精品解析：江苏靖江外国语学校2026-2027学年上学期九年级第一次阶段质量检测数学试卷

2026-2027靖江市外国语九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考）（满分150分 考试时间120min） 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 3. 已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察函数图象可知，当时，的取值范围为． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 5. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 6. 已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 二、填空题 7. 已知，那么___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据x与y的比例关系，设参数表示x和y，再代入计算约分，即可得到结果． 【解答】解：， 设， ． 8. 如果线段是、的比例中项，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【详解】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【解答】解：是、的比例中项， ， 又， ， 解得． 又为线段的长度， 舍去； 即． 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 10. 若图上距离与实际距离之比是，某两地的在地图上的距离是，实际距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于0列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 13. 为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 【答案】八 【解析】 【详解】设该服装每次平均打折，根据原售价及实际售价，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该服装每次平均打折， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该服装每次平均打八折． 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有_______人． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群一共有人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到56个红包，列出方程求解． 【详解】解：设该群一共有人，则每人收到个红包． 依题意得：，解得，（舍去）． 故该群一共有8人． 故答案为：8． 15. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出  与  的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于  的一元二次方程  的两个实数根， ∴，， 将  代入，得  ， 整理得 ， 解得  ，（舍去） 当  时，， ∴ ， ∴  ，即 ． 16. 如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与、的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，连接，， 由和关于对称可得，、、三点共线． ， ，为等腰三角形， 为的中点，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ∴为的中位线， ，， ， 线段垂直， ， 根据轴对称可得， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 三、解答题（共102分） 17. 解下列一元二次方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）找出，，的值，代入求根公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【解析】 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】（1）解：①如图，为所作， ②如图，为所作， （2）是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 20. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，， ①当四边形是菱形时，求的长； ②当______时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）易证得，即可得，推出，得到，即可判定四边形是平行四边形； （2）①当四边形是菱形时，，证明是等边三角形，据此计算即可得到结果； ②当四边形是矩形时，，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得到结果． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形， ∵，，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2； ②∵四边形是矩形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用． 21. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 22. 如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． （1）求a，b的值； （2）若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】（1）， （2）点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【小问1详解】 解：一次函数的图像经过点， ，解得． 【小问2详解】 解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 23. 如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： （1）填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） （2）如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； （3）尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【小问1详解】 解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 解答下列问题 （1）如图①，中，点为边上的点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，则___________． （2）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； （3）如图③，中，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是___________． 【答案】（1）2.7 （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，利用平行线分线段成比例得到，即可求得； （2）由平行四边形性质得到，，证明得到，同理，，即可证明； （3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，，且、分别是边的中点，利用平行线分线段成比例得到为的中位线，则，连接与交于点，此时周长最小，即的周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出的最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ，即， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，如图， ，且、分别是边的中点， ∴，， ∴点M为的中点，点N为的中点， 为的中位线， ∴， ， 连接与交于点，此时的周长最小，即的周长最小． ，， ∴， ∵， ，又， ∴， ∴， ， 在中， ， ． 即周长的最小值是． 25. 阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决． 材料：已知，求代数式的值； 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将代入求值比较困难，观察的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现是方程的根，所以，，所以原式． （1）以2，为根的方程可以是_________； （2）已知，请用材料中的方法求代数式的值； （3）求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写一个满足条件的方程即可； （2）是方程的根，可得，把所求式子变形再整体代入即可； （3）设，知x是方程的根，可得，再代入可得答案． 【小问1详解】 以2，为根的方程可以是： 故答案为： 【小问2详解】 ∵， ∴是方程的根， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 设， ∴， ∵， ∴x是方程的根， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料的方法解决问题． 26. 如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）点E坐标为 （3）平移的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意求得、，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意可设，直线的表达式设为，联立方程组得，，再由等腰直角三角形和勾股定理得，，进而得，即可求解； （3）由题意得为等腰直角三角形，再根据平移的性质和题意得为等腰直角三角形，设，则，直线的表达式为，联立方程组得，则，作于点P，则，即，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 故， 故反比例函数表达式为， 将、代入一次函数中， 可得，， 故一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可设， ∵， ∴直线的表达式可设为， 令，整理得， 故，， ∵，, ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，整理可得， 解得或（舍去）， 故点E坐标为； 【小问3详解】 解：由题可得为等腰直角三角形， 故平移后， 又∵， ∴为等腰直角三角形，如图3所示， 设，则， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 令，整理可得， 故，则， 作于点P，则， 即，整理可得， 解得（舍去负根）， 即， 故平移的距离为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027靖江市外国语九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考）（满分150分 考试时间120min） 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 3. 已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 20 5. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知，那么___________． 8. 如果线段是、的比例中项，且，则___________． 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 10. 若图上距离与实际距离之比是，某两地的在地图上的距离是，实际距离为______． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 13. 为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有_______人． 15. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 16. 如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 三、解答题（共102分） 17. 解下列一元二次方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 20. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，， ①当四边形是菱形时，求的长； ②当______时，四边形是矩形． 21. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 22. 如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． （1）求a，b的值； （2）若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 23. 如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： （1）填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） （2）如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； （3）尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 24. 解答下列问题 （1）如图①，中，点为边上的点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，则___________． （2）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； （3）如图③，中，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是___________． 25. 阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决． 材料：已知，求代数式的值； 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将代入求值比较困难，观察的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现是方程的根，所以，，所以原式． （1）以2，为根的方程可以是_________； （2）已知，请用材料中的方法求代数式的值； （3）求代数式的值． 26. 如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $