第二十章 二次根式（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册二次根式单元基础通关卷，以基础巩固为主，融入数学文化、生活情境及探究性问题，适配单元复习，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|二次根式定义、有意义条件、运算|基础概念辨析，如第1题考查定义，第4题结合数轴中点（几何直观）| |填空题|12/24|最简二次根式、同类二次根式、有理化因式|概念深化，如第8题同类二次根式（抽象能力），第18题复数阅读（创新意识）| |解答题|7/58|计算、化简求值、高空抛物应用、海伦公式文化、综合探究|分层设计，22题高空抛物（模型意识），23题海伦公式（文化传承），25题综合探究（推理能力）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 6．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 9．的倒数是_____． 10．为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 11．对于，当是整数时，最小的正整数______． 12．如果 ，那么 ________． 13．当时，化简_____． 14．计算：_____． 15．计算：__________. 16．把中根号外的移入根号内得________． 17．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 18．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 三、解答题（共7小题，共58分） 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）计算：. 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 23．（本题8分）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 24．（本题10分）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且均为正整数，求的值． 25．（本题12分）综合与实践 小申同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 6．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 9．的倒数是_____． 10．为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 11．对于，当是整数时，最小的正整数______． 12．如果 ，那么 ________． 13．当时，化简_____． 14．计算：_____． 15．计算：__________. 16．把中根号外的移入根号内得________． 17．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 18．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 三、解答题（共7小题，共58分） 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）计算：. 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 23．（本题8分）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 24．（本题10分）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且均为正整数，求的值． 25．（本题12分）综合与实践 小申同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 试卷第1页，共3页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B 马 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7.va+1 8.3 9.2+5 10.a-26 11.15 、1 12.25 14.2V3x 15.0 16.-v1-a 17.55-52 18.32 三、解答题（共7小题，共58分） =6x-2xx+2×3G 2 2分 =3Vx-2F+2V ….4分 =3√ 6分 20本超6分)解：原式京（引5日 a -V( 、3 ab√a b =-3ava ，6分 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14》 m2-2m+1., 21.(本题8分)解： m2+3m（m+3 =(m-1)}2 (m+3 4 m(m+3)(m+3m+3 =(m-1)'m-1 m(m+3）m+3.2分 =(m-m+3 m(m+3)m-1.4分 =m-1 m行6分 m=2-1时，m2-1(2-2+12-1 m-12-2.（5-25+刊2-2-2.5 8分 2.(本题8分)4)V5,h=20m. 故答案为：2；4分 W (2)=5,1=6, h=5t2=180(m) ,E=10×0.05×180=90(J ,而502≈70.7J :90W>502 故，会对无防护人体造成伤害。8分 23.（本题8分)解：：△ABC的三边长分别为5,6,7， 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :na+b+c)-x5+6+7)-=9, 2分 :S.c=Vp(p-a(p-bp-0=V9x9-5)x(9-6)x9-7)=6N6 4分 ·:△48G的三边长分别为5.6，万 swj]阿-- 8分 7-210 24.(本题10分)(1)解： =(5+2)-2V5×2 =(5+(2)-2×5xv2 =(5-2； 4分 (2)解：a+25=(m+vnj 由题意得， (m+ =m+2√mn+n =(m+n）+2√mn .m+n=a,mn=15, m>n,且a,,n均为正整数， .m,n的值可能为15,1或5,3，… 6分 当m=15、n=1时，a=15+1=16, 则a+m+n=16+15+1=32. … 8分 当m=5、n=3时，a=5+3=8, 则a+m+n=8+5+3=16;9分 综上，a+m+n的值为32或16.10分 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 bcm2 25.(本题12分)(1) acm2 2分 0 √avb x/cm (②证明：n+1-2m=(m-1,且n>1, :(n-旷>0，即2+1-2m>0, .n2+1>2n,即0<2n<n2+1, .vn ;6分 (③)证明：，n为正整数，且n≥2， S=+++vn<n+n+n=nvn=Vn n个√厅 又.0<n3<n3+1, 三利用探究的结论可以得到厅<V :S=i+2+…+n<√n+i 10分 4/4 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，A计算错误； 对选项B，，B计算正确； 对选项C，，C计算错误； 对选项D，，D计算错误. 4．如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 6．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 【答案】C 【详解】解：，， ， ∴， ， ， ， 故选：C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【答案】 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 9．的倒数是_____． 【答案】/ 【详解】解：的倒数是： ． 10．为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 11．对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 12．如果 ，那么 ________． 【答案】 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 13．当时，化简_____． 【答案】 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 15．计算：__________. 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 16．把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 17．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 18．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 【答案】 【详解】解：， ∵是的共轭复数， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共58分） 19．（本题6分）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．（本题6分）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时，． 22．（本题8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 23．（本题8分）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 24．（本题10分）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 25．（本题12分）综合与实践 小申同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $