第四章 整式的加减 数学活动 月历中的奥秘与被3整除的数的规律（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

数学活动 　月历中的奥秘 与被3整除的数的规律 第4章 整式的加减 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 通过探究月历中数字的规律，培养学生观察、归纳、推理的能力，提升数学抽象和逻辑推理素养. 借助对自然数被3整除规律的证明，理解数的表示方法，增强数学运算和逻辑推理能力，发展数学建模素养. 让学生经历从特殊到一般的探究过程，体会数学的规律性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和应用意识. 1.发现并归纳月历中不同图形内数字的规律. 2.理解并掌握自然数能被3整除的规律及其证明方法. 重点 1.用代数式准确表示月历中数字的规律，并说明结论成立的理由. 2.推广自然数能被3整除的规律到多位数，并进行严谨的证明. 难点 重 难 点 创设情境 大家回忆下，之前看月历时有没有发现过什么有趣的地方？ 同学们，月历是我们生活中常见的东西，大家每天可能都会看一眼. 这小小的月历里藏着不少数学奥秘呢！ 在小学，我们已经知道下面这些数都能被 3 整除： 12 ， 27 ， 36 ， 45 ， 108 把每个数各位上的数字加起来看看： 108 1+0+8=9 它们的数字之和 3、9、9、9、9，全都能被 3 整除。 创设情境 12 1+2=3 27 2+7=9 36 3+6=9 45 4+5=9 这里面包含有特殊道理吗？ 今天，我们就一起深入探究月历中的数字规律以及自然数被3整除的规律. 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 蓝色方框中9个数之和为： 3＋4＋5＋10＋11＋12＋17＋18＋19＝99， 99÷11＝9， 所以方框中9个数之和为方框正中心的数的9倍. 思考 （1）蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ 某月的月历 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 （2）如果将蓝色方框移至图②的位置，（1）中的关系还成立吗？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 移动位置，9个数字之和为： 8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144， 144÷16＝9， 所以蓝色方框中9个数之和是144， 是正中心数16的9倍． 3 4 5 10 11 12 17 18 19 8 9 10 15 16 17 22 23 24 思考 （1）中关系还成立. 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 （3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由. 思考 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 方框位置 9 个数的和 中心数 和 ÷ 中心数 位置1 位置2 位置3 结论：方框中9个数之和为方框正中心的数的9倍 90 10 9 198 22 9 171 19 9 新知讲授 思考 （3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点1 月历中的奥秘 月历的排列规律： 左右相邻两个数，相差 1 上下相邻两个数，相差 7 行：从左向右，依次递增1. 列：从上向下，依次递增7. 对角线：从左上向右下，依次递增8. a+7 a–1 a+1 a a–7 a+8 a a–8 新知讲授 思考 （3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点1 月历中的奥秘 设正中间的数为 𝑎，9 个数用 表示为： ( a–8 ) + ( a–7 ) + ( a–6 ) + ( a–1 ) +a+ ( a+1 ) + ( a+6 ) + ( a+7 ) + ( a+8 ) =9a 故移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的数的9倍. 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？ 这个关系对任何一个月的月历都成立，理由为任何一个月历表都具有这种排列规律. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 （5）仿照上述探究的方法，请你在月历中画出一个图形，例如，左下图的“＋”形，右下图的“H”形．图形中的数有什么关系？先从具体的图形开始研究，进而猜想一般结论，并说明结论成立的理由. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 （5）图的“＋”形图形中的数有什么关系？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考 故：“+”型的5个数的和是正中心数的5倍. x+1 x-1 x x+7 x-7 x–7+x–1+x+x+1+x+7=5x 设日历中间的某数为x， 则月历中数的排列规律： 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （5）图的“H”形图形中的数有什么关系？ 思考 设日历中间的某数为a， 则月历中数的排列规律： a+1 a-1 a a+6 a-8 a-6 a+8 a–8+a–6+a–1+a+a+1+a+6+a+8=7a 故：“H”型的7个数的和是正中心数的7倍. 新知讲授 探究点1 月历中的奥秘 在月历中，不同形状（“十”形、“H”形等）的图形内数字和能被图形中间数整除系， 通过设中间数，用含该数的代数式表示其他数并求和可得出规律，且该规律具有普遍性. 小结 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新知讲授 例1.历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31   A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 探究点1 月历中的奥秘 解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即： ，结果是4的倍数，故选项D正确； D =10a+b 新知讲授 探究点2 自然数被3整除的规律 显然9a能被3整除，因此，如果a＋b能被3整除，那么9a+(a＋b)就能被3整除，即能被3整除. =10a+b 讨论 （1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，通常记这个两位数为，能用代数式如何表示？ （2）若a+b能被3整除，两位数 能被3整除，为什么？ =9a+a+b =9a+(a＋b) 结论：如果两位数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个两位数就能被3整除. 新知讲授 探究点2 自然数被3整除的规律 （3）若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数记为. 显然3(33a+3b)能被3整除， 所以如果（a＋b＋c）能被3整除，那么[3(33a+3b)+(a＋b＋c)]就能被3整除，即能被3整除. =100a+10b+c =99a+9b+(a+b+c) =3(33a+3b)+(a+b+c). 讨论 新知讲授 探究点2 自然数被3整除的规律 解：若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，则这个四位数记为. 四位数被3整除的规律一样吗？ 显然3(333a+33b+3d)能被3整除， 所以当（a＋b＋c＋d）能被3整除时， [3(333a+33b+3d)+(a＋b＋c＋d)]就能被3整除，即能被3整除 =1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+(a+b+c+d) =3(333a+33b+3d)+(a+b+c+d). 讨论 新知讲授 探究点2 自然数被3整除的规律 对于任意自然数，将其按数位展开后，除了各个数位数字之和的部分，其余部分都能被3整除.所以当这个自然数所有数位上的数字之和能被3整除时，这个自然数就能被3整除. 结论 如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除. 任意自然数 = 9 的倍数 + 各位数字之和 能否被 3 整除就由数字之和决定 典例评析 例1. （24-25七年级上·四川泸州·期末）一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，p， 记这个三位数为 因为 ． 显然能被3整除， 能被3整除， 所以，如果能被3整除，那么就能被3整除， 即能被3整除． 典例评析 例2. （24-25七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． （1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； 典例评析 例2. （24-25七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，， ，，，． ∴ ． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， 2016÷9=224， ∵而数阵所有的数是奇数，∴中间数是偶数不合条件 ∴这九个数之和不能等于2016； 典例评析 例2. （24-25七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，，∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框，因此这九个数之和不能等于18171． 新知巩固 7. 某轮船先顺水航行3 h，后逆水航行1.5 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行多少千米？ 解：因为 3(a+b)+1.5(a-b) =3a+3b+1.5a-1.5b =4.5a+1.5b 可知，轮船共航行(4.5a+1.5b) km. 复习题 课本p109页 4 检测反馈 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即 A→B→C→D→C→B→A→B→C → … 的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，…， 当数到 时，对应的字母是 ； 当字母C第次出现时，恰好数到的数是 ； 当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是 （用含的代数式表示）. 603 6n+3 2．寻找规律，根据规律填空：，，，，，…，第n个数是 _. B 检测反馈 3．把2，－4，6，－8，10，－12，……按下列方式排列： 第一行：2 第二行：－4， 6 第三行：－8， 10，－12 第四行： 14，－16， 18，－20 ………… 按照这一规律，请你 （1）写出第十行左起第三个数是_____； （2）用n表示第n行左起第一个数的绝对值是 _____ . -96 n²-n+2 4.一个三位数能被3整除，a可能是　 　. 0，3，6，9 拓展提升 1.如图，有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个； 接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 解：（1） 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意： 解得： 4 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多： 拓展提升 1.如图，有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个； 接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 4 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1： m黑-a黑 现乙1： 2m白+a黑 现甲2： m黑-a黑+a混合 现乙2： 2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 1 2.阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2．得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． （1）解：原式 （2）解：原式 ∵， ∴原式 拓展提升 （3）解： 原式 ∵，， ∴原式 拓展提升 1 .（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； （1）解：． 将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现 的值均为0， 0 0 拓展提升 1 .（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（ ）______ （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 0 拓展提升 1 .（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． （3）解：选择：A；如图3中，结论： ． 理由：设，则， ，， ； A 拓展提升 1 .（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 选择：B；如图4中，结论： ． 理由：设， 则，，， ． B 拓展提升 2.（24-25七年级上·河南·期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），再依次完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 ． 解：设每人有牌x张， ∵B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， ∴B同学有张牌，A同学有张牌， ∴给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为： ． 7 25-26七年级上·河南新乡·期末）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”． 若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 解：由，， 则 ， ∵的值与无关，故的系数为零， ∴， 解得． 真题感知 真题感知 1.（24-25八年级下·重庆·期末） 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是 ； 把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为 ． 解：因为“方减2倍数”m与n都是两位数， 且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8， 所以设 则， 观察可知，m的值越小，A就越小． 因为m是两位数，最小的两位数是10， 所以A最小时，此时，． 将，代入 可得． 那么最小的“方减2倍数” ． ∵将放在 的左边组成一个新的四位数B， ∴ ， 64 真题感知 1.（24-25八年级下·重庆·期末） 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是 ； 把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为 ． 因为B能被19整除，所以能被19整除． ∵，，满足 的值最大， ∴尽可能得大， 当时， ， 由能被19整除可得， 解得，不合题意； 当时， ，由能被19整除可得，解得不合题意； 或，解得， 符合题意； ∴满足 的值最大时，，， 此时，， 此时． 64 课堂小结 小结 知识要点 思想方法 核心思想：从特殊到一般，用字母表示数，让规律获得严格的证明 任意自然数 = 9 的倍数 + 各位数字之和 能否被 3 整除就由数字之和决定 共同本质：只要图形关于中心对称， 对称位置的两数之和 = 2 × 中心数， 全部相加后 = 格子数 × 中心数 8. 如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色. 按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ （1） （2） （3） ······ 解：第4个图案中有17个涂色的小正方形， 第n个图案中有(4n+1)个涂色的小正方形. 课后练习 复习题 课本p109页 4 9. 用代数式表示十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的和. 这个和能被11整除吗？ 解:十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数是10a+b； 把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后的两位数是10b+a. 它们的和是(10a+b)+(10b+a)=11a+11b. 因为(11a+11b)÷11=a+b， a，b为自然数， 所以这两个数的和能被11整除. 课后练习 复习题 课本p109页 4 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $