专题03 实数章末压轴满分题8大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

专题03 实数章末压轴满分题 常考题型·精准突破 考点一 实数章末压轴满分题 压轴题型一、平方根、立方根的规律探索题 压轴题型二、无理数的整数部分、小数部分问题 压轴题型三、平方根、立方根的实际应用 压轴题型四、实数的混合运算综合 题型题型五、实数与数轴结合 压轴题型六、实数大小比较综合 压轴题型七、新定义下的实数运算 压轴题型八、实数运算的规律探究题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 实数章末压轴满分题 ◆压轴题型一、平方根、立方根的规律探索题 1．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 3．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． ◆压轴题型二、无理数的整数部分、小数部分问题 6．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 7．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 10．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． ◆压轴题型三、平方根、立方根的实际应用 11．（25-26七年级下·上海·期末）扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 12．（2026七年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1)求m，n的值； (2)若点E是第一象限内一点，且轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点．点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒平行于y轴？ ②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 13．（25-26八年级下·广东深圳·期末）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 14．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 15．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． ◆压轴题型四、实数的混合运算综合 16．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：． 18．（25-26七年级下·重庆忠县·期中）（）已知数满足，求的平方根． （）已知是的整数部分，是的小数部分，，求的值． 19．（25-26七年级下·北京朝阳·期末）计算：． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． ◆压轴题型五、实数与数轴结合 21．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 22．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 23．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 25．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：    解：原式 解：原式    (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． ◆压轴题型六、实数大小比较综合 26．（25-26七年级下·安徽六安·期末）沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 27．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 28．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 29．（24-25七年级下·广东广州·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 30．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． ◆压轴题型七、新定义下的实数运算 31．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 32．（25-26七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 33．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 34．（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． ◆压轴题型八、实数运算的规律探究题 36．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）材料：对于正整数a，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对48进行如下操作：，即对48进行3次操作后首次变为2． 根据以上材料，解决下面问题 (1) ， ． (2)若，正整数m的最大值是x，最小值是y，则的平方根是 ． (3)对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为 次． (4)若对正整数a进行2次操作首次变成了3，a的最小值是 ；若对正整数a进行2次操作首次变成了n，a的最小值是 （用含有n的代数式表示）． 37．（25-26八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 38．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 39．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 40．（24-25八年级下·山西朔州·阶段检测）阅读与思考 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 任务： (1)____________；___________． (2)若是的小数部分，化简． (3)请根据你的猜想、归纳，运用规律计算：． 综合攻坚·知能拔高 41．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 42．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 44．（25-26七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 45．（24-25七年级下·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 46．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______． 47．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 48．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 49．（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 50．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 51．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 52．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 53．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)1，9，24这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）； (2)请判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由； (3)已知正整数9，25，是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求的值． 54．（25-26七年级下·北京·期中）单项式可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．航航由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图： 图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照航航上述的方法，探究的近似值．（精确到0.1）请画出示意图，标明数据，并补全求解过程）： 解：面积为28的正方形边长为， __________，可设__________，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为__________， 又，则__________，由于较小故略去，得__________， __________，即__________． (2)综合上述具体探究，已知非负整数a，m，b，若，且，则试求出__________．（用含a，m的代数式表示） 55．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数章末压轴满分题 常考题型·精准突破 考点一 实数章末压轴满分题 压轴题型一、平方根、立方根的规律探索题 压轴题型二、无理数的整数部分、小数部分问题 压轴题型三、平方根、立方根的实际应用 压轴题型四、实数的混合运算综合 题型题型五、实数与数轴结合 压轴题型六、实数大小比较综合 压轴题型七、新定义下的实数运算 压轴题型八、实数运算的规律探究题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 实数章末压轴满分题 ◆压轴题型一、平方根、立方根的规律探索题 1．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 3．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． 【答案】(1)； (2)①两；②， (3) 【分析】（1）计算，观察被开方数和立方根的特点即可求解． （2）仿照素材的解题步骤，计算即可得解． （3）仿照素材的解题步骤，计算即可求解． 【详解】（1）解： 我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． （2）解：①， ， ， 的立方根是个两位数： ②由，可得当被开方数尾数是时，立方根结果尾数是． 它的立方根的个位上的数是 ， ， ， 立方根的十位上的数是5： （3），， ， ， 能确定的立方根是个两位数， ， ， 它的立方根的十位上的数是； ， 的个位上的数是2， ． ∴正方体的棱长 ◆压轴题型二、无理数的整数部分、小数部分问题 6．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 7．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题． （1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可． （2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分． （3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算． 【详解】解：(1) ，， ， ，， ． 故答案为． (2) 由表格可知， ，， ， 整数部分是， 小数部分为． 故答案为． (3) ，， ， ， 即 ， ，为正整数，， ，， ． 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)505． 【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可； （2）先求出，再得出的小数部分，即的值，代入求解即可； （3）先将分母有理化，再算出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴； （3）解：， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ◆压轴题型三、平方根、立方根的实际应用 11．（25-26七年级下·上海·期末）扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 【答案】 【分析】连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为，根据正方形内接于扇形及正方形的面积公式得出，，，进而求出，，根据，可得．即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为， ∵扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，正方形边长为， ∴，，， ∴，，， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴． 12．（2026七年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1)求m，n的值； (2)若点E是第一象限内一点，且轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点．点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒平行于y轴？ ②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①经过秒平行于y轴；②点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）①由（1）可得，则，设经过秒平行于y轴，则，，此时点、在轴的右侧，求出，点的坐标为，由题意可得点、的横坐标相等，从而得出，解方程即可得出结果；②分两种情况：当点在轴右侧时，当点在轴左侧时，分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）解：①由（1）可得， 由题意可得， 设经过秒平行于y轴，则，，此时点、在轴的右侧， ∴，， ∴点的坐标为， ∵平行于y轴， ∴点、的横坐标相等， ∴， 解得， 即经过秒平行于y轴； ②当点在轴右侧时，，，点的坐标为， 此时， 解得， 此时点的坐标为， 当点在轴左侧时，，，点的坐标为， 此时， 解得， 此时点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 13．（25-26八年级下·广东深圳·期末）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 【答案】(1)12人 (2)①；；②选择角度一：平均单位面积人流量． 表演区的总人数为（人）， 表演区的平均单位面积人流量为， ， ， ， ， ， 数值越大，人员越密集， 游戏区的人员更密集． 选择角度二：人均面积． 表演区的总人数为（人）， 表演区的人均面积为， ， ， ， ， 数值越大，人均空间越充足， 游戏区的人员更密集 (3)18 【分析】（1）先算出表演区参与人数，设游戏区每分钟入场人数为未知数，利用两区入场总时间相等建立分式方程，解方程后检验分母不为零，得到每分钟入场人数． （2）先根据正方形面积公式和题目给出的两个定义式写出游戏区对应代数式，再求出表演区相关分式，通过作差通分比较分式大小，结合判断差值正负，对照题干判定规则得出哪个区域人员更密集． （3）依据人均面积不低于5平方米列出不等式，化简后求出a的取值范围，估算根式数值并验证相邻整数平方，向上取整得到符合要求的最小整数边长． 【详解】（1）解：设游戏区平均每分钟入场人，则表演区平均每分钟入场人． 表演区人数为人，根据两区域入场时间相等列方程： 解得． 检验：时分母不为0，是原方程的解． （2）游戏区是边长为的正方形，面积为，接待总人数60人： ∴平均单位面积人流量， 人均面积， ②略 （3）求游戏区的最小边长 由题意得游戏区人均面积， 即，． ，， 因此精确到整数，边长最少为18米． 14．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 15．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． ◆压轴题型四、实数的混合运算综合 16．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算乘方，化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后合并同类项即可； （2）先计算乘法、算术平方根，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握实数的混合运算的运算法则并正确的计算是解题的关键． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根与算术平方根等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18．（25-26七年级下·重庆忠县·期中）（）已知数满足，求的平方根． （）已知是的整数部分，是的小数部分，，求的值． 【答案】（）；（）或． 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，即可求出的值，再根据平方根的定义即可求解； （）利用夹逼法求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，分两种情况代入代数式中计算即可求解； 本题考查了非负数的性质，平方根的定义，无理数的估算，绝对值的性质，代数式求值，掌握非负数的性质及无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为； （）∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 19．（25-26七年级下·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据立方根和算术平方根的定义运算、绝对值运算，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． ◆压轴题型五、实数与数轴结合 21．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 22．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2) 点M即为所求， (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 23．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【答案】(1) (2) (3)或1或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）线段的长等于较大的数减去较小的数，计算即可． （2）点C向左平移4个单位长度后与点B重合，也就是点B向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 25．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：    解：原式 解：原式    (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】(1)小明 (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； （2）解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． ◆压轴题型六、实数大小比较综合 26．（25-26七年级下·安徽六安·期末）沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 综上，； (2) (3)证明：∵当且为正整数时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴． 综上，（且为正整数）． 【分析】（1）利用“放缩法”证明即可； （2）设，利用“放缩法”得到，然后结合得到，进而求解即可； （3）首先得出结论，然后利用“放缩法”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵x、y、z为正整数，且， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵S为正整数， ∴，即； （3）略 27．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 28．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 29．（24-25七年级下·广东广州·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)；； (2)能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积与边的关系，直接求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，列方程可求出信封的长与宽，与贺卡的边长比较大小即可得解； （3）估算无理数的大小得到，，的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； （2）解：能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由如下： 长、宽之比为， 设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， 解得（负值已舍去）， 长方形信封的长为，宽为， ， ， ，， 正方形贺卡的边长是， 信封的宽与长均大于正方形贺卡的边长， 能将这张贺卡不折叠就放入此信封； （3）解：， ，即， 的整数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ． 30．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． ◆压轴题型七、新定义下的实数运算 31．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 32．（25-26七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，被开方数的非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据被开方数非负的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 33．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，再根据“知行区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 无理数的“知行区间”是， 故答案为：； （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， 是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是正整数， 是一个完全平方数，， ， 满足题意的m、n的值为：或， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：实数x，y，m满足关系式：， ，， ， ， ， 即， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“知行区间”是． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)； 证明如下： ． 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）略 ◆压轴题型八、实数运算的规律探究题 36．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）材料：对于正整数a，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对48进行如下操作：，即对48进行3次操作后首次变为2． 根据以上材料，解决下面问题 (1) ， ． (2)若，正整数m的最大值是x，最小值是y，则的平方根是 ． (3)对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为 次． (4)若对正整数a进行2次操作首次变成了3，a的最小值是 ；若对正整数a进行2次操作首次变成了n，a的最小值是 （用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)5，5 (2) (3)四 (4)17；当时，的最小值是5；当时，的最小值是 【分析】（1）根据，解答即可； （2）求出，则，可得的值，代入计算平方根即可； （3）根据定义和操作，逐次计算即可； （4）设，，其中为正整数，求出，正整数的最小值为，则当正整数取得最小值5时，的值最小；分三种情况：①，②和③，参考上面的方法，结合定义解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数的最大值是，最小值是， ∴， ∴， ∴的平方根是． （3）解：∵， ∴， ∴对2026进行第一次操作：， ∵， ∴， ∴对2026进行第二次操作：， 由题干可知，对2026进行第三次操作：， 对2026进行第四次操作：， ∴对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为四次． （4）解：由题意，设，，其中，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴正整数的最小值为， ∴当正整数取得最小值5时，的值最小，最小值为． 设，，其中，且为正整数， ∴，， ①当时，，则正整数，不符合题意，舍去； ②当时，， ∴， ∴正整数或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴此时正整数的最小值为5； ③当时，，， ∴正整数的最小值为，正整数的最小值为， 此时假设， ∴，即， 由平方根的性质得：或，即或，均不符合题设， ∴假设不成立，即当时，必有， ∴当的值最小时，正整数的值最小，最小值为； 综上，当时，的最小值是5；当时，的最小值是． 37．（25-26八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 证明：左边 右边． (3) 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【详解】（1）①； 故答案为：． ②， 故答案为：． （2）略 （3）由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 38．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 39．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 40．（24-25八年级下·山西朔州·阶段检测）阅读与思考 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 任务： (1)____________；___________． (2)若是的小数部分，化简． (3)请根据你的猜想、归纳，运用规律计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据估算无理数的大小，可得的值，根据分母有理化，可得答案； （3）根据题意找到规律，可得答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴的整数部分为，小数部分为， ， ； （3）解：由题意可得： ， ∴原式． 综合攻坚·知能拔高 41．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 42．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 43．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的计算与表格数据的分析，掌握算术平方根的定义及平方差公式的应用是解题的关键 依次对四个结论进行判断，结合表格中与的对应关系，利用算术平方根的定义、平方数大小比较及平方差公式推导，统计错误结论的个数，从而确定答案． 【详解】解：① ∵表格中当时，，∴ 正确； ②∵，∴，故错误； ③∵，∴，故错误； ④，故错误； 综上所述，错误结论有②、③、④，共3个． 故选：C． 44．（25-26七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据的定义，为整数时可得到，，据此列出方程组求解，再代入计算的平方根即可. 【详解】解：是整数，表示小于的最大整数， ， 又， 同理， 整理①得， 代入②得， 解得， 将代入，得， ， ∴的平方根是. 45．（24-25七年级下·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 46．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】先根据“半和数”的定义和的最大值判断的值，再根据代入求解判断；根据“半和数”的定义和的最大值与最小值，将的可能值代入中判断即可． 【详解】解：∵n是最大的“半和数”， ∴， 则，即， ∵n是最大的“半和数”，各个数位上的数字均不为0且互不相等的整数， 当时，，符合题意， ∴， ∴去掉一个数位上的数字，得到的两位数为， ； 根据的定义可知，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是一个整数，， 最大时，则要尽量大， 当时， 此时，，非平方数，不符合题意； ，，是平方数， ∴最大时，，则， ∴； 最小时，要尽可能地小， 当时， ，是平方数， ∴最小时，， 则， ∴的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 47．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 48．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 【答案】11 【分析】根据，得到，进而得到，列方程组，计算得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①②得， 由③得，代入得 ， ∴， 将代入②，得， 整理得， 将④代入⑤得， 解得， ∴ 49．（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算以及四舍五入法则，得出的值，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，， ． 50．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 51．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 52．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （2）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （3）根据“开方对称数对”的定义分两种情况解答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴数对的开方对称数对为和； （2）解：∵，，数对的一个开方对称数对是， ∴； （3）解：∵数对的一个开方对称数对是， ∴根据“开方对称数对”的定义，需要分两种情况讨论： 当，时，，，此时； 当，时，，，此时； ∴的值为或． 53．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)1，9，24这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）； (2)请判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由； (3)已知正整数9，25，是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是“漂亮数”，最小算术平方根为 (3) 【分析】（1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：对，，计算任意两个乘积的算术平方根：，是整数；，不是整数；根据定义，这三个数不是“漂亮数”． （2）解：对，，计算任意两个乘积的算术平方根：，是整数；，是整数； ，是整数； 所有算术平方根都是整数，因此这三个数是“漂亮数”． 三个算术平方根为，，， 因此最小算术平方根是． （3）解：已知正整数，，，，是“漂亮数”， ，是整数； 使是整数，可得是整数， 设，是正整数，则． 由得， 此时是整数，满足“漂亮数”要求． 三个算术平方根分别为，，， 由得，且，因此最小算术平方根为，最大算术平方根为． 根据题意得， 解得， 因此． 54．（25-26七年级下·北京·期中）单项式可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．航航由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图： 图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照航航上述的方法，探究的近似值．（精确到0.1）请画出示意图，标明数据，并补全求解过程）： 解：面积为28的正方形边长为， __________，可设__________，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为__________， 又，则__________，由于较小故略去，得__________， __________，即__________． (2)综合上述具体探究，已知非负整数a，m，b，若，且，则试求出__________．（用含a，m的代数式表示） 【答案】(1) 画出示意图： 补全过程如下：；5；；；；；； (2) 【分析】（1）仿照文中的探究方法，求解即可； （2）仿照文中的探究方法，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：，可设，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为， 又，则，由于较小故略去，得， ，即． 55．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，求出，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， 即， 的“青一区间”为， ， 即， ， 综上所述，， 为正整数， ∴； （3）解：， ，， ， ， ， ，， 得， 即 ， ∴ 的算术平方根为， ∵ ∴， 的算术平方根的“青一区间”是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $