3.2 确定圆的条件 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“确定圆的条件”为核心，通过知识梳理+分层练习设计，覆盖外心概念、位置规律及外接圆计算，从基础辨析到综合应用，梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|外心定义、确定圆条件|单选题1-2概念辨析，填空题14-15生活情境题，培养抽象能力与应用意识| |提升层|外心位置、半径计算|单选题3-5结合坐标系/网格，填空题12-13方程与几何综合，发展几何直观与运算能力| |综合层|作图与证明应用|解答题21-24尺规作图、四点共圆证明，体现推理意识与数学语言表达|

3.2确定圆的条件（知识梳理+同步练习） 一、确定圆的基本条件 1. 经过一个点：可以作无数个圆，圆心为平面内除该点外任意一点。 2. 经过两个点：可以作无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上。 3. 经过不在同一直线上的三个点：有且只有一个圆。 核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 补充：在同一直线上的三个点，无法确定圆。 二、三角形的外接圆相关概念 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2. 外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 3. 外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离。 4. 圆的内接三角形：三个顶点都在同一个圆上的三角形，叫做圆的内接三角形。 三、外心的位置规律 1. 锐角三角形：外心在三角形内部。 2. 直角三角形：外心在斜边的中点，斜边为外接圆直径。 3. 钝角三角形：外心在三角形外部。 四、外心核心性质 1. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 2. 任意三角形有且只有一个外接圆。 3. 一个圆有无数个内接三角形。 同步练习 一、单选题 1．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．直径所对的圆周角是直角 B．三角形的外心到三角形各边的距离相等 C．相等的圆心角，所对的弧相等 D．经过三点一定可以作圆 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 8．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 9．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    12．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_______． 13．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，O为三边垂直平分线的交点，，则______cm． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 16．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 18．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 三、解答题 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 22．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 23．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 24．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    试卷第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C D D C A C 1．C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．A 【详解】解：A．直径所对的圆周角是直角，正确； B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故不正确； C．同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，故不正确； D．经过不在同一直线上三点一定可以作圆，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解圆心角弧弦的关系、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大． 3．B 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 4．B 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 5．C 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 6．D 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 7．D 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 8．C 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 9．A 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 10．C 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 11． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 12．5 【详解】解：解方程得或， ∴该直角三角形的两直角边长分别为3，4， ∴该直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边 ∴此直角三角形的外接圆的直径为， 故答案为：． 13．15 【详解】解：∵O为三边垂直平分线的交点，， ∴， ∴； 故答案为：15． 14．三边垂直平分 【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 15．13 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 16． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 17．个 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 18． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 19．G 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 20．4 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 21．(1) 如图，点O即为所求； （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 22．证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 23．(1) 证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； (2)解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 24．（1）的外接圆如图所示：    （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． $