将 向上平移 6 个单位长度得到 。设直线 向左平移 个单位长度得到 ，所以 ，解得 ，故将 向左平移 3 个单位长度得到 。故选 C。方法二：根据点坐标平移规律，直线 与 轴的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，点 向上平移 6 个单位长度变为 ，故将 向上平移 6 个单位长度得到 。直线 与 轴的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，点 向左平移 3 个单位长度变为 ，故将 向左平移 3 个单位长度得到 。故选 C。 ▸总结升华 本题考查平移规律，可以按照图象平移规律或特殊点坐标平移规律解决问题。 变式训练 5. 将直线 向上平移 1 个单位长度，则平移后直线的函数表达式为（　） A． B． C． D． (三)一次函数的图象与性质 例题精析 例6 已知一次函数 的图象不经过第一象限，求 的取值范围。 ▸思路点拨 先画简图分析，即可得到 的取值范围。 ▸过程详解 解：如图， 可以由 平移得到，可先画 ，然后进行上下平移发现， 时，函数图象不经过第一象限。故 。 ▸总结升华 本题考查一次函数图象经过象限问题，利用数形结合，先画简图分析，函数 的图象可以由 平移得到，进而确定 的取值范围。 变式训练 6. 已知一次函数 的图象如图所示，则 的取值范围是（　） A．， B．， C．， D．， 例7 已知一次函数的图象经过点 ，且满足 随 的增大而增大，则该一次函数的表达式可以为 ____________（写出一个即可）。 ▸思路点拨 本题结论为开放性，答案不唯一，但是能确定 ，。 ▸过程详解 解：答案不唯一，如 。 ▸总结升华 一般地，一次函数 有下列性质：(1)当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。(2)两条直线平行， 相等。(3) 越大，图象越陡。 变式训练 7. 一次函数 （ 为常数，）的图象与 轴交点为 ，且满足 随着 的增大而减少，请你写出一个符合条件的一次函数的表达式 ________。 例8 已知一次函数 的图象与 轴的负半轴相交， 随 的增大而减小，且 为整数。(1)求 的值。(2)当 时，求 的取值范围。(3)当 时，求 的取值范围。 ▸思路点拨 (1)根据图象与 轴的负半轴相交， 随 的增大而减小确定 的范围，由 为整数，确定 的值；(2)数形结合，利用图象确定当 时， 的取值范围；(3)数形结合，利用图象确定当 时， 的取值范围。 ▸过程详解 解：(1)因为图象与 轴的负半轴相交，所以 ，解得 。因为 随 的增大而减小，所以 ，解得 ，所以 。又因为 为整数，所以 。(2)由(1)知 ，因此一次函数为 。当 时，；当 时，。因为 随 的增大而减小，所以当 时，。(3)当 时，；当 时，。因为 随 的增大而减小，所以当 时，。 ▸总结升华 本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合，求一次函数的表达式及自变量或函数值的取值范围。 变式训练 8. 已知一次函数的图象过 ， 两点，求出该函数表达式，画出它的图象，并回答下列问题。(1) 为何值时，？？？(2)当 时，求 的取值范围。(3)当 时，求 的取值范围。 例9 已知一次函数 的自变量的取值范围是 ，相应的函数值的取值范围是 ，求这个一次函数的表达式。 ▸思路点拨 由于 不确定，需要分类讨论，可画简图进行分析，即可求出一次函数的表达式。 ▸过程详解 解：①当 时， 随 的增大而增大，所以 ，；，，代入一次函数的表达式 ，得 ，，解得 ，，则这个函数的表达式是 。②当 时， 随 的增大而减少，所以 ，；，，代入一次函数的表达式 ，得 ，，解得 ，，则这个函数的表达式是 。故这个函数的表达式是 或 。 ▸总结升华 数形结合，先画简图进行分析，发现 时， 取最大时， 取最大，反之当 时， 取最大时， 取最小。 变式训练 9. 已知一次函数 的自变量的取值范围是 ，相应的函数值的取值范围是 ，求这个一次函数的表达式。 例10 在直角坐标系中，点 在函数 （ 且 ）的图象上。(1)若 ，求 的值。(2)若 ，求 的取值范围。(3)设函数 ，若 ，当 时，求 的取值范围。 ▸思路点拨 (1)把点 代入函数 ，即可求出 的值；(2)把 代入函数 ，得 ，再根据 ，即可得出 的取值范围；(3)方法一：联立方程 ，求得 ，由 ，，即可得出 的取值范围；方法二： 与 图象的交点为 ，根据函数的增减性，即可得出 的取值范围。 ▸过程详解 解：(1)把点 代入函数 ，可得 ，所以 。(2)把点 代入函数 ，可得 ，，因为 ，所以 ，所以 。(3)方法一：当 时，，所以 ，因为 且 ，所以 ，因为 ，所以 时，。方法二：因为 ，所以 图象过点 ，因为 时，，所以点 也在 图象上，即 与 图象的交点是 。因为 ， 随 的增大而减小，， 随 的增大而增大，所以当 时，。 ▸总结升华 本题考查一次函数的图象与性质，结合图象进行分析是解题的关键。 变式训练 10. 在平面直角坐标系中，一次函数 （）的图象平行于直线 ，且经过点 。(1)求该函数的表达式。(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出与坐标轴的交点。(3)当 时，对于 的每一个值，函数 的值都小于一次函数 的值，请直接写出 的取值范围。 例11 一次函数 （ 为常数，且 ）。(1)若点 在一次函数 的图象上，①求 的值；②设 ，则当 时，求 的最大值。(2)若当 时，函数有最大值 ，最小值 ，且 ，求此时一次函数 的表达式。 ▸思路点拨 (1)①把 代入 中即可得到 的值；②用 表示 得到 ，根据一次函数的性质， 时， 的值最大，然后计算自变量为 5 所对应的函数值即可；(2)当 时，，，则 ；当 时，，，则 ，然后分别解方程求出 ，从而得到对应的一次函数表达式。 ▸过程详解 解：(1)①把 代入 得 ，解得 ；②当 时，，所以 ，所以 随 的增大而增大，所以当 时，取 ， 有最大值，，即 的最大值为 5。(2)当 时，，，因为 ，所以 ，解得 ，此时一次函数表达式为 ；当 时，，，因为 ，所以 ，解得 ，此时一次函数表达式为 ；综上所述，一次函数表达式为 或 。 ▸总结升华 本题考查了待定系数法求一次函数表达式，利用一次函数的增减性求函数的最大、最小值，由于 的符号不确定，需要分类讨论。 变式训练 11. 一次函数 （ 为常数，且 ）。(1)若点 在一次函数 的图象上，求 的值。(2)当 时，函数有最大值 2，请求出 的值。 (四)一次函数与三角形的面积问题 例题精析 例12 如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，直线 与 关于 轴对称。(1)求点 的坐标。(2)若点 在 的内部（不包含边界），求 的取值范围。(3) 为坐标原点，若过点 的直线将 分成的两部分面积之比为 ，求该直线的表达式。 ▸思路点拨 (1)求出 ，，由直线 与直线 关于 轴对称，得 ；(2)当点 在直线 上时，，当点 在直线 上时，，即可得当点 在 的内部时 的取值范围；(3)分两种情况：①设直线 交 于点 ，，过点 作 于点 ，求得点 坐标，即可求解；②设直线 交 于点 ，，同理可解。 ▸过程详解 解：(1)在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 ，，因为直线 与直线 关于 轴对称，所以点 与点 关于 轴对称，所以 。(2)设直线 的表达式为 ，把点 和点 的坐标代入，得 ，，解得 ，，所以直线 的表达式为 ；当点 在直线 上时，，解得 ，当点 在直线 上时，，解得 ，所以当点 在 的内部时， 的取值范围是 。(3)因为 ，，，所以 ；①设直线 交 于点 ，，过点 作 于点 ，如图 1，所以 ，所以 ，则 ，在 中，令 ，即 ，解得 ，所以点 ，设直线 表达式为 ，所以 ，解得 ，所以直线 表达式为 。②设直线 交 于点 ，，过点 作 于点 ，如图 2，同理可得 ，解得 ，在 中，令 ，得 ，则点 ，设直线 表达式为 ，则 ，解得 ，所以直线 表达式为 。综上所述，直线 的表达式为 或 。 ▸总结升华 本题考查一次函数与几何图形问题，用待定系数法求表达式。熟练掌握线段与点之间的表示转化是解题关键。 变式训练 12. 如图，直线 分别交 轴、 轴于点 ，直线 经过点 ，交 轴于点 。(1)求 的值和 的长。(2)在 延长线上取点 ，使 ，过点 作 轴交 的延长线于点 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值。 (五)直线过定点问题 例题精析 例13 已知一次函数 。(1)当 为何值时，函数图象经过原点？(2)不论 取何值，直线恒过一定点 ，求定点 的坐标。 ▸思路点拨 (1)把 代入得 ，求得 ；(2)变形 ，令 ，即可求得点 的坐标。 ▸过程详解 解：(1)因为函数图象经过原点，所以 ，解得 。(2)，因为不论 取何值，直线恒过一定点 ，所以 ，解得 ，此时 ，即不论 取何值，直线恒过一定点 ，定点 的坐标为 。 ▸总结升华 若函数经过某个特定点，往往需要将函数变形成为以字母为自变量， 为系数的函数形式，根据经过定点得出系数为 0，从而求得 的值。 变式训练 13. 已知一次函数 （ 为常数，且 ），无论 取何值，该函数的图象总经过一个定点，则这个定点的坐标是（　） A． B． C． D． 链接好题 1. 已知一次函数 ，其中 。(1)若点 在 的图象上，求 的值。(2)当 时，若函数有最大值 5，求 的函数表达式。(3)对于一次函数 ，其中 ，当 时， 都成立，求 的取值范围。 参考答案 变式训练 1 C 变式训练 2 ； 变式训练 3 (1)设 ，把 ， 代入，得 ，解得 。则 ，即 与 之间的函数表达式为 。(2)把 代入 ，得 ，即 。 变式训练 4 变式训练 5 A 变式训练 6 D 变式训练 7 （答案不唯一） 变式训练 8 一次函数的表达式为 ，图象如图。(1)当 时，；当 时，；当 时，。(2)当 时，。(3)当 时，。 变式训练 9 分两种情况：①当 时，把 ， 和 ， 分别代入 ，得 ，，解这个方程组，得 ，，所以 。②当 时，把 ， 和 ， 分别代入 ，得 ，，解这个方程组，得 ，，所以 。综上所述，这个一次函数的表达式为 或 。 变式训练 10 (1)由于一次函数图象平行于直线 ，因此 。将点 代入函数表达式，可得 。故函数表达式为 。(2)函数图象如图，当 时，，与 轴交点为 。当 时，，与 轴交点为 。(3)结合图象进行分析，当 时，函数 的图象一定要在 的图象的下方，因此， 的取值范围为 。 变式训练 11 (1)把 代入 ，得 ，解得 。(2)① 时， 随 的增大而增大，当 时， 取最大值 2。把 ， 代入函数关系式，得 ，解得 。② 时， 随 的增大而减小，当 时， 取最大值 2。把 ， 代入函数关系式，得 ，解得 。所以 或 。 变式训练 12 (1)把 代入 ，得 ，所以 。把 代入 ，得 ，所以点 为 。把点 代入 ，得 ，所以 。把 代入 ，得 ，即 。(2)如图，记 交 轴于点 。因为 轴，所以 ，因为 ，，所以 （AAS）。所以 ，，所以 。所以当 时，，所以 ，所以 ，所以 。因为 ，，所以 ，所以 。 变式训练 13 B 【解析】因为 ，当 时，，所以无论 取何值，该函数的图象总经过一个定点 。故选 B。 链接好题 1 (1)把 代入 ，得 ，所以 。(2)当 时，则 时，，把 代入 ，得 ，解得 ，此时一次函数表达式为 ；当 时，则 时，，把 代入 ，得 ，解得 ，此时一次函数表达式为 。(3)因为对于一次函数 ，其中 ，当 时， 都成立，所以当一次函数 与一次函数 的图象平行时满足题意，此时 ，。当一次函数 与一次函数 的图象相交，， 时，满足题意，所以 ， 或 ，。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $