专题02 实数章末易错考点题型（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题02 实数章末易错考点题型 目录 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 易错题型二、求算术平方根 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 易错题型六、算术平方根的实际应用 易错题型七、求平方根 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、平方根的应用 易错题型十、求立方根 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 易错题型十二、立方根的实际应用 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 易错题型十四、无理数 易错题型十五、无理数的大小估算 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 易错题型十七、实数的概念与分类 易错题型十八、实数与数轴 易错题型十九、近似数 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 1．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 2．关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 3．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 易错题型二、求算术平方根 4．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 5．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 6．求下列各数的算术平方根： (1)． (2)． (3)． (4)． 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 7．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 8．已知、为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．7 C． D． 9．设a，b，c是实数，若，求的值． 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 10．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 11．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 12．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 13．已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 14．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 15．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 易错题型六、算术平方根的实际应用 16．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 17．某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为 ． 18．如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 易错题型七、求平方根 19．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 20．的平方根是 . 21．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 易错题型八、利用平方根解方程 22．求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 23．学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 24．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 易错题型九、平方根的应用 25．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 26．如图，正方形的四个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点B，C的坐标分别为和． (1)若点经平移后对应点为，将正方形作同样的平移得到正方形，请建立直角坐标系，并画出平移后的正方形； (2)正方形的面积是______，正方形的边长是______； (3)直接写出点B到的距离． 27．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 易错题型十、求立方根 28．若， (1)求的值； (2)求的平方根． 29．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．计算： ． 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 31．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 32．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 33．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 易错题型十二、立方根的实际应用 34．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 35．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 36．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 37．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 38．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 39．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 易错题型十四、无理数 40．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．公元前500年，毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 42．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 易错题型十五、无理数的大小估算 43．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 44．已知，若为整数，且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 45．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 46．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 47．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 48．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 易错题型十七、实数的概念与分类 49．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 50．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 51．下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…， （1）有理数集合：_____； （2）无理数集合：_____； （3）非负整数集合：_____； 王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数． 比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数） 易错题型十八、实数与数轴 52．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 53．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 54．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 易错题型十九、近似数 55．下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 56．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 57．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数章末易错考点题型 目录 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 易错题型二、求算术平方根 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 易错题型六、算术平方根的实际应用 易错题型七、求平方根 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、平方根的应用 易错题型十、求立方根 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 易错题型十二、立方根的实际应用 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 易错题型十四、无理数 易错题型十五、无理数的大小估算 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 易错题型十七、实数的概念与分类 易错题型十八、实数与数轴 易错题型十九、近似数 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 1．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 2．关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查了对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根．根据平方根的意义与性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①的平方根是，故是的平方根正确，即①； ②的平方根是，故的平方根是错误，即②； ③负数没有平方根，故的平方根是错误，即③； ④的平方根，故是的平方根正确，即④； ⑤的平方根是，所以的平方根是错误，即⑤； 故选：A ． 3．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 易错题型二、求算术平方根 4．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 5．一个自然数的算术平方根是a，则与其相邻的后一个自然数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是a， ∴这个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数是， ∴与其相邻的下一个自然数的算术平方根是， 故选：A． 6．求下列各数的算术平方根： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，所以的算术平方根为． （2）因为，所以的算术平方根为． （3）因为，所以的算术平方根为． （4）因为，所以的算术平方根为4． 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 7．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 根据得，，求出、的值，再代入求解即可． 【详解】解：，，且 ，， ，， ，， ． 故选：D． 8．已知、为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根和乘方的非负性，求代数式的值．根据非负数的性质得到，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴， 故选：C 9．设a，b，c是实数，若，求的值． 【答案】14 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，主要利用完全平方公式分组分解解决问题．先移项，再利用配方法得到，即有．然后根据非负数的性质解得，，，最后代入求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得，，，， ∴． 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 10．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算能力应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即的大小应在7.0至7.5之间． 故选：A． 11．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 12．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 13．已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【详解】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 14．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 15．如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 易错题型六、算术平方根的实际应用 16．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去即可． 本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键． 【详解】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 17．某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． 先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：原绿化带的面积为， 扩大后绿化带的面积为， 则扩大后绿化带的边长是， 答：扩大后绿化带的边长为． 故答案为：20． 18．如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 易错题型七、求平方根 19．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 20．的平方根是 . 【答案】 【分析】本题考查的是求一个非负数的平方根，先计算，再根据平方根的含义求解即可. 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为： 21．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 易错题型八、利用平方根解方程 22．求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）（2）将方程转化为两边均是平方的形式，根据平方根的概念即可求解；本题考查利用平方根的概念求解方程的方法，熟练掌握平方根概念是解题的关键． 【详解】（1）由， 得， ∴． （2）由， 得， ∴， ∴或． 23．学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，利用平方根解方程，掌握类比思路是解题的关键． （1）根据类比思路，即可解答； （2）根据类比思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴这个数是， 即． （2）由得 ∵， ∴这个数是， 即． 24．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方根的性质，将方程化为形式，然后根据性质求出x的值是解题的关键． （1）先移项得到，然后根据平方根的性质即可求出x的值； （2）先将的系数为1，然后根据平方根的性质即可求出x的值； （3）将看作一个整体，然后根据平方根的性质即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ． （3）解：， ， ， 所以． 易错题型九、平方根的应用 25．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）设这个纸片的长为，宽为，根据面积的计算方法求出的值，进而确定原长方形的长与宽； （2）根据面积的大小进行判断即可； （3）根据圆面积的计算方法求出圆的半径，进而求出直径，再根据原长方形纸片的长、宽进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 26．如图，正方形的四个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点B，C的坐标分别为和． (1)若点经平移后对应点为，将正方形作同样的平移得到正方形，请建立直角坐标系，并画出平移后的正方形； (2)正方形的面积是______，正方形的边长是______； (3)直接写出点B到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)25；5 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、算术平方根、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，正方形向右平移3个单位长度得到正方形，根据点B，C的坐标建立直角坐标系，再根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求正方形的面积，进而可得正方形的边长． （3）由平移得．设点B到的距离为h，利用割补法求出的面积为，则可得，求出h的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，正方形向右平移3个单位长度得到正方形， 建立直角坐标系，画出正方形如图所示． （2）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长是． 故答案为：25；5． （3）解：连接， ∵正方形的边长是5， ∴， 由平移得，． 设点B到的距离为h， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴点B到的距离为． 27．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 易错题型十、求立方根 28．若， (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)2或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据平方根、立方根求得m、n的值，然后分两种情况求的值即可； （2）由的值为2或，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或． （2）解：由（1）得的值为2或． 当时，的平方根为； 当时，无平方根． 综上，的平方根为． 29．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，先化系数为1，然后根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 30．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 31．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 32．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 33．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 易错题型十二、立方根的实际应用 34．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 35．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 36．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 37．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 38．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 39．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 易错题型十四、无理数 40．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解：，， 在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个， 故选：B ． 41．公元前500年，毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数判断即可求解． 【详解】解：A、是有限小数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是无理数，本选项符合题意； C、是分数，不是无理数，本选项不符合题意； D、是整数，不是无理数，本选项不符合题意； 故选：B． 42．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 易错题型十五、无理数的大小估算 43．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数估算，熟练掌握算术平方根的性质是解决本题的关键． 先确定的近似值，再计算的范围即可 ． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴的值应在3和4之间 ． 故选：A ． 44．已知，若为整数，且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 45．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 46．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 47．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)8， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8． ∴的小数部分为． 故答案为：8，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴，， ∴． 48．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)整数部分是4，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 易错题型十七、实数的概念与分类 49．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的相关概念及分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类和定义逐个判断即可解答． 【详解】解：整数集合：{，0，，2025}； 分数集合：{，，，，，}； 非负数集合：{，π，，，0，，2025}； 负有理数集合：{，，，}． 50．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016． (2)3.1415926，0.15， (3)，，， (4)，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1）， (5)0，，1016． 【分析】此题考查了实数的分类．化简需要化简的各数后，根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，，1016，…}； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}； （3）负有理数集合：{，，…}； （4）无理数集合：{，，，0.13030030003…，…}； （5）非负整数集合：{0，，1016，…} 51．下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…， （1）有理数集合：_____； （2）无理数集合：_____； （3）非负整数集合：_____； 王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数． 比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数） 【答案】（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，； 【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类； （1）根据有理数的定义，即可解答； （2）根据无理数的定义，即可解答； （3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答． 【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，； 无理数集合：，，，，； 非负整数集合：，，； 设（21无限循环），则（21无限循环）， （21无限循环）（21无限循环）， ， S； 故1.21（21无限循环） 易错题型十八、实数与数轴 52．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 53．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，正确计算是解题的关键 由数轴得出，，，进一步得出，，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简计算即可； 先确定a、b、c的值，再代入中的结果计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ，， ，，， 54．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 易错题型十九、近似数 55．下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 【答案】A 【分析】本题考查了准确数与近似数，准确数是真实准确的数，而近似数就是与准确数接近的数，通过估计得到的数，据此逐项判断即得答案，掌握准确数与近似数的定义是解题的关键． 【详解】解：、我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区，是准确的数据，故本选项符合题意； 、半径厘米的圆的周长，所以厘米是近似数，故本选项不符合题意； 、一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个，数据太大，根本查不清，所以亿是近似数，故本选项不符合题意； 、据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人，数据太大，根本查不清，所以万是近似数，故本选项不符合题意； 故选：． 56．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 57．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【答案】(1) (2) (3)千；3 (4)0，0 【分析】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到，就是对位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【详解】（1）精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得； （2）精确到，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得； （3）近似数精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数有：，，，， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $