第二章 有理数的运算 数学活动 整理家庭收支项目与填幻方（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

数学活动 　整理家庭收支项目 与填幻方 第2章 有理数 人教版 七年级上册 1 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 能够运用正负数准确记录家庭收支情况，理解有理数在实际生活中的应用，培养数学抽象和数学运算素养. 通过填幻方活动，探索数字规律，掌握有理数的加法运算，提升逻辑推理和数学建模素养. 增强用数学知识解决实际问题的意识，体会数学文化的魅力，发展数据分析观念与创新意识. 1.正确记录家庭收支账目，计算总收入、总支出、总结余和每日平均支出. 2.掌握填幻方的方法，使横行、竖列及斜对角线上数字之和相等. 重点 1.合理分析家庭支出并提出有效建议. 2.归纳出填幻方的通用策略和规律. 难点 重 难 点 知识回顾 1.下列各式中正确的是（　　） A．+5 +（－6）= －1 B．－7 + |－7|= 14 C．－5+（+3）=2 D．（－2）+（－5）=7 知识点链接 有理数的加法法则 A 解：A. +5 +（－6）=－（6－5）=－1，所以本选项在正确； B. －7+|－7|= －7+7=0，所以本选项错误； C. －5+（+3）=－5+3=－2，所以本选项错误； D. （－2）+（－5）=－2－5=－7，所以本选项错误. ►同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 ►异号两数相加，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得 0 ►一个数与 0 相加仍得这个数 知识点链接 2.如图是今年1月7日的天气预报中山西太原的天气预报图，这天山西太原的气温为－22～－9℃，太原天的最高气温与最低气温的温差是（　　） 知识回顾 A．13℃ B．31℃ C．－13℃ D．－31℃ 有理数的减法法则 解：根据题意得： ， 减去一个数等于加上这个数的相反数 A 知识回顾 3.小李到某城市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记为+1，向下一楼记为–1．小李从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）： +5，–3，+10，–8，+12，–6，–10． （1）请你通过计算说明小李最后是否回到出发点1楼； （2）该中心大楼每层高2.8m，电梯每上或下1m需要耗电0.1度．根据小李现在所处的位置，请你算一算，当他办事时电梯需要耗电多少度？ （1）解：（+5）+（–3）+（+10）+（–8）+（+12）+（–6）+（–10）=0 所以小李最后回到出发点1楼. （2）解： 54×2.8×0.1=15.12(度) 所以小李办事时电梯需要耗电15.12度. 创设情境 同学们，数学在我们的生活中无处不在. ►在家庭生活里，收支情况需要我们用数学来管理； 每个月的钱，到底花哪去了？ 你有没有想过—— ＊生活中常见的收支情况都有哪些？ ＊爸爸妈妈一个月赚了多少？花了多少？ ＊月底到底是攒下了钱，还是超支了？ ＊每天平均花掉多少钱？ 我们用正负数给自己家当一回"小会计"。 创设情境 在古代数学文化中，幻方充满了神秘与奇妙. 同学们，数学在我们的生活中无处不在. 今天，我们就一起走进有理数在这两个有趣场景中的应用. 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 活动任务单 帮助家庭记录一个月(或一个星期)的生活收支账目. 活动课题 ①统计家里某月（某星期）的各项收入，各项支出 ②计算出当月的总收入、总支出、总结余以及每周、每日平均支出等. ③建立账目. ④根据你的账目情况，谈谈你的感想. 收入和支出，用什么数来记？ 收入 → 记为正数 爸爸发工资　　　+8000 元 妈妈发奖金　　　+2000 元 收到红包　　　　+500 元 兼职收入　　　　+800 元 支出 → 记为负数 交水电费　　　　-500 元 买菜和日用品　　-2000 元 交房租　　　　　-3000 元 买文具零食　　　-300 元 示例 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 思考 注意：收入记为正（+号可省略），支出记为负（必须写 -号）。 这样每一笔钱的方向一眼就能看出来，不会记混。 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 思考 来看一份真实的一周账本 日期 项目 收支 金额(元) 周一 爸爸工资 收入 +8000 周二 买菜、日用品 支出 -320 周三 交水电费 支出 -480 周四 妈妈奖金 收入 +2000 周五 外出就餐 支出 -260 周六 买文具 支出 -85 周日 收到奶奶给的红包 收入 +500 账本里 7 笔记录： 3 笔收入，4 笔支出 最大单笔收入：工资 8000 最大单笔支出：水电 480 钱主要花在： 菜、水电、外出吃饭 示例 收入和支出，用什么数来记？ 总收入 = 所有正数相加 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 思考 总收入、总支出、总结余以及平均支出怎么算出来的？ 总收入 = 8000 + 2000 + 500 = 10500 元 总支出 = 所有负数的绝对值相加 总支出 = -320-480 -260-85 = -1145 元 总结余 = 总收入 + 总支出（把负数带符号加） 总结余 = 10500 + (-1145) = 9355 元 日均支出 = 总支出 ÷ 天数 日均支出 = 1145 ÷ 7 ≈ 163.6 元/天 示 例 注意： 总结余是正数，说明这一周家里有结余； 如果算出来是负数，就说明超支了。 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 小结 1. 收入记 正，支出记 负——方向一目了然。 2. 总结余 = 所有收支带符号相加，正数是攒下，负数是超支。 3. 日均支出 = 总支出 ÷ 天数，能看出每天花得贵不贵。 4. 账本不只是记账，还能帮家里发现"钱花哪了"，提出省钱建议。 有了正负数，家庭账本就能算得清清楚楚 活动的主要步骤 1 选定时间范围 记一个完整月，或至少一周，数据太少没意义 2 逐笔记账，标明日期和用途 收入写正数，支出写负数，每笔都记上日期和花在哪 算四个关键数 总收入、总支出、总结余、每天平均支出 3 分析账本，提建议 看看哪笔花销最大，哪些可以省，给家里提一条合理建议 4 新知讲授 探究点1 整理家庭收支项目 总结 典例分析 探究点1 整理家庭收支项目 例1.亮亮帮家庭记录6个月的生活收支账目如表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）. 时间 7月 8月 9月 10月 11月 12月 收入 0.91 0.80 0.68 0.75 0.73 0.95 支出 －0.55 －0.35 －0.46 －0.52 －0.30 －0.48 （1）亮亮家月支出最大的是哪个月？ （2）亮亮家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ （3）亮亮家6个月的收支由结余吗？如果有，平均每月的能结余多少万元？ 解：（1）－0.55 ＜－0.52 ＜－0.48＜－0.46＜－0.35＜－0.30， 所有亮亮家月支出最大的是七月. 典例分析 探究点1 整理家庭收支项目 例1.亮亮帮家庭记录6个月的生活收支账目如表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）. 时间 7月 8月 9月 10月 11月 12月 收入 0.91 0.80 0.68 0.75 0.73 0.95 支出 －0.55 －0.35 －0.46 －0.52 －0.30 －0.48 （1）亮亮家月支出最大的是哪个月？ （2）亮亮家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ （3）亮亮家6个月的收支由结余吗？如果有，平均每月的能结余多少万元？ （2）解：由题意得： 总收入＝0.91＋0.80＋0.68＋0.75＋0.73＋0.95＝4.82（万元）， 总支出＝－0.55－0.35－0.46－0.52－0.30－0.48＝－2.66（万元）， 所以亮亮家6个月的总收入是4.82万元，总支出是2.46万元 典例分析 探究点1 整理家庭收支项目 例1.亮亮帮家庭记录6个月的生活收支账目如表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）. 时间 7月 8月 9月 10月 11月 12月 收入 0.91 0.80 0.68 0.75 0.73 0.95 支出 －0.55 －0.35 －0.46 －0.52 －0.30 －0.48 （1）亮亮家月支出最大的是哪个月？ （2）亮亮家6个月的总收入和总支出各是多少万元？有结余吗 （3）亮亮家6个月的收支由结余吗？如果有，平均每月的能结余多少万元？ （3）解：亮亮家6个月的总收入是4.82万元，总支出是2.46万元 4.82+（ －2.66 ）=2.16（万元） 2.16÷6=0.36（万元） 所以亮亮家平均每月的能结余0.36万元 归纳小结：用正负数记录家庭收支账目，方便清晰.计算时按照有理数的加法法则进行运算 17 新知讲授 你对幻方有多少了解呢？ 探究点2 填幻方 新知讲授 探究点2 填幻方 幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法. 3 4 1 5 9 6 7 2 · 每一行 3 个数之和 = 15 · 每一列 3 个数之和 = 15 · 两条对角线 3 个数之和 = 15 这种方阵就叫幻方，是我国古代数学的杰作之一 洛书 新知讲授 探究点2 填幻方 思考 为什么中间必须是 5？ 中心数 5 是关键 4 9 2 3 5 7 8 1 6 第一步：算九个数的总和 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 第二步：计算每行的和 三行加起来就是全部 9 个数， 三行和相等，所以每行和 = 45 ÷ 3 = 15 第三步：确定中间数 过中心有 4 条线（中间行、中间列、两条对角线）， 它们的和都是 15，4 条线总和 = 4 × 15 = 60 60 = 45 + 3 × 中间数 所以中间数 = (60 - 45) ÷ 3 = 5 新知讲授 探究点2 填幻方 例2.请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入如图所示的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 解：第一步：求这9个数的总和： （－4）＋（－3）＋（－2）＋（－1）＋0＋1＋2＋3＋4＝0. 第二步：每行（或每列）的和： 因为要使三行（或三列）的和相等， 所以每行（或每列）的和：0÷3=0 第三步：确定中间数 中间填平均数 = 0 第四步: 尝试配对剩余格子数 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 提示：可以把标准幻方每个数减 5 新知讲授 探究点2 填幻方 例2.请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入如图所示的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 你们填这个幻方的方法相同吗？ 讨论 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 第一行与第三行对称变换 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 新知讲授 探究点2 填幻方 例2.请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入如图所示的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 你们填这个幻方的方法相同吗？ 讨论 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 第一列与第三列对称变换 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 新知讲授 探究点2 填幻方 例2.请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入如图所示的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 你们填这个幻方的方法相同吗？ 讨论 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 对角线旋转 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 归纳小结：填幻方时，先确定这组数字的总和，进而得到每行（列）的和.中间数通常填在中间格，再根据数字特点进行配对尝试.不同的思考顺序可能会有不同的填法，但都要满足横行、竖列及斜对角线数 典例评析 例1．设 A 是由 2×4 个整数组成的 2 行 4 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．数表A 如下表所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表．（写出一种方法即可） 1 2 3 －7 －2 －1 0 1 解：先改变第4列， 再改变第2行， 1 2 3 7 －2 －1 0 －1 1 2 3 7 2 1 0 1 新知巩固 7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是： 红队胜黄队，比分为 4∶2； 蓝队胜黄队，比分为 3∶1； 红队负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为 负，那么三队的净胜球数各是多少？ 解：红队：(4－2) + (2－3) = 1 黄队：(2－4) + (1－3) = －4 蓝队：(3－1) + (3－2) = 3 复习题 课本p62页 2 新知巩固 8. 下列各数是十名学生的数学检测成绩： 82，83，78，66，95，75，61，93，82，81. 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力. 解：估算他们的平均成绩是 75， 将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0. 他们的成绩如下：7，8，3，－9，20，0，－14，18，7，6. [7 + 8 + 3 + (－9) + 20 + 0 + (－14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6， 平均成绩是： 75 + 4.6 = 79.6 复习题 课本p62页 2 1.手机移动支付给生活带来便捷．如图是小明某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则他当天微信收支的最终结果是（　　） 微信红包-来自邓某某 滴滴出行 扫二维码付款给某早餐店 A．收入6元 B．支出8元 C．支出5元 D．收入19元 检测反馈 A 解：根据题意得：+19+（-8）+（-5）=19-8-5=+6元 所以收入6元 m 2 3 5 2．（2019·绍兴）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1~9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、角线的三个数之和都相等。如图幻方中，字母m所表示的数是　 　。 解：如表格所示 ∵三行，三列，对角线上的三个数之和相等 ∴3+5+y=2+y+h=2+5+z=z+n+h=x+5+n=2+x+m ∴3+5+y=2+y+h 解得：h=6 2+5+z=z+n+6 解得：n=1 ∵2+x+m=1+5+x 解得：m=4 检测反馈 x z n h y 4 3.一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，现记录如下： （1）这批水果总共有多少千克？ （2）第一天按每千克10元的价格卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客，把第一天卖水果的价格打九折后作为新的价格卖完了剩下的水果，请计算一下这批水果一共卖了多少钱？ 检测反馈 （1）解： （千克）， 答：这批水果总共有244千克． （2）解：第一天卖出水果的钱： （元； 第二天卖出水果的钱： （元， 答：这批水果一共卖了2318元． 4.小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加.重复这样做，每次所得的和都是16，17，18，19中的一个数，并且这4个数都能取到.猜猜看，小丽在4张纸片上写的4个整数之积为　 　 . 检测反馈 5670或5760 解：设这四个数分别为x、y、z、w且x ≤ y ≤ z ≤w 则x+y=16，z+w=19由题意得， 若这四个数各不相同时，所得的任意两数之和不止四种， 若这四个数中有三个或者四个相等时，所得的任意两数之和只有两种或一种， ∴四个数中只有两个数相等 ∵任意两数之和最小值为16，最大值为19 ∴这两个相等的数可能是8或9 ∴这四个数可能是8、8、9、10或者7、9、9、10 ∴这四个数积为5760或5670. 1． 已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a－b|+|b－c|+|c－d|+|d－a|取得最大值时，这个四位数的最小值是　 　. 拓展提升 1119 解：依题意a≤b≤c≤d， 则原式=（b－a）+（c－b）+（d－c）+（d－a）=2（d－a）最大， 则d=9，a=1 四位数要取最小值且可以重复， 【分析】 由于低位上的数字不小于高位上的数字， 得出a≤b≤c≤d，依此去绝对值，得出原式的结果为2（d－a），要使结果取得最大值，则保证两正数之差最大，得出a=1， d=9，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答，即可得出结果. 10．已知x，y均为整数，且|x－y|+|x－3|＝1，则x+y的值为　 　． 拓展提升 5或7或8或4 解：因为 ， 均为整数， ， 可得： ， 或 ， ， ∴当 ， ， 可得： ， ，则 ； 当 ， ， 可得： ， ，则 ； 当 ， ， 可得： ， ，则 ； 当 ， ， 可得： ， ，则 ， 真题感知 1．（2022七上·龙港期中）将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（　　） 解： 将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等 ，一把是将这九个数从小到大排列后，排第五位的数填中间，然后分别让两头的数组合成一对往里面填写，据此可得x处应该填－3. A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 C 课堂小结 有理数的加减混合 运算的基本步骤 ①将加减混合运算统一为加法运算； ②省略括号和加号进行简写； ③利用加法运算律简化运算 注意 ①在用加法运算律简化运算的过程中，之前学过的常用简化方法（如同号结合法、相反数结合法、同分母结合法、凑整结合法等）依然适用，区别只是算式经过了简写； ②对于算式中有绝对值的，先去绝对值符号再计算 课堂小结 9. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）. 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少. 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 －27.8 －70.3 200 138.1 －8 188 458 解：458－(－27.8－70.3 + 200 + 138.1－8 + 188) = 38 (元) 答：星期六盈利，盈利了 38 元. 复习题 课本p62页 2 课后练习 15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： 1×1=________； 11×11=_______； 111×111=________； 1111×1111=__________. （1）你发现了什么？ 1 121 12321 1234321 发现如下规律：1…1×1…1 = 123…(n－1)n(n－1)…321 n个 n个 （2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？ 解：12345678987654321 复习题 课本p62页 2 课后练习 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $