专题02 实数章末易错热考题19大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

专题02 实数章末易错热考题 常考题型·精准突破 考点一 实数章末易错热考题 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 易错题型二、求算术平方根 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 易错题型六、算术平方根的实际应用 易错题型七、求平方根 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、平方根的应用 易错题型十、求立方根 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 易错题型十二、立方根的实际应用 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 易错题型十四、无理数 易错题型十五、无理数的大小估算 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 易错题型十七、实数的概念与分类 易错题型十八、实数与数轴 易错题型十九、近似数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 实数章末易错热考题 ◆易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 3．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 ◆易错题型二、求算术平方根 4．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知，当x分别取自然数1，2，3，…，时，所对应y值的总和是（   ） A． B． C． D． ◆易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． ◆易错题型四、估计算术平方根的取值范围 10．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 11．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 12．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． ◆易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 13．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若，，则______． 14．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 15．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： ◆易错题型六、算术平方根的实际应用 16．（25-26七年级下·河南安阳·期末）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 17．（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 18．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） ◆易错题型七、求平方根 19．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 20．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 21．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． ◆易错题型八、利用平方根解方程 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 23．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． ◆易错题型九、平方根的应用 25．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）为宣传陕西旅游，促进旅游业发展，某中学兴趣小组的学生准备了有关陕西景点的正方形卡片一张（厚度不计），其面积为，已知一个长方形信封的长与宽之比为，面积为，请你判断该正方形卡片在不折叠的情况下能否装进长方形信封中？并说明理由． 26．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 27．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ ◆易错题型十、求立方根 28．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)． 29．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 30．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． ◆易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 31．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 32．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   33．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． ◆易错题型十二、立方根的实际应用 34．（25-26七年级下·吉林·期末）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 35．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． ◆易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 37．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 38．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 39．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 ◆易错题型十四、无理数 40．（26-27七年级上·陕西·阶段检测）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨相邻两个之间依次增加一个． 负数集合：______； 整数集合：______； 分数集合：______； 非负有理数集合：______． 41．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________； (2)若x、y均为有理数，且，求的值． 42．（25-26七年级下·广西南宁·期中）阅读与探究 下面是张老师给出的例题及解答过程． 已知是有理数，并且满足：，求的值． 解：， ， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得， 把代入，解得， 的值为的值为1． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数满足，求的值； (2)若有理数满足，求的平方根． ◆易错题型十五、无理数的大小估算 43．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 44．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 45．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． ◆易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 46．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 47．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 48．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． ◆易错题型十七、实数的概念与分类 49．（25-26七年级下·湖南株洲·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 50．（25-26七年级下·山东德州·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 51．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． ◆易错题型十八、实数与数轴 52．（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 53．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如图，数轴上点A与点B之间的距离是3个单位长度，点表示，设点表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 54．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简： (2)若实数，满足，求的立方根． ◆易错题型十九、近似数 55．（25-26七年级下·北京朝阳·期末）对于正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为，即当n为非负整数时，若，则，如：． (1)____________； (2)若，求x的取值范围； (3)若，求的值． 56．（25-26七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）；____ ； （）（精确到十分位）；____ ； （）（精确到）；____ ； （）（精确到个位）；____ ； （）（精确到）；____ ； （）（精确到千分位）．____ ． 57．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 综合攻坚·知能拔高 58．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 60．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 61．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 62．（2026·河北衡水·模拟预测）已知，则____________． 63．（2026·河北张家口·二模）若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 64．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 65．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三个袋子中初始均有个小球，先从甲袋中取出3个球放入乙袋，再从乙袋中取出2个球放入丙袋，再从丙袋中取出2个球放入甲袋，此时甲、乙、丙三个袋子中球的数量分别为，，．若，则__________． 66．（24-25九年级下·福建泉州·阶段检测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 67．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）①化简______； ______； ②比较大小：______（填“”，“”或“=”）； ③和之间的所有整数之和为______． 68．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是______． 69．（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 70．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪把一个面积是的正方形放到数轴上，使点与表示的点重合，设点表示的数为，如图所示． (1)___________； (2)___________； (3)求． 71．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 72．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 73．（18-19七年级下·广东惠州·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 74．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 75．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数章末易错热考题 常考题型·精准突破 考点一 实数章末易错热考题 易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 易错题型二、求算术平方根 易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 易错题型四、估计算术平方根的取值范围 易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 易错题型六、算术平方根的实际应用 易错题型七、求平方根 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、平方根的应用 易错题型十、求立方根 易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 易错题型十二、立方根的实际应用 易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 易错题型十四、无理数 易错题型十五、无理数的大小估算 易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 易错题型十七、实数的概念与分类 易错题型十八、实数与数轴 易错题型十九、近似数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 实数章末易错热考题 ◆易错题型一、平方根（算术平方根）概念理解 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 2．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 3．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根进行计算和判断即可． 【详解】A. 的平方根是，故选项错误，不符合题意；     B. 一定有平方根，故选项正确，符合题意；     C. 0.01的平方根是，故选项错误，不符合题意；         D. 2的算术平方根是，故选项错误，不符合题意． ◆易错题型二、求算术平方根 4．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 5．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 6．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知，当x分别取自然数1，2，3，…，时，所对应y值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，绝对值，掌握相关知识是解决问题的．先利用算术平方根的性质进行化简，然后进行加法计算即可． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， ∴当x分别取自然数1，2，3，…，时，所对应y值的总和， ． 故选：A． ◆易错题型三、利用算数平方根的非负性解题 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 8．（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． ◆易错题型四、估计算术平方根的取值范围 10．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 11．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 12．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． ◆易错题型五、与算数平方根有关的规律探索题 13．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 14．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 15．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． ◆易错题型六、算术平方根的实际应用 16．（25-26七年级下·河南安阳·期末）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为； （2）略． 17．（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 【答案】(1)5， (2)不能． 理由：由题意可设长方形的长为，宽为，则有：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这样的长方形不存在． 【分析】（1）正方形的面积等于5个小正方形的面积； （2）设长方形的长为，宽为，构建方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴（负根已经舍去）； （2）略 18．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． ◆易错题型七、求平方根 19．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【答案】 【分析】由平方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的算术平方根是6， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 20．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 21．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． ◆易错题型八、利用平方根解方程 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 23．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或18 (6)或 (7)或 (8)或8 (9)或7 (10)或3 【分析】本题主要考查了平方根，等式的性质，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）（2）根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （3）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （4）（5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （7）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （8）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （9）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （10）先把移到方程右边，再变形得到，最后根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： （3）解： 解得： （4）解： 解得： （5）解： 解得： （6）解： 解得： （7）解： 解得： （8）解： 解得： （9）解： 解得： （10）解： 解得： 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． ◆易错题型九、平方根的应用 25．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）为宣传陕西旅游，促进旅游业发展，某中学兴趣小组的学生准备了有关陕西景点的正方形卡片一张（厚度不计），其面积为，已知一个长方形信封的长与宽之比为，面积为，请你判断该正方形卡片在不折叠的情况下能否装进长方形信封中？并说明理由． 【答案】 解：正方形卡片在不折叠的情况下能装进长方形信封中，理由如下： 正方形卡片面积为， 正方形卡片边长为， 长方形信封的长与宽之比为， 设长方形信封的长为，则宽为， 长方形信封的面积为， ， ， 解得或（负值，不符合题意，舍去） 长方形信封的长为，则宽为， ， 正方形卡片在不折叠的情况下能装进长方形信封中． 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的实际应用，读懂题意是解题的关键． 根据题意得到正方形卡片边长为，设长方形信封的长为，则宽为，结合长方形信封的面积为，求出长方形信封的长与宽，进而比较求解，即可解题． 【详解】略 26．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2) 解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）略 27．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． ◆易错题型十、求立方根 28．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再计算即可； （2）先两边除以2，再开立方，然后移项可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 两边都除以2，得， 开立方，得， 移项，得． 29．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 30．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． ◆易错题型十一、与立方根有关的规律探索题 31．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 33．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． ◆易错题型十二、立方根的实际应用 34．（25-26七年级下·吉林·期末）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 【答案】(1)该魔方的棱长为 (2)该长方体纸盒的表面积为 【分析】（1）设该魔方的棱长为，由正方体的体积为列方程，再利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，根据长方体纸盒的体积列方程并运用算术平方根可求得长方体纸盒的高为，由长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设该魔方的棱长为，可得，解得 答：该魔方的棱长6cm． （2）解：设该长方体纸盒的长为，则， 故，解得． 因为y是正数，所以． 所以长高，宽． ． 答：该长方体纸盒的表面积为． 35．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． ◆易错题型十三、算数平方根与立方根的综合应用 37．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】根据算术平方根以及立方根的性质求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵正数的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 38．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 39．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． ◆易错题型十四、无理数 40．（26-27七年级上·陕西·阶段检测）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨相邻两个之间依次增加一个． 负数集合：______； 整数集合：______； 分数集合：______； 非负有理数集合：______． 【答案】①⑤⑦⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④ 【分析】根据负数、整数、分数、非负有理数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，相邻两个之间依次增加一个， 负数集合为：， 整数集合为：， 分数集合为：， 非负有理数集合为：． 41．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________； (2)若x、y均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)，2 (2)的值为5或－3 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）解：∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）解：∵， ∴ ∵x、y为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为5或． 42．（25-26七年级下·广西南宁·期中）阅读与探究 下面是张老师给出的例题及解答过程． 已知是有理数，并且满足：，求的值． 解：， ， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得， 把代入，解得， 的值为的值为1． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数满足，求的值； (2)若有理数满足，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，即可求解； （2）根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，列出方程组，求出a，b，再求出的平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 是有理数， ， ； （2）解：， ， ， 解得， ， 的平方根为． ◆易错题型十五、无理数的大小估算 43．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 44．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 45．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． ◆易错题型十六、无理数整数部分的有关计算 46．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 47．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据根整数的定义，首先求出根整数为的最大整数为，再求出根整数为的最大整数，即为所求的的最大值． 【详解】解：，， 根整数为的最大整数是， ，， 根整数为的最大整数是， 连续求两次根整数后的结果为的最大整数为． 48．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． ◆易错题型十七、实数的概念与分类 49．（25-26七年级下·湖南株洲·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 50．（25-26七年级下·山东德州·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 51．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【答案】(1)0，，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； (5)0，， 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）正分数是大于0的分数，可以是有限小数或无限循环小数，据此即可解答； （3）负有理数是小于0的有理数，包括负整数和负分数，据此即可解答； （4）根据无理数的定义（无限不循环小数）作答即可； （5）非负整数包括正整数和0，据此即可解答． 【详解】（1）解：整数集合：{0，，，；…}； （2）正分数集合：{，，；…}； （3）负有理数集合：{，，；…}； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；…}； （5）非负整数集合：{0，，…}． ◆易错题型十八、实数与数轴 52．（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用点B表示数减去2个单位长度即可； （2）将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 53．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如图，数轴上点A与点B之间的距离是3个单位长度，点表示，设点表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离进行求解即可； （2）根据相反数的定义，得到，根据非负性求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）根据绝对值的意义和算术平方根的非负性进行化简即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式. 54．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简： (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知，，，，根据二次根式的性质、绝对值的性质求解即可； （2）根据非负数的性质求得实数，的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， ∴ ； （2）解：，，， ，， ，， 故的立方根为：． ◆易错题型十九、近似数 55．（25-26七年级下·北京朝阳·期末）对于正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为，即当n为非负整数时，若，则，如：． (1)____________； (2)若，求x的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了求近似数，非负整数的定义以及解一元一次不等式组． （1）根据正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为可得出， （2）根据题意列出关于的不等式，求解即可． （3）根据题意列出关于x的不等式，求解并利用非负整数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：3． （2）根据题意，得． ． （3）根据题意，得． 解得． 是整数， ． ． 56．（25-26七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）；____ ； （）（精确到十分位）；____ ； （）（精确到）；____ ； （）（精确到个位）；____ ； （）（精确到）；____ ； （）（精确到千分位）．____ ． 【答案】 【分析】根据近似数的精确度进行求解即可． 【详解】解：（）（精确到）； （）（精确到十分位） ； （）（精确到）； （）（精确到个位）； （）（精确到）； （）（精确到千分位）； 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键． 57．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度的概念．近似数的精确度由最后一位有效数字所在数位决定．根据近似数的精确度概念，逐项判断每一项即可． 【详解】解：近似数2.1精确到十分位，2.10精确到百分位，故A错误； 0.0357精确到0.001（千分位），万分位，应进1，结果为0.036，故B错误； ，数字3在百位，精确到百位，故C正确； ，数字7在千位，精确到千位，故D错误， 故选：C． 综合攻坚·知能拔高 58．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 59．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 60．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 61．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 62．（2026·河北衡水·模拟预测）已知，则____________． 【答案】10 【分析】根据非负数的性质求出，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得：， 将代入得：． 63．（2026·河北张家口·二模）若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 64．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 【详解】解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 65．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三个袋子中初始均有个小球，先从甲袋中取出3个球放入乙袋，再从乙袋中取出2个球放入丙袋，再从丙袋中取出2个球放入甲袋，此时甲、乙、丙三个袋子中球的数量分别为，，．若，则__________． 【答案】3 【分析】根据题意可得：，，，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个袋子中初始均有个小球，先从甲袋中取出3个球放入乙袋，再从乙袋中取出2个球放入丙袋，再从丙袋中取出2个球放入甲袋，此时甲、乙、丙三个袋子中球的数量分别为，，． ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 66．（24-25九年级下·福建泉州·阶段检测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 67．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）①化简______； ______； ②比较大小：______（填“”，“”或“=”）； ③和之间的所有整数之和为______． 【答案】 / 3 【分析】①根据二次根式的性质化简解答即可； 根据绝对值的意义，比较大小后解答即可； ②根据无理数的大小比较计算，解答即可； ③先确定和，再确定整数的范围m为，解答即可． 【详解】①解：根据题意，得， 由，则， 故答案为：； ； ②解：由，则， 故答案为：； ③解：由，则， 即的整数部分是； 由，则的整数部分是； 即符合题意的整数的范围m为， 所有整数的和为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，无理数的大小比较，不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 68．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解； 【详解】解∶ ， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，， 故答案为∶． 69．（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，立方根进行求解即可； （2）根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 70．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪把一个面积是的正方形放到数轴上，使点与表示的点重合，设点表示的数为，如图所示． (1)___________； (2)___________； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的面积，数轴的有关知识，绝对值的性质，零指数幂，立方根，准确运用知识点计算是解题的关键． （1）根据正方形的面积求出正方形边长即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离可求出的值； （3）把的代入计算，并利用绝对值和立方根的性质计算即可； 【详解】（1）正方形的面积为， ， ； 故答案是：． （2），点表示，点表示， ， ； 故答案为：． （3）原式 ． 71．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得：， 故这个魔方的棱长为4； （2）解：棱长为4， 每个小立方体的棱长都是2， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）解：正方形的边长为，点A与2重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 72．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 【答案】(1)， (2)；2 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，学会用“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个正数的两个不同平方根互为相反数可求得，在根据立方根的定义求解即可． （2）根据平方根和立方根的定义，再根据“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分，代入数值即可求解，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：． （2）解：的平方根是，的立方根是， ， ，， 是的整数部分，， ， 是的小数部分， ， ， 4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 73．（18-19七年级下·广东惠州·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 74．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 【答案】(1)2，4 (2)C (3)6 【分析】本题主要考查了算术平均数的定义以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据给出的方法逐步进行求解即可； （2）确定点在3和之间，然后根据给出的方法求出取值范围即可； （3）根据给出的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是2； ， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4； 故答案为：2，4； （2）解：， ， 假设点表示的数为， 则， 即， 故选：C； （3）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4， 与最接近的整数是6， 故答案为：6． 75．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $