2.3实数（分层作业，20大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“理解-掌握-运用”三级分层设计，覆盖实数核心知识点，从基础概念到综合应用梯度清晰，适配新授课分层教学与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|无理数识别、实数分类与性质、基本运算|以选择填空为主，聚焦概念辨析与基础运算，培养抽象能力| |B组|无理数估算、材料阅读、实际应用、规律探究|增加解答题与材料题，强化推理能力与应用意识| |C组|程序框图、数轴动点、新定义、勾股定理探究|设置跨知识情境题，发展创新意识与空间观念|

分层作业 2.3 实数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 无理数——无理数的识别 题型02 实数的理解 题型03 实数的分类 题型04 实数的性质 题型05 实数与数轴 题型06 实数的大小比较 题型07 实数的混合运算 B组 能力进阶 题型01 无理数——大小比较问题 题型02 无理数——无理数的估算 题型03 无理数——无理数的整数部分和小数部分 题型04 无理数——材料阅读探究问题 题型05 用计算器进行计算 题型06 实数与实际应用 题型07 与实数有关的材料阅读问题 题型08 与实数运算相关的规律题 C组 思维拔高 题型01 无理数——与无理数有关的程序框图设计问题 题型02 实数与数轴上的动点问题 题型03 实数与程序框图问题 题型04 实数与新定义问题 题型05 利用勾股定理探究无理数表示的规律 无理数——无理数的识别题型01 1．下列实数中，是无理数的为（ ） A．﹣4 B．0.101001 C． D． 2．下列各数是无理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 3．（24-25八年级上·河南·期中）在，，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 4．四个数－1，0，，中，为无理数的是_________． 5．把下面各数分别填在相应的集合中： ，0，20.1414414441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，1.732，，50%，， 实数的理解题型02 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·二模）高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·月考）的相反数是_________． 4．下列命题中正确的有___________ （1）若，那么；   （2）两数的和大于等于这两数的差； （3）若，那么； （4）若，则； （5） （6）一个数越大，这个数的倒数越小； （7）有理数加有理数一定是有理数； （8）无理数加无理数一定是无理数； （9）无理数乘无理数一定是无理数； 5．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 实数的分类题型03 1．（24-25八年级·广东茂名·质检）在下列四个数中：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.101001 2．下列各数中是正有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数①－2.5，②0，③，④，⑤，⑥－0.52522252225…，是无理数的序号是______． 4．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 5．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）． 实数的性质题型04 1．在下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．的相反数为（   ） A． B．－ C．± D．2 3．的绝对值是_________． 4．（25-26七年级·福建·期中）的相反数是______；（2）比较大小：______3（填“”，“”或“”）． 5．求下列各数的相反数与绝对值： 实数与数轴题型05 1. 2.5，，，，0的相反数为_______，绝对值为_______. 2．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列命题属于真命题的是（　　） A．同位角相等 B．有理数和数轴上的点一一对应 C．两个无理数的差还是无理数 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 4．（24-25七年级下·天津·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个无理数的和，仍是无理数 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．将一个图形平移，得到一个新图形，连接各组对应点的线段可以不相等 D．二元一次方程组的解，是组成这个方程组的两个方程的公共解 实数的大小比较题型06 1．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 2．在数轴上表示下列各数： 2 的相反数，绝对值是的数，－1的倒数． 3．（25-26九年级上·广西·月考）下列四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 4．实数满足：①；②；③．则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．如果，，，那么a，b，c三数的大小为(     ) A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 实数的混合运算题型07 1．比较大小：_______7．（用“＞”或“＜”连接） 2．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 3．化简：   ） A． B． C． D．5 4．（24-25八年级上·山东青岛·月考）实数a，b的位置如图，化简：_________． 5．（25-26七年级·河北保定·期中）化简：_______． 无理数——大小比较问题题型01 1．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 2．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 3．（25-26上·陕西·联考）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 4．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 5．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 无理数——无理数的估算题型02 1．与最接近的整数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3．已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 4．写一个比大的整数是__________． 5．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知的小数部分是x，的小数部分是y，若，求m的值． 无理数——无理数的整数部分和小数部分题型03 1．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）的小数部分是（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则 A． B． C．2 D． 4．的整数部分为，小数部分为b，则的值为______． 5．已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 无理数——材料阅读探究问题题型04 1．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 3．[阅读材料] ∵，即，∴，∴的整数部分为1，∴的小数部分为 [解决问题] （1）填空：的小数部分是__________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根为______． 4．（24-25七年级下·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 用计算器进行计算题型05 1．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示的结果为（    ） A．8 B．0 C．4 D． 2．用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知x，y为实数，且，则的平方根为_______． 4．（2025·河北·模拟）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值：_____． 5．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 实数与实际应用题型06 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）中国古代工匠在建造正方形建筑时，对角线长度与边长的比值为，该比值属于（   ） A．有理数 B．无理数 C．整数 D．百分数 2．（24-25七年级下·河南安阳·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是一个无理数 B．它是的算术平方根 C． D．它表示面积为7的正方形的边长 3．（24-25七年级下·北京·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）计算： (1)已知，都是有理数，并且满足，求的平方根； (2)若，，是实数，且，平面直角坐标系中有点，，求之间的距离． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 与实数有关的材料阅读问题题型07 1．（25-26七年级下·云南·期中）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． 因为，都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，所以，． 根据阅读材料，解决问题： (1)填空：若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得__________________ 因为，都是有理数， 所以__________，_________也是有理数． 因为是无理数， 所以_________，_________，所以______，______． (2)若，都是有理数，且，求的值．（请写出解题过程） 2．（25-26七年级下·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材一：为什么不是有理数？教材中给出一种证明方法： 假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得， 于是，两边平方得， 由是偶数，可得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数， 因此可设（是正整数），则有，即， 所以也是偶数，这与，互质矛盾， 所以不能写成分数的形式，故不是有理数，是无理数． 素材二：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得，若，其中，为有理数，是无理数，则，． 【问题解决】 (1)下列说法正确的是（     ） A．有理数与无理数的差一定是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数 C．无理数与无理数的差一定是无理数 D．无理数与无理数的积一定是无理数 (2)已知有理数，满足，求的值． (3)请模仿材料的推理过程，证明：是无理数． 3．（25-26七年级·辽宁大连·质检）【阅读理解】 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根 【拓展应用】设a，b是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得 因为a，b都是有理数，所以，也是有理数，由于 是无理数，所以，，所以，，所以 ． 【学以致用】 (3)设x，y都是有理数，且满足 ，求的值． 与实数运算相关的规律题题型08 1．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC边在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直线l上，按P3规律继续旋转，直至得到点P2022为止，则AP2022＝_____． 4．（25-26七年级·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得． 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数． 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数． 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾． 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数） (1)【理解运用】证明是无理数． (2)【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？ 、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数） (3)【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论） 无理数——与无理数有关的程序框图设计问题题型01 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 5．阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 实数与数轴上的动点问题题型02 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是______． 2．如图所示，，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，点C的坐标为，． (1)直接写出：点C的坐标________；点E的坐标__________； (2)若y轴有一点Q，使得的面积等于四边形的面积，求出点Q的坐标； (3)点P是直线上一动点，设，，，写出x，y，z之间的所有数量关系，并选择一个进行证明． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．      (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2，数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 实数与程序框图问题题型03 1．有一个数值转换器，原理如下图，当输入的x值为81时，输出的y值是（   ） A．9 B． C．3 D． 2．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是_______． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 实数与新定义问题题型04 1．（25-26七年级下·重庆·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______ ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 4．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 5．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 利用勾股定理探究无理数表示的规律题型05 1．如图，每个小正方形的边长为2，剪一剪，并拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 3．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 5．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______； （2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______； （3）变式拓展： ①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图； ②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 实数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 无理数——无理数的识别 题型02 实数的理解 题型03 实数的分类 题型04 实数的性质 题型05 实数与数轴 题型06 实数的大小比较 题型07 实数的混合运算 B组 能力进阶 题型01 无理数——大小比较问题 题型02 无理数——无理数的估算 题型03 无理数——无理数的整数部分和小数部分 题型04 无理数——材料阅读探究问题 题型05 用计算器进行计算 题型06 实数与实际应用 题型07 与实数有关的材料阅读问题 题型08 与实数运算相关的规律题 C组 思维拔高 题型01 无理数——与无理数有关的程序框图设计问题 题型02 实数与数轴上的动点问题 题型03 实数与程序框图问题 题型04 实数与新定义问题 题型05 利用勾股定理探究无理数表示的规律 无理数——无理数的识别题型01 1．下列实数中，是无理数的为（ ） A．﹣4 B．0.101001 C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：解：A．﹣4是整数，是有理数，故本选项不符合题意； B．0.101001是小数，属于分数，故本选项不符合题意；是无理数，故本选项符合题意； C．是小数，属于分数，故本选项不符合题意； D．是无理数，正确； 故选D． 考点：无理数． 2．下列各数是无理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：是无理数. 故选C. 点睛：无限不循环小数就是无理数. 3．（24-25八年级上·河南·期中）在，，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的定义．根据无理数的三种形式：①无限不循环的小数；②含的代数式；③开方开不尽的数；判断即可得到答案． 【详解】解：，， 无理数有：，， ∴无理数共2个， 故选：C． 4．四个数－1，0，，中，为无理数的是_________． 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：－1，0，是有理数； 是无理数； 故答案为：． 【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 5．把下面各数分别填在相应的集合中： ，0，20.1414414441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，1.732，，50%，， 【答案】有理数集合：0，1.732，，50%，； 无理数集合：，20.141441441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），， 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， 则有理数集合：0，1.732，，50%，； 无理数集合：，20.141441441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），， 实数的理解题型02 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相反数的定义，进而得出答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．（2026·江苏扬州·二模）高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的倒数为． 3．（24-25八年级上·重庆·月考）的相反数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 4．下列命题中正确的有___________ （1）若，那么；   （2）两数的和大于等于这两数的差； （3）若，那么； （4）若，则； （5） （6）一个数越大，这个数的倒数越小； （7）有理数加有理数一定是有理数； （8）无理数加无理数一定是无理数； （9）无理数乘无理数一定是无理数； 【答案】（1），（4），（5），（7） 【分析】根据不等式的性质、有理数的运算与性质、无理数的运算与性质即可依次判断． 【详解】（1）若，那么，正确；   （2）两负数的和小于这两数的差，故（2）错误； （3）≥0时，，故（3）错误； （4）若，则，正确； （5），正确； （6）这个数为负数时，不成立，故错误； （7）有理数加有理数一定是有理数，正确； （8）+=0，故（8）错误； （9），故（9）错误； 故答案为：（1），（4），（5），（7）． 【点睛】此题主要考查不等式的性质、有理数的运算与性质、无理数的运算与性质，解题的关键是熟知各自的定义与性质． 5．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 实数的分类题型03 1．（24-25八年级·广东茂名·质检）在下列四个数中：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.101001 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：在数，0，，0.101001中，属于无理数的是． 故选：C． 2．下列各数中是正有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据正有理数的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是无理数，不合题意； B、是正的有理数，符合题意， C、是有理数，不是正有理数，不合题意， D、 是无理数，不合题意． 故选：B． 3．下列各数①－2.5，②0，③，④，⑤，⑥－0.52522252225…，是无理数的序号是______． 【答案】③ 【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：－2.5，是分数；－0.52522252225…是无限循环小数，是有理数；0，是整数；无理数有， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数，无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数． 4．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【答案】(1)，，，， (2)，，（两个3之间依次增加一个0） (3)，，，，（两个3之间依次增加一个0） (4)，， 【详解】（1）解：，， 有理数：{，，，，}； （2）解：无理数：{，，（两个3之间依次增加一个0）}； （3）解：正实数：{，，，，（两个3之间依次增加一个0）}； （4）解：负实数：{，，}． 5．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）． 【答案】，，（相邻两个之间有个）是有理数；（小数部分由相继的正整数组成）是无理数． 【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限循环小数属于有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫无理数）即可得． 【详解】解：，，（相邻两个之间有个）是有理数； （小数部分由相继的正整数组成）是无理数． 【点睛】本题考查了有理数和无理数，熟记定义是解题关键． 实数的性质题型04 1．在下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两数叫做互为相反数和绝对值的性质，立方根的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】 解：A、与是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误； B、，与相等，不是互为相反数，故本选项错误； C、与相等，不是互为相反数，故本选项错误； D、，，互为相反数，故本选项正确． 故选：D． 2．的相反数为（   ） A． B．－ C．± D．2 【答案】B 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两数互为相反数，即可解答． 【详解】∵的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 3．的绝对值是_________． 【答案】 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 4．（25-26七年级·福建·期中）的相反数是______；（2）比较大小：______3（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：（1）的相反数是； （2）． 5．求下列各数的相反数与绝对值： 实数与数轴题型05 1. 2.5，，，，0的相反数为_______，绝对值为_______. 【答案】相反数分别为：，，，，0；绝对值分别为：2.5，，，，0． 【分析】根据实数的性质，分别求相反数与绝对值即可． 【详解】2.5，，，，0的相反数分别为：，，，，0； 2.5，，，，0的绝对值分别为：2.5，，，，0． 【点睛】本题考查了实数的性质，相反数与绝对值的意义，掌握相反数与绝对值的意义是解题的关键． 2．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查平方根、实数的性质、无理数等知识．①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平方根的定义即可判定；④根据实数的分类即可判定；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：①，故说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和还是无理数，如与的和是0，是有理数，故说法错误； ⑥无理数都是无限小数，故说法正确． 故正确的是②③④⑥共4个． 故选：C． 3．下列命题属于真命题的是（　　） A．同位角相等 B．有理数和数轴上的点一一对应 C．两个无理数的差还是无理数 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，根据平行线的判定，有理数、无理数相关概念和性质，逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、同位角相等的前提是两直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 、实数和数轴上的点一一对应，原命题是假命题，不符合题意； 、两个无理数的差有可能是有理数，如存在反例：如，原命题是假命题，不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原命题是真命题，符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级下·天津·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个无理数的和，仍是无理数 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．将一个图形平移，得到一个新图形，连接各组对应点的线段可以不相等 D．二元一次方程组的解，是组成这个方程组的两个方程的公共解 【答案】D 【分析】本题考查了命题的判断，涉及到无理数的性质，平行线的性质，平移的性质和二元一次方程组解的概念，根据以上知识内容逐一分析各选项是否符合数学定义或定理． 【详解】选项A：两个无理数的和可能为有理数，例如，与均为无理数，但它们的和为，是有理数，故A为假命题，不符合题意； 选项B：内错角相等的前提是两条直线平行，若两条直线不平行，则内错角不相等，故B为假命题，不符合题意； 选项C：平移的性质规定，对应点连线长度相等且方向相同，因此各组对应点的线段必相等，故C为假命题，不符合题意； 选项D：二元一次方程组的解需同时满足两个方程，即两个方程的公共解，符合定义，故D为真命题，符合题意． 故选：D ． 实数的大小比较题型06 1．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥##⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 2．在数轴上表示下列各数： 2 的相反数，绝对值是的数，－1的倒数． 【答案】 【详解】试题分析：根据相反数、绝对值和倒数的概念，求得2的相反数，绝对值是 的数，的倒数，然后将各个点标在数轴上． 试题解析：2的相反数是−2,绝对值是的数是,的倒数是 3．（25-26九年级上·广西·月考）下列四个数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键．根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小． 【详解】解：∵， ∴四个数中，最大的数是． 故选：A． 4．实数满足：①；②；③．则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 根据条件①变形可得到，将②变形可得到，两个条件可得到，再由③，可得，再由，可得，即，可得，由此可判断大小． 【详解】解：①，可得， ②，可得， ∴，即， 可得， ∵③， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A ． 5．如果，，，那么a，b，c三数的大小为(     ) A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【答案】A 【分析】根据非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可化简各数，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解: ∵，，， ∴a<c<b， 故选：A. 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简各数是解题关键． 实数的混合运算题型07 1．比较大小：_______7．（用“＞”或“＜”连接） 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，两个正实数，平方大的，这个正实数也大，据此判断出、7的大小关系即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：>． 2．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴；； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．化简：   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：． 4．（24-25八年级上·山东青岛·月考）实数a，b的位置如图，化简：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级·河北保定·期中）化简：_______． 【答案】 【详解】解：. 无理数——大小比较问题题型01 1．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的是， 故选：A． 2．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 3．（25-26上·陕西·联考）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 4．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 5．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 无理数——无理数的估算题型02 1．与最接近的整数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由于，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的完全平方数，再估算与最接近的整数即可求解． 【详解】解：∵， ． 最接近的整数是2， 与最接近的整数是3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在2和3之间． 故选：C 3．已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，即可得，，问题随之得解． 【详解】∵，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．写一个比大的整数是__________． 【答案】2(答案不唯一) 【分析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出的大小，再找出符合条件的整数即可． 【详解】解：， ， 符合条件的数可以是：2(答案不唯一)． 故答案为：2． 5．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知的小数部分是x，的小数部分是y，若，求m的值． 【答案】(1)5； (2)或 【分析】（1）估算出在哪两个连续整数之间后即可求得答案； （2）估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值，然后求得的值，再利用平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是5，小数部分是的， 故答案为：5；； （2）， ， ，， ，， ， ， ， 则或， 解得：或． 【点睛】本题考查估算无理数的大小及平方根，（2）中估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值是解题的关键． 无理数——无理数的整数部分和小数部分题型03 1．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）的小数部分是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，解决此题的关键是熟练掌握一个数的平方根；先根据估算得到的整数部分，再用减去整数部分即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 4．的整数部分为，小数部分为b，则的值为______． 【答案】## 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算出的范围，根据可得a，b的值，最后代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 5．已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 【答案】 【分析】一个数是由整数部分＋小数部分构成的．通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值． 【详解】解：∵是的整数部分，是它的小数部分， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小方法是解本题的关键． 无理数——材料阅读探究问题题型04 1．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义； （1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 【答案】(1)证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是5的倍数， 也是5的倍数， 是5的倍数． 设（是正整数），则，即， 也是5的倍数． 都是5的倍数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数； (2) (3) 【分析】（1）仿照例题证明即可求解； （2）根据材料提示，分别求出整数部分和小数部分，即可求解； （3）分别求出，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即的整数部分，小数部分， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 3．[阅读材料] ∵，即，∴，∴的整数部分为1，∴的小数部分为 [解决问题] （1）填空：的小数部分是__________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根为______． 【答案】（1）；（2）±3． 【分析】（1）由于4＜7＜9，可求的整数部分，进一步得出的小数部分； （2）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）∵4＜7＜9， ∴，即，∴，∴的整数部分为2， ∴的小数部分为； （2）∵是的整数部分，是的小数部分，9＜10＜16， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为3， 的小数部分为， 即有，， ∴ 9的平方根为±3． ∴的平方根为±3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 4．（24-25七年级下·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)0或2 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，得出，，求出，，得出，然后根据，开平方得出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵， ∴，， ∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：或． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 用计算器进行计算题型05 1．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示的结果为（    ） A．8 B．0 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式计算，实数运算，利用计算器解决本题是关键．根据题意先解出，，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，， ∴计算器表示的数为：， 故选：A． 2．用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【答案】B 【分析】此题主要考查了用计算器求数的立方根，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， 故答案为：B． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知x，y为实数，且，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据被开方数要大于等于0可求出x的值，进而求出y的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为， 故答案为：． 4．（2025·河北·模拟）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值：_____． 【答案】 【详解】解：设点A对应的数为x，由点A在数轴上的位置可得， 所以若， 则符合条件的y的整数值为，0,1三个﹒ 故答案为：，0,1（写一个即可） 5．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的正数（如0.7），小于－1的数（如－1234），大于－1的负数（如－0.7）以及1、－1、0这三个数进行求若干次立方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， 小于1的正数，如：0.7， ， ， ， ， 小于－1的数，如：－1234， ， ， ， ， ， 大于－1的负数，如：－0.7， ， ， ， ， 对于1、－1、0这三个数而言，，，， 由此可得：，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求立方根以及对规律性的总结，熟练掌握立方根的意义是解决本题的关键． 实数与实际应用题型06 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）中国古代工匠在建造正方形建筑时，对角线长度与边长的比值为，该比值属于（   ） A．有理数 B．无理数 C．整数 D．百分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数分为无理数（无限不循环小数）和有理数（整数和分数）求解即可． 【详解】属于无理数． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南安阳·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是一个无理数 B．它是的算术平方根 C． D．它表示面积为7的正方形的边长 【答案】B 【详解】本题考查无理数的概念、算术平方根的定义、无理数的估算及平方根的实际应用．无理数为无限不循环小数，据此可判断A；非负数的算术平方根为，据此可判断B、D；根据可判断C． 【分析】A． 无理数是无限不循环小数．由于7不是完全平方数，无法表示为分数，属于无理数，故A正确． B． 算术平方根的定义是：非负数的算术平方根为．是7的算术平方根，而非本身的算术平方根．的算术平方根应为，故B错误． C．，，而，因此，故C正确． D． 正方形的边长为其面积的算术平方根．面积为7的正方形的边长为，故D正确． 综上，不正确的选项为B． 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小兴同学的想法不可行， 设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行． 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】略 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）计算： (1)已知，都是有理数，并且满足，求的平方根； (2)若，，是实数，且，平面直角坐标系中有点，，求之间的距离． 【答案】(1)的平方根为 (2)之间的距离为 【分析】（1）由，都是有理数，可得是有理数，是含的无理数部分，即可得，，解方程再代入求值即可； （2）原式移项、配方可得，由偶次方的非负性可得，解得，即可得点、坐标，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，都是有理数， ∴是有理数，是含的无理数部分， ∵， ∴， 解得， 当时，，的平方根是； 当时，，无意义，舍去； 故的平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故之间的距离为． 【点睛】本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，偶次方的非负性、完全平方公式、平面直角坐标系中求两点间的距离等知识，判断出是有理数及熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 与实数有关的材料阅读问题题型07 1．（25-26七年级下·云南·期中）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． 因为，都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，所以，． 根据阅读材料，解决问题： (1)填空：若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得__________________ 因为，都是有理数， 所以__________，_________也是有理数． 因为是无理数， 所以_________，_________，所以______，______． (2)若，都是有理数，且，求的值．（请写出解题过程） 【答案】(1)，，，，，， (2)的值为6或4 【详解】（1）解：若，都是有理数，且， 由题意，可得， 因为，都是有理数， 所以，也是有理数； 因为是无理数， 所以，， 所以，； （2）解：， ，都是有理数， ，也是有理数， 是无理数， ，， 解得：，， 当，时，； 当，时，， 综上可知：的值为6或4． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材一：为什么不是有理数？教材中给出一种证明方法： 假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得， 于是，两边平方得， 由是偶数，可得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数， 因此可设（是正整数），则有，即， 所以也是偶数，这与，互质矛盾， 所以不能写成分数的形式，故不是有理数，是无理数． 素材二：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得，若，其中，为有理数，是无理数，则，． 【问题解决】 (1)下列说法正确的是（     ） A．有理数与无理数的差一定是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数 C．无理数与无理数的差一定是无理数 D．无理数与无理数的积一定是无理数 (2)已知有理数，满足，求的值． (3)请模仿材料的推理过程，证明：是无理数． 【答案】(1)A (2) (3)证明：假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得 于是有，两边同时平方得， 是偶数，得也是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入上式，得，即． 是偶数，是奇数， 是偶数， 是偶数， 这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 即不能写成分数的形式，即不是有理数，是无理数． 【分析】（1）利用举反例判断即可； （2）将式子变形为，由，为有理数，是无理数，进而可得出，， 进而可得出a,b的值，最后可求出代数式的值. （3）根据题干反证法证明即可. 【详解】（1）‌解：A正确‌：有理数与无理数的差一定是无理数．若差为有理数，则无理数有理数有理数有理数，产生矛盾；故差必为无理数． B 错误‌：有理数与无理数的积‌不一定‌是无理数．反例：（有理数）． ‌C 错误‌：无理数与无理数的差‌不一定‌是无理数．例如（有理数）， ‌D 错误‌：无理数与无理数的积‌不一定‌是无理数．例如（有理数），或（有理数）. （2）解：， ， ，为有理数，是无理数， ，， ，， ． （3）略 3．（25-26七年级·辽宁大连·质检）【阅读理解】 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根 【拓展应用】设a，b是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得 因为a，b都是有理数，所以，也是有理数，由于 是无理数，所以，，所以，，所以 ． 【学以致用】 (3)设x，y都是有理数，且满足 ，求的值． 【答案】(1)4； (2) (3)19 【分析】（1）先估算的范围，确定其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分； （2）先分别求出小数部分为和的整数部分，然后把、的值代入求值，最后求其平方根； （3）仿照【拓展应用】的做法，将原式变形为的形式，再根据有理数和无理数的性质求解． 【详解】（1）解：， 的整数部分为，小数部分为． （2）解：， ， 的整数部分为，小数部分为， 即； ， ， 的整数部分为， 即， ， ∴的平方根是． （3）解：∵， ． ，是有理数，为无理数， 且． 解得，． ∴． 与实数运算相关的规律题题型08 1．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001) 原数 1 … 计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224 由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求. 因为， 而， 所以选取的数最多是4个. 故本题应选A. 点睛： 本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错. 2．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 【答案】1979 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC边在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直线l上，按P3规律继续旋转，直至得到点P2022为止，则AP2022＝_____． 【答案】 【分析】将Rt△ABC每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2，BC=， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点，此时=2； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时=2+； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时=3+； 由此可得：=3++2=5+； =5++=5+2； =5+2+1=6+2 =2(3+)； 故每旋转3次为一个循环， ∵2022÷3=674， =674(3+)=2022+674 故答案为：2022+674． 【点睛】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键． 4．（25-26七年级·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得． 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数． 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数． 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾． 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数） (1)【理解运用】证明是无理数． (2)【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？ 、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数） (3)【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论） 【答案】(1) 证明：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得， 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数， 所以p也是偶数， 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即， 因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数， 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾， 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数． (2) 证明：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数， 所以它们都不可以用这种给定方法证明， 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明， 如， 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边3次方得， 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数， 所以p也是偶数， 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即． 因为是偶数， 所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数， 所以也是偶数， 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾， 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数． 其它各数同理可证； 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明； 、、不能用这种给定方法证明． (3)给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数． 【分析】本题考查了无理数，证明一个数是无理数，解题关键是弄清题中的解题方法． （1）根据所给的方法证明即可； （2）根据被开方数是否是偶数，可判断能否用所给方法证明； （3）根据所给方法，得出相应的总结即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 无理数——与无理数有关的程序框图设计问题题型01 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为， 是有理数， 再取立方根为， 是有理数， 再取立方根为， 是无理数， 输出． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 5．阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键． （1）是正分数，是有理数； （2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可． 【详解】（1）解：是正分数，是有理数． 故选：D； （2）解：， 首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为． 且， ， 再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为， 的近似分数为． 实数与数轴上的动点问题题型02 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是______． 【答案】## 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 2．如图所示，，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，点C的坐标为，． (1)直接写出：点C的坐标________；点E的坐标__________； (2)若y轴有一点Q，使得的面积等于四边形的面积，求出点Q的坐标； (3)点P是直线上一动点，设，，，写出x，y，z之间的所有数量关系，并选择一个进行证明． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据得到，可直接写出点C的坐标；根据点，判定平移变换是向左平移3个单位，继而得到点解答即可． （2）设，分点Q在y轴的正半轴和负半轴，两种情况计算即可； （3）分点P是线段上，线段的延长线上三种情况计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； ∴点， ∴平移变换是向左平移3个单位， ∴即， 故答案为：，． （2）设， ∵,,, ∴,,， ∴四边形的面积为， ∴的面积等于6 如图，当点Q在y轴的正半轴时， 则，四边形的面积为， 的面积等于，的面积等于， ∴， 解得， 故； 当点Q在y轴的负半轴时， 则，四边形的面积为， 的面积等于，的面积等于， ∴， 解得， 故； 综上所述，点Q或． （3）设，，， ①当点P在线段上时：如图， 过点P作，交 于点N, 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即． ②当点P在线段的延长线上时，如图， 过点P作，设，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即． ③当点P在线段的延长线上时，如图， 过点P作，设，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，算术平方根的非负性的应用，坐标与图形，分类计算，清晰的分类讨论是解题关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．      (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2，数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) ①7；②不能，理由如下． 假设能裁出长方形，使它的长和宽之比为，设长为，宽为， 则 正方形的面积为 正方形的边长为． 因此，假设不成立， 不能裁出长方形，使它的长和宽之比为. 【分析】本题主要考查数轴与实数的关系，数轴上两点之间的距离，熟练掌握平方根的运算及比较大小以及实数与数轴上点的关系是解决本题的关键． （1）利用圆的周长公式计算出圆的周长即可； （2）①由题意得到，设点C所表示的数为，则再代入求值即可； ②根据长方形的面积以及长与宽的比求出长与宽，再判断长是否小于正方形边长即可判断． 【详解】（1）解：圆的周长为：， ， ∵是原点， 点对应的数是， 故答案为：； （2）①解：∵数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等 ∴ 设点C所表示的数为，则 ； ②略 实数与程序框图问题题型03 1．有一个数值转换器，原理如下图，当输入的x值为81时，输出的y值是（   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，算术平方根，掌握有理数与无理数的辨析是解题的关键；根据数值转换器的原理进行输入计算即可得解． 【详解】解：是有理数， 还需把9重新输入， 是有理数， 还需把3重新输入， 是无理数， ， 故选：． 2．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的知识，注意理解程序的内容和熟练应用算术平方根的计算是关键．将已知的值输入程序，取算术平方根后看是否为无理数，如果是无理数则输出该值，如果是有理数则再次输入取算术平方根，直到输入进去的数的算术平方根为无理数为止，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是无理数，则输出，即输入的为． 故选：D ． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 4．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键熟练掌握实数的运算法则．首先求出64的平方根，然后再计算出其立方根即可． 【详解】解：由题意得当输入x的值是64时， ，， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 实数与新定义问题题型04 1．（25-26七年级下·重庆·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 2．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______ ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②##②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 4．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 5．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题关键． 本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据新定义即可求解； （2）根据新定义逐一判断即可； （3）根据，不等式可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：，； （2）解：表示的小数部分， ，故①正确； 根据定义可得，，故②正确； 表示的小数部分， ，故③错误 ， ， ， ，即，故④正确 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ∵ ． 利用勾股定理探究无理数表示的规律题型05 1．如图，每个小正方形的边长为2，剪一剪，并拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算、算术平方根的实际应用以及无理数估算大小，正确理解面积不变规律是解题的关键．由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长，估算其大小即可． 【详解】解：拼成的正方形的面积为， ∴这个正方形的边长是， ∵， ∴，即这个大正方形的边长在4和5之间． 故选：C． 2．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 【答案】（1），（2）． 【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可； （2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长； 【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图①得：， ∴对角线为， 图②中、两点表示的数分别， 故答案为：， （2）长方形面积为5， 正方形边长为，如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 3．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【答案】（1）5cm；（2）面积，边长不是整数， 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长； （2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数． 【详解】解：（1）边长(cm)； （2）大的正方形的面积； 边长，边长不是整数， ， ． 答：这个边长的值在4和5之间． 【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．解题的关键是掌握现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 5．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______； （2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______； （3）变式拓展： ①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图； ②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数． 【答案】（1）10，；（2）； （3）①如图所示： ②如图，点E表示面积为13的正方形边长． 【分析】（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长； （2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果； （3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形； （4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形． 【详解】解：（1）∵图1中有10个小正方形， ∴面积为10，边长AD为； （2）∵BC=，点B表示的数为-1， ∴BE=， ∴点E表示的数为； （3）①略 ②∵正方形面积为13， ∴边长为， 【点睛】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $