第二章有理数运算章节复习 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数运算章节复习 1、知识梳理 2、易错警示 3、典型例题 4、跟踪练习 课程目录 一、知识梳理（一） 1. 有理数加减法： 加法法则：先定符号，再算绝对值。 同号两数相加，取相同符号，绝对值相加。 异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。互为相反数的两数相加得0；一个数与0相加仍得这个数。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 𝑎−𝑏=𝑎+(−𝑏) 减法统一转化为加法后，可利用加法交换律和结合律进行简便计算。 一、知识梳理（二） 2、有理数乘除法： 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。多个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇负偶正）。 除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 𝑎÷𝑏=𝑎× （ 𝑏≠0 ） 两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0。 倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 一、知识梳理（三） 3、有理数乘方： 定义：求n个相同因数的积的运算，结果叫做幂。在 中， 𝑎是底数， 𝑛 是指数。 符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 一、知识梳理（四） 4、混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算从左到右依次进行； 有括号先算括号内，按小括号、中括号、大括号依次进行。 一、知识梳理（五） 5、运算律（简化计算的核心）： 加法交换律： 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎a+b=b+a 加法结合律： 𝑎+𝑏)+𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐)(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律： 𝑎𝑏=𝑏𝑎ab=ba 乘法结合律： (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐)(ab)c=a(bc) 乘法分配律： 𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐 a(b+c)=ab+ac （常用于拆括号或提取公因数） 二、易错警示 1、符号错误：去括号时，括号前是“-”号，括号内各项都要变号；多个负号相乘时漏判符号。 2、乘方底数混淆：区分与 ，前者底数是 −2，后者底数是 2 3、运算顺序颠倒：除法没有分配律， 带分数运算：带分数参与乘除运算时，需先化为假分数。 5、跳步计算：混合运算过程不完整，导致符号或数值出错，建议每一步只做一个运算。​ 三、典型例题 例1：有理数加减运算 计算： −12+8−(-5)−7 原式 =−12+8+5−7 =(−12−7)+(8+5) =−19+13 =-6 例2、有理数加减运算 计算 (−3.2)+5.7+(−6.8)+4.3 解析：观察发现 −3.2 与 −6.8 、5.7与 4.3分别可以凑整，利用加法交换律和结合律简化计算 解：原式==-10+10=0 例3：有理数乘除与乘方混合运算 计算 ： 解析：严格按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算，注意负号的处理 解：原式==-24- 例4：有理数乘除与乘方混合运算 计算： 解析：严格按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算，注意负号的处理 解：原式= 例5：乘法分配律应用 计算： 解析：括号内通分较麻烦，利用乘法分配律分别相乘更简便。 解：原式==-1+=（或者0.75） ​ 例6：含绝对值综合运算 已知 ∣a∣=5 ， ∣b∣=3 ，且 a<b ，求 a−b 的值 【解题步骤】去绝对值：因为 ∣a∣=5 ，所以 a=5 或 a=−5 。因为 ∣b∣=3 ，所以 b=3 或 b=−3 。 根据条件筛选：题目已知 a<b 。 当 a=5 时，无论 b 取3还是-3，都不满足 a<b ，故舍去。当 a=−5 时：若 b=3 ， −5<3 成立；若 b=−3 ， −5<−3 成立。 分类计算：情况一：当 a=−5,b=3 时， a−b=−5−3=−8 。 情况二：当 a=−5,b=−3 时， a−b=−5−(−3)=−5+3=−2 。 结论： a−b 的值为 -8 或 -2。 例7：有理数运算的实际应用 小明家轿车连续10天行驶路程以20km为标准，超过或不足部分用正负数表示：+3, +1, -2, +9, -8, +2, -4, +5, -3, +2（单位：km）。 (1) 求这10天轿车行驶的总路程； (2) 若每100km耗油7L，汽油每升8元，估计一个月（30天）的汽油费用。 解析：(1) 先求正负数的和，再加上标准路程总和；(2) 先算日均路程，再推算月耗油量与费用。 解：（1）3+1-2+9-8+2-4+5-3+2=5（km） 所以10天行驶总路程=20×10+5=205（km) (2)日均路程 =205÷10=20.5=205÷10=20.5 （km) 月耗油量 =20.5×30÷100×7=43.05=20.5×30÷100×7=43.05 （L） 月费用 =43.05×8=344.4=43.05×8=344.4 （元） 例8：（数形结合与分类讨论） 数轴上点A表示的数是-4，点B表示的数是6。若点P在数轴上，且点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求点P表示的数 【解题步骤】1、设未知数：设点P表示的数为 x 2、列方程：根据距离公式，PA =∣x−(−4)∣=∣x+4∣ ，PB =∣x−6∣ 。 由题意得： ∣x+4∣=2∣x−6∣ 分类讨论去绝对值： 情况一： x+4=2(x−6) x+4=2x−12 −x=−16⇒x=16 情况二： x+4=−2(x−6) x+4=−2x+12 3x=8⇒x= 所以：x=16或者x= 例9：（裂项抵消） 观察下列等式：...... 利用上面规律计算：的值 分析规律：这是典型的“裂项相消”法，通项公式为 解：原式=+ 例10：（中考真题改编） 定义一种新运算“ ⊕ ”，规定 a⊕b=−∣b∣ 。例如：3⊕2=−∣2∣=7 。 求 (−2)⊕(−3) 的值。 理解定义：新运算的规则是“前一个数的平方”减去“后一个数的绝对值“ 代入数值：这里 a=−2 ， b=−3 。 原式 =−∣−3∣=4-3=1 例11：（中考必考题型） （科学记数法与近似数）随着科技的发展，某超级计算机的运算速度达到了每秒 1,230,000,000 亿次。 (1) 将 1,230,000,000 用科学记数法表示； (2) 将 1,230,000,000 精确到亿位。 科学记数法：形式为 ，其中 1≤∣a∣<10 。n=位数-1 （1）一共10位，所以 n=9 。结果：1.23× （2）亿位上的数字是2，下一位（千万位）是3。因为 3<5 ，所以直接舍去后面的尾数。所以a=1.2，n=9 所以结果为： 例12：（拓展延伸） 已知有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示（ c<a<0<b ），且 ∣a∣<∣b∣<∣c∣ 。化简： ∣a+c∣−∣b−a∣+∣c−b∣ 因为 c<a<0 ，两个负数相加，所以 a+c<0 因为 a<0<b ，小减大，所以 b−a>0 （或者理解为正数减负数等于正数加正数）因为 c<0<b ，小减大，所以 c−b<0 原式 =(−a−c)−(b−a)+(−c+b) =−a−c−b+a−c+b=-2c 例13：（拓展延伸） 探索规律：...... （1） （2）的值 解答： （1） （2） 四、跟踪练习 1、计算： 2、用简便方法计算： 3、已知：=0 求的值 4、按如图所示的程序计算：输入 𝑥=−2→ 平方 → 减去 3𝑥→ 除以 (−2) → 输出结果。求最终输出的值。 四、跟踪练习 5、数轴上点A表示-4，点B表示6 。点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右运动；点Q从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动。两点同时出发，设运动时间为t秒 （1）用含t 的代数式表示P、Q两点所表示的数； （2）当 t 为何值时，P、Q两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3) 当 𝑡=5时，求P、Q两点之间的距离。 $