5.4一次函数的图象与性质 提高测试 2026-2027学年 浙教版数学八年级上册

**基本信息** 这份“一次函数的图象与性质提高测试”通过基础辨析、中档综合、提高拓展三层设计，覆盖从概念到动态应用的知识路径，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（定义、性质）|选择填空基础辨析（如第1-3题正比例函数判断）| |中档|综合应用（平移、交点、几何结合）|解答题中档综合（如第19-21题函数与几何图形结合）| |提高|拓展探究（动态问题、分类讨论）|提高题拓展探究（如第23-24题平移与最值问题）|

5.4一次函数的图象与性质 提高测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知A(-3，4)，B(2，-3)，C(3，-4)，D(-5，)与其它三个点不在同一正比例函数图象上的点是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 2．若正比例函数y＝2mx的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞ 3．已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 4．已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 5．一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将直线l1：平移后得到直线l2：，则下列平移作法中，正确的是（　　） A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位 C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位 7．如图，的斜边，点，的坐标分别是，，将沿第一象限的角平分线方向平移，当点落在直线上时记作点，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①y＝－x－1；②y＝x＋1；③y＝－x＋1；④y＝－2(x＋2)的图象，下列说法正确的是（　　） A．经过点(－1，0)的是①③ B．与y轴交点为（0，1）的是②③ C．y随x的增大而增大的是①③ D．与x轴交点为（1，0）的是②④ 9．已知都在直线上，则的值的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数的图象经过第三象限 C．函数的图象与x轴的交点坐标是 D．函数的图象向下平移4个单位得的图象 二、填空题（每题4分，共24分） 11．已知y与x成正比例，当时，，则当时，　 　. 12．若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为　 　. 13．已知，是直线（b为常数）上的两个点，则　 　（填入“<”、“=”或“>”）. 14．已知一次函数的图象过点，且不经过第三象限，则整数a的值是　 　. 15．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，与直线l2：y＝ x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的横坐标为 　 　. 16．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接，，点M，N分别是线段上的动点（M不与A，B重合），且满足.当为等腰三角形时，M的坐标为　 　. 三、解答题（共8题，共66分） 17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移5个单位长度，再F向下平移3个单位长度得到△A1B1C1(图中每个小方格边长均为1个单位长度) （1）在图中画出平移后的△A1B1C1； （2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标A1 　 　，B1　 　，C1　 　， （3）在x轴上找到一点M，当AM+A1M取最小值时，M点的坐标是　 　 。 18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和. （1）求这个一次函数的表达式. （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围. 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点 （1）点A坐标为　 　，点B坐标为　 　； （2）求直线的表达式； （3）若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标. 20．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4. （1）求出A点的坐标. （2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （3）点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标. 21．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点. （1）填空：　 　；　 　；　 　； （2）在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒.是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由. 22．设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P. （1）求证：点P在y轴的右侧. （2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大. ①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围. ②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时. 23．如图，已知点 和点 ，点 和点 是 轴上的两个定点. （1）当线段 向左平移到某个位置时，若 的值最小，求平移的距离. （2）当线段 向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 的周长最小？请说明如何平移？若不存在，请说明理由. 24．已知：直线 和 （ 且 ）交于点 . （1）若点 的横坐标为2，求 的值. （2）若直线 经过第四象限，求直线 所经过的象限. （3）点 在直线 上，点 在直线 上，当 时，始终有 ，求 的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴A、C、D三个点的纵坐标与横坐标的比相等，即. ∵点B的纵坐标与横坐标的比为， ∴点B与其它三个点不在同一正比例函数的图象上. 故答案为：B. 【分析】分别求出点A、B、C、D的横纵坐标之比，据此判断. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴2m＜0， 解得，m＜0. 故答案为：A. 【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断m的符号. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵m＜1， ∴m-1＜0，3-m＞0， ∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限. 故答案为：D. 【分析】根据题意得出m-1＜0，3-m＞0，再根据一次函数的图象和性质即可得出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx＋1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0. A、∵当x＝−2，y＝0时，−2k＋1＝0，解得k＝＞0，∴此点不符合题意； B、∵当x＝2，y＝0时，2k＋1＝0，解得k＝−＜0，∴此点符合题意； C、∵当x＝－1，y＝0时，－k＋1＝0，解得k＝1＞0，∴此点不符合题意； D、∵当x＝1，y＝2时，k＋1＝2，解得k＝1＞0，∴此点不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据一次函数的性质结合题意可得k<0，然后将各个点的坐标代入一次函数解析式中求出k的值，据此判断. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵直线y=mx+n经过第一，二，三象限 ∴m＞0，n＞0， ∴mn＞0， ∴直线y=mnx经过第一，三象限，故A不符合题意； B、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限 ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故B不符合题意； C、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限 ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故C符合题意； D、∵直线y=mx+n经过第一，四，二象限 ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用直线y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限；再观察各选项中的直线y=mx+n所经过的象限，可判断出m，n的取值范围，由此可得到mn的取值范围，可分别得到直线y=mnx所经过的象限，由此可得正确结论的象限. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设直线l1：y＝−2x−2平移后的解析式为y＝−2x−2＋k， ∵将直线l1：y＝−2x−2平移后，得到直线l2：y＝−2x＋4， ∴−2x−2＋k＝−2x＋4， 解得：k＝6， 故将l1向是平移6个单位长度． 故答案为：A. 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点A（1，0），点B（4，0）， ∴AB=4-1=3， 在Rt△ABC中，， ∴点C（1，4）， ∵将Rt△ABC沿第一象限的角平分线方向平移，， 设该直线为y=x+b， ∴1+b=4， 解之：b=3， ∴y=x+3， ∵当点落在直线上时记作点， ∴x+3=2x-6， 解之：x=9 ∴y=3+9=12， ∴点C′（9，12） 故答案为：A. 【分析】利用点A，B的坐标求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长，可得到点C的坐标；再利用将Rt△ABC沿第一象限的角平分线方向平移，可得到角平分线的函数解析式为y=x+b，将点C的坐标代入可求出b的值，可得到函数解析式；然后根据当点落在直线上时记作点，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可求出对应得y的值，即可得到点C′的坐标. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：选项A. 分别把点（-1，0）代入函数解析式可知，令，①，②，③，④通过点（-1，0）的是①②，故该选项不正确，不符合题意； 选项B，交点坐标在y轴上即x=0时y值相等，令，①，②，③，④交点在y轴上的是②③，故该选项正确，符合题意； 选项C，当时，y随x的增大而增大的是②，故该选项不正确，不符合题意； 选项D， 与x轴交点为（1，0），令，①，②，③，④，交点在x轴上的是③，故该选项不正确，不符合题意； 故答案为：B 【分析】利用一次函数图象与坐标轴交点的特征（0，b）、（，0），求出给定函数与y轴和x轴的交点坐标，判断出通过（-1，0）点的是①②；与y轴交点坐标为（0，1）的是②③；与x轴交点（1，0）的是③；利用k的符号可判定给定函数的增减性，y随着x的增大而增大的是②. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴直线呈下降趋势，随着的增大而减小， ∵都在直线上，， ∴； 故答案为：D. 【分析】由于一次函数解析中的自变量系数k=-1＜0，故函数值y故随着自变量x的增大而减小，从而比较三点的横坐标的大小即可判断得出答案. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，， ∴函数值y随自变量x的增大而增大，函数经过第一、二、四象限，故A、B不符合题意； 当时，， ∴函数的图象与x轴的交点坐标是，故C不符合题意； 函数的图象向下平移4个单位得的图象，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据一次函数图象的性质与系数的关系可判断A、B；令x=0，求出y的值，据此判断C；根据一次函数图象的几何变换可判断D. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵y与x成正比例， ∴设y=kx， 当时，， 当时， 故答案为：. 【分析】根据正比例函数的定义，设y=kx（k≠0），将x=3与y=6代入算出k的值，从而可得正比例函数的解析式，进而再将代入正比例函数的解析式，即可算出对应的函数y的值. 12．【答案】a＜-1或a＞1 13．【答案】> 【解析】【解答】解：在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：>. 【分析】根据一次函数图象的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行比较. 14．【答案】-1 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过点，且不经过第三象限， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴， 故答案为：-1. 【分析】根据题意可得a<0，b≥0，将（-2，3）代入可得b=3+2a，则3+2a≥0，联立a<0就可求出a的范围，进而可得a的整数值. 15．【答案】（2，0）或（5，0） 【解析】【解答】解：∵直线l1：y＝x+1与x轴交于点A， ∴A（﹣1，0）， 由 解得 ， ∴B（2，3）， 当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同， ∴C（2，0）； 当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2+BC2， 设C（x，0），则AC2＝（x+1）2，AB2＝（2+1）2+32，BC2＝（2﹣x）2+32， ∴（x+1）2＝（2+1）2+32+（2﹣x）2+32， 解得x＝5， ∴C（5，0）， 综上，点C的坐标为（2，0）或（5，0）. 故答案为：（2，0）或（5，0）. 【分析】易得A（-1，0），B（2，3），当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，不难得到点C的坐标；当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，设C（x，0），然后表示出AC2，AB2，BC2，利用勾股定理求出x的值，进而可得点C的坐标. 16．【答案】或 【解析】【解答】解：令，， ∴点C的坐标为，即， ∵，， ∴， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴， ∴，， 当时， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴M的坐标为； 如图，当时，此时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴M的坐标为； 当时，， 此时点M与点B重合，不符合题意，舍去； 综上所述，M的坐标为或. 故答案为：或. 【分析】易得C（0，2），则OC=2，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BMC=∠ANM，由轴对称的性质可得AC=BC，OA=OB，利用勾股定理可得OA的值，证明△AMN≌△BCM，得到AM=BC，然后求出OM的值，据此可得点M的坐标；当CN=MN时，此时∠CMN=∠MCN=∠CAB=∠ABC，则AM=CM，设OM=x，则AM=4-x，然后在Rt△COM中，根据勾股定理求出x的值，据此可得点M的坐标；当CM=CN时，此时点M与点B重合，不符合题意，舍去. 17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作； （2）(3，1)；(0，-1)；(1，2) （3）(2，0) 【解析】【解答】解：（3）作点A关于x轴的对称点A＇，连接A1A＇,交x轴于点M， ∴ AM+A1M =A1A＇，点A＇（-2，-4） 两点之间线段最短，此时AM+A1M 的值最小， 设直线A1A＇的解析式为y=kx+b， ∴ 解之： ∴y=x-2 当y=0时，x-2=0 解之：x=2 ∴点M（2，0）. 故答案为：（2，0）. 【分析】（1）利用平移的性质，分别将点A，B，C向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1。 （2）根据（1）中的图形，写出△A1B1C1各顶点的坐标。 （3）利用轴对称作图，作点A关于x轴的对称点A＇，连接A1A＇,交x轴于点M，可得到点A＇的坐标，再利用待定系数法求出直线A1A＇的函数解析式，再由y=0求出对应的x的值，就可得到点的坐标。 18．【答案】（1）解：设， 过和得： 解得， ∴所求一次函数解析式为： （2）解： 【解析】【解答】解：（2）由（1）得，当时，， 根据题意：，如图 当时，与平行，当时，成立； 当时，将代入中，得，解得， 由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立； 综上所述，m的取值范围为：. 【分析】（1）将点（0，3）与（2，2）分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而求出直线解析式； （2）将x=-3代入直线解析式算出对应的函数值，把点代入y=mx可求出m的值，当时，与平行，当时，成立，进而根据一次函数的性质即可得出m的取值范围. 19．【答案】（1）(3，0)；（0，4） （2）解：设过点、的直线解析式为， 则有： ， 解得：， 故直线的表达式 （3）解：由（1）可知， ，， 当时，此时D与B重合， D点坐标为， 当时，如图，D点在的垂直平分线上， 此时D点的横坐标为：， 将代入， 求得， D点坐标为， 故D点坐标为或. 【解析】【解答】解：（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令即，解得， 令得， 即点A坐标为，点B坐标为， 故答案为：(3，0)，（0，4）. 【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标； （2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入求出k、b的值，据此可得直线BC的解析式； （3）易得AC、AB的值，当AD=AC时，此时D与B重合，据此可得点D的坐标；当AD=CD时，D点在AC的垂直平分线上，求出点D的横坐标，然后代入y=2x+4中求出y的值，据此可得点D的坐标. 20．【答案】（1）解：∵点B的纵坐标为4，且点B在y轴上， 将点代入直线l的解析式得：， ∴直线l的解析式为： 令得：， ∴. （2）解：存在. ∵Q在第一象限的角平分线上， 设且， 根据勾股定理： ， ， 解得， 故. （3）解：当点P在正半轴时，如图所示， ∵， ∴， ∴， 设，又， ∴ 解得： ∴ 根据对称性可得另一个P点的坐标为， 综上所述，或 【解析】【分析】（1）易得点B的坐标为（0，4），进而将点B的坐标代入直线 算出b的值，从而可得抛物线的解析式，最后令解析式中的y=0算出对应的x的值，即可得出点A的坐标； （2）根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相同可设点Q坐标为（x，x）且x＞0，根据两点间的距离公式及勾股定理建立方程，求出x的值，即可求出点Q的坐标； （3）分类讨论：① 当点P在正半轴时， 根据三角形外角性质并结合已知可得∠PAB=∠PBA，根据等角对等边得PA=PB，设P（0，y），根据两点间的距离公式建立方程求出y的值，即可求出点P的坐标；②当点P在负半轴上时，根据对称性即可直接得出点P的坐标. 21．【答案】（1）；4；2 （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小. 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点，使的周长最短，； （3）解：存在，或 【解析】【解答】解：（1）∵直线与轴交于点，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到. ∴，，. 故答案为：，4，2； （3）∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动时间为秒. ∴， 分两种情况：①点在线段上， ∵和的面积比为， ∴， ∴ ∴， ∴； ②点在线段的延长线上， ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴ 综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或. 【分析】（1）将B（-1，5）代入y=-x+b中可求出b的值，得到直线l2的解析式，令x=2，可求出m的值，得到点C的坐标，然后代入y=kx+1中进行计算可得k的值； （2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小，利用待定系数法求出直线BC′的解析式，令y=0，求出x的值，得到点E的坐标； （3）易得D（-2，0），利用两点间距离公式可得CD的值，①点P在线段DC上，根据题意结合三角形的面积公式可得DP的值，即为t的值；②点P在线段DC的延长线上，同理求解即可. 22．【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1， ∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1， ∴点P在y轴的右侧. （2）解：①当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a， ∵y2-y1=2， ∴（2b+a）-（2a+b）=2， ∴b-a=2，即b=a+2， ∵函数y2的值随x的增大而增大， ∴b＞0，即a+2＞0， 解得a＞-2， ∵点P在第一象限， ∴a+b＞0，即a+（a+2）＞0， 解得a＞-1； ∴a的取值范围是a＞-1； ②证明：∵点P的坐标是（1，1）， ∴a+b=1， ∴b=1-a， ∵a＞b，b＞0， ∴a＞1-a且1-a＞0， ∴ ＜a＜1， 当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1， ， ∵ ＜a＜1， ∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【解析】【分析】（1）两函数图象交点的坐标，就是两函数解析式组成方程组的解，故解联立两函数解析式组成的方程组，求出交点的横坐标，由横坐标的正负即可判断交点所在的大概位置； （2）①将x=2代入两函数解析式得y1=2a+b，y2=2b+a ，再代入 y2-y1=2，得b-a=2，即b=a+2，根据函数y2的值随x的增大而增大， 可知比例系数大于0，据此列出不等式可得a的取值范围，再根据点P在第一象限，故交点的纵坐标大于0，据此再列不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案；②将点P的坐标代入函数解析式可得b=1-a，由a＞b，b＞0，可得 ＜a＜1， 而当x=2时，y1-y2=2a-1，再将b=1-a代入不等式的右边，通分计算并结合不等式的性质可得 ，从而即可得出结论. 23．【答案】（1）解：如图，作B点关于x轴的对称点B1(2，-2)，连接AB1，由对称性可知AC+BC=AC+B1C，当直线AB1向左平移到经过点C时，AC+BC最小， 设直线AB1的解析式为： ， 代入点A(-4，8)，B1(2，-2)得： ，解得 ∴直线AB1的解析式为 当y=0时， ，解得 ， 则直线AB1与 轴交于 ， ∵C(-2，0)， ∴往左平移 个单位. （2）解：四边形 中 长度不变，只要 最短， 如图，将线段DA向右平移2个单位，D，C重合，A点平移到A1(-2，8)， 同（1）可知，当直线AB2向左平移到经过点C时，AD+BC最小， 设直线A1B1的解析式为 ， 代入点A1(-2，8)，B1(2，-2)得： ，解得 ∴直线A1B1的解析式为 当y=0时， ，解得 ∴直线A1B1与 轴交于 ， ∴往左平移 个单位. 【解析】【分析】（1）作B点关于x轴的对称点B1，连接AB1，由对称性可知AC+BC=AC+B1C，当直线AB1向左平移到经过点C时，AC+BC最小，故求出直线AB1与x轴的交点即可知平移距离； （2）四边形 中 长度不变，四边形 的周长最小，只要 最短，将线段DA向右平移2个单位，D，C重合，A点平移到A1(-2，8)，方法同（1），求出A1B1的解析式，得到直线A1B1与x轴的交点即可知平移距离. 24．【答案】（1）解：∵两条直线交于点 ，且点 的横坐标为2， ∴ ，得 . （2）解：∵直线 经过第四象限， ∴ . ∴当 时，直线 经过第一、二、四象限； 当 时，直线 经过第一、二、三象限. （3）解：由题意，得： ， ， ∴ . ∵ 时，总有 ， ∴ ，得 ， ∴ 且 . 【解析】【分析】（1）把A点的坐标代入列方程求k；（2）先利用直线经过第四象限求出k<0,再判定新直线经过的象限；（3）先利用作差法求出,然后根据已知条件列不等式求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $