第十五章 二次根式 单元练习 2026-2027学年冀教版八年级数学上册

**基本信息** 冀教版八年级上册数学第十五章二次根式单元卷，覆盖概念、运算及应用，通过几何直观（数轴、网格）和问题探究（配方法、平均数），体现运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、计算、取值范围|基础概念辨析，如第7题考查二次根式整数条件| |填空题|5/15|取值范围、大小比较、同类二次根式|结合数轴（第14题）考查几何直观| |解答题|5/75|计算、化简求值、网格作图、配方法应用、平均数探究|综合性强，如第19题用配方法求最值，第20题联系几何图形探究平均数关系，体现推理意识与应用意识|

· 第十五章二次根式同步练习 · 2026—2027学年冀教版八年级上册数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．实数的倒数是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 6．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 7．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 8．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 9．若，则以a，b，c为边长的是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的高的长为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．在二次根式中，字母a的取值范围是______． 12．比较大小：________．（用、或连接） 13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为______． 14．如图，在数轴上找出表示2的点A，过点A作，在l上取点B，且，以O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数值为_____．    15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则___________． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．计算： ． 17．先化简，再求值：，其中 ． 18．在网格中画出格点，三边的长分别为，，． (1)在网格中画出； (2)求边上的高______． 19．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 20．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D D A C C B A 11． 12． 13．3 14． 15． 16．【小题】 原式． 【小题】 原式． 17． 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先判定，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 18．(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理； （1）根据网格的特点以及勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解： （2）∵ ∴ ∴是直角三角形， ∵， ∴ 19．（1）； （2）解： ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2）略 （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 20．(1) (2) ①， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②；③ 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质，较难的是题（2）③，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论，③根据可得即结合完全平方公式可求得即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为∶； （2）①略 ②根据（2）①中的所画的图形可得，当且仅当时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：； ③， 当时，N取得最大值， 此时即， 整理可得：， ， ， ， N的最大值为：． 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $