精品解析：江苏镇江市丹徒区宜城中学四校2026-2027学年九年级上学期9月数学当堂作业

九年级数学当堂作业 一、选择题（共10小题30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，5，0 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，0 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（ ）． A. B. C. D. 7. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），现计划安排36场比赛，应安排（ ）个球队 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且，则下列数值中可为长的是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 二、填空题（共6小题18分） 11. 已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 12. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的值可以为_________．（写出一个即可） 14. 一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 15. 已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 16. 如图，正方形的边长为8，为等腰直角三角形，，，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 19. 某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率 20. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 21. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，的面积等于？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 22. 学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． （1）的长为_________米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 23. 阅读下面的例题，解决问题． 例：解方程． 解：， ∴原方程可化为． 设，原方程转化为， 解得，． 当时，，，； 当时，不成立，舍去． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将看成一个整体，设为一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，这种方法叫作“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程，用换元法求的值． （2）仿照上述方法，解方程． 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学当堂作业 一、选择题（共10小题30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，5，0 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，0 【答案】C 【解析】 【详解】解：将方程移项，得一元二次方程的一般形式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 4. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆， 可列方程． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 6. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键，并且理解而立之年是一个人30岁的年龄．根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可． 【详解】解：个位数字为x，则十位数字为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为岁． 故答案选：D． 7. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），现计划安排36场比赛，应安排（ ）个球队 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设应安排个球队参赛，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设应安排个球队参赛， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴应安排9个球队． 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 9. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根， ∴，m＋n＝4， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且，则下列数值中可为长的是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．设，由阴影部分的面积为2得，由勾股定理得，进而得出，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵阴影部分的面积为2， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， 故选：B． 二、填空题（共6小题18分） 11. 已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程需要满足两个条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，列关于的方程或者等式，解出即可． 【详解】解： 方程是关于的一元二次方程。 未知数的最高次数满足，且二次项系数 解得或， 又，即， ． 12. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的值可以为_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程标准形式，根据两个不相等实数根的条件得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：整理原方程，展开 得 方程有两个不相等的实数根 根的判别式其中，，， 代入得 解得因此可取． 14. 一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将新方程中的看作整体，对应原一元二次方程中的，根据原方程的根即可求出新方程的根． 【详解】解： 一元二次方程的两根分别为和， 方程中，或， 解得或． 15. 已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程系数，，均为有理数，已知根是含的无理数，根据根与系数的关系，两根之和与两根乘积都为有理数，因此另一根需抵消已知根的无理部分，推导得另一根． 【详解】解：设方程另一根为， ∵，，为有理数，， ∴根据根与系数的关系，是有理数，也是有理数， 要使和为有理数，中必须含抵消无理项，设，为有理数， 则， ∵乘积为有理数，无理项的系数必须为0， ∴，解得， ∴， ∴方程的另一个根为． 16. 如图，正方形的边长为8，为等腰直角三角形，，，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：延长到G点，使，交于点K，连接、、，过点作，交于点N，和交于点M，如下图所示： 点H为中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， 正方形的边长为8， ，， ， ， ， ， ， ， （前面已证）， ， 即， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小，此时也最小，， ， 当B、C、E三点共线时，取得最小值4，此时． 【点睛】利用中点倍长构造全等三角形，全等加旋转思想证等腰直角三角形，最值转化为三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）无实数根 （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴方程无实数根； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明： 在方程中， ，，， ∵ ，即， ∴ 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）用根的判别式进行判别即可； （2）用根与系数的关系进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在方程中， ，， ， ， 解得：． 【点睛】任何实数的平方都是非负数． 19. 某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率 【答案】每次下降的百分率为20% 【解析】 【分析】设每次下降的百分率为a，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为a，根据题意得： 50（1－a）2＝32 解得：a＝1.8（舍去）或a＝0.2＝20%， 答：每次下降的百分率为20%， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 20. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】（1） （2）10元或30元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【小问1详解】 解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 21. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，的面积等于？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒 （2）点P，Q之间的距离不可能为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，利用三角形面积公式，两点之间的距离公式，分类讨论思想以及找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设点P，Q移动的时间为x秒．由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可； （2）由于P，Q之间的距离是否可以为，根据勾股定理列出方程求解即可. 【小问1详解】 解：设点P，Q移动的时间为x秒，则， ∵ ，， ∴． ∵的面积等于， ． 解得：，． 经检验，，均符合题意． 故经过2秒或4秒，的面积等于． 【小问2详解】 解：∵， ． 即． ． ∵， ∴方程无实数根． 故点P，Q之间的距离不可能为． 22. 学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． （1）的长为_________米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】（1） （2） （3）实验田的最大面积为平方米 【解析】 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； 【小问2详解】 解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 23. 阅读下面的例题，解决问题． 例：解方程． 解：， ∴原方程可化为． 设，原方程转化为， 解得，． 当时，，，； 当时，不成立，舍去． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将看成一个整体，设为一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，这种方法叫作“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程，用换元法求的值． （2）仿照上述方法，解方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据换元法，设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，求解检验即可； （2）根据换元法解方程即可． 【小问1详解】 解：设，原方程转化为， 解得，． 当时，； 当时，不成立，舍去， 综上所述，的值为； 【小问2详解】 解：设，原方程转化为， ，两边平方得， 解得，， 当时，，； 当时，，而，原方程不成立，舍去， 综上所述，原方程的解是． 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $