30.1.2 第2课时 过圆外一点作圆的切线 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“过圆外一点作圆的切线”，涵盖尺规作图、切线长概念及切线长定理。通过悠悠球转动情境抽象数学图形导入，关联直线与圆位置关系、切线性质判定等旧知，搭建学习支架。 其亮点是情境导入激发兴趣，探究式学习引导学生从猜想到证明切线长定理，培养推理意识。例题与检测题强化知识应用，体现用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达，助力学生发展几何直观，教师可高效开展教学。

第三十章　直线与圆的位置关系 30.1.2　圆的切线 第2课时 过圆外一点作圆的切线 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1: 直线和圆有几种位置关系?切线的性质和判定定理的内容分别是什么? 知识关联 ②切线的性质 : 圆的切线垂直于过切点的半径； 切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ①直线与圆有3种位置关系 : 相交、相切、相离. 问题2 : 过圆上一点可以作圆的切线吗？如果能，可以作几条? 能，过圆上一点只能作圆的一条切线. 知识关联 【情境问题】 同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段)? 【探究1】 尺规作图——过圆外一点P作出圆的切线 探究与应用 思考：1. 过圆外一点可以作圆的几条切线? 2. 如图，过☉O外一点P，你能用尺规作出☉O的切线吗? 2条 根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 分析 : P是☉O外一点，要过点P作☉O的切线.∵两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切，∴需在☉O上确定一点A，满足OA⊥AP，即∠OAP=90°.由此可知，点O、P、A可以确定一个圆，☉P是这个圆的直径。因此以OP为直径作圆，该圆与☉O的交点即所要确定的点. 【探究1】 尺规作图——过圆外一点P作出圆的切线 探究与应用 (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与 ☉O相交于A、B两点; 作法 : 如图 (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN, 与OP交于点C; (3)作直线PA、PB，即所求作的切线. 助力教学 (authorId_373264932) - 注意此处是新教材新加内容， 把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. A P O B 如图，线段PA，PB的长就 是点P到⊙O的切线长． 3 . 切线长概念 【探究1】 尺规作图——过圆外一点P作出圆的切线 探究与应用 P B C O 切线是： 直线PB和PC 切线长是： 线段PB和PC的长度 切线是直线，切线长是切线上一部分线段的长度 【探究1】 尺规作图——过圆外一点P作出圆的切线 探究与应用 4.切线长和切线的区别： 如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别为A、B，过点O、P作直线OP . 线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什关系? 问题 : 你能运用所学知识进行证明吗? PA=PB ∠APO=∠BPO B P O A 思考： 猜测: 探究与应用 【探究2】 切线长定理 已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点， PB与⊙O相切于B点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. B P O A 证明：如图，连接OA、OB. ∵PA和PB是☉O的两条切线, ∴OA⊥PA，OB⊥PB , 又∵ OA=OB，OP=OP, ∴Rt△POA≌Rt△POB, ∴ PA = PB，∠APO=∠BPO. 探究与应用 【探究2】 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 符号表示： ∵ PA、PB是☉O的切线, ∴PA=PB ，∠APO=∠BPO . 切线长定理为证明线段相等， 角相等提供了新的依据。 B P O A 【概括新知】 探究与应用 【探究2】 切线长定理 拓展归纳 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D （1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC （3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB. （4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （5）图中所有的等腰三角形: △ABP ，△AOB 探究与应用 【探究2】 切线长定理 切线长定理背后还是圆的对称性在支撑，所以可以发现本章许多结论都可以从圆的对称性的角度去理解；同时本页的许多结论对于后续的综合题目都是常用的，需要深刻理解和熟练掌握 助力教学 (authorId_373264932) - 此处拓展出的许多结论是比较容易得出和说明的，不过此处是一个值得回顾与总结的节点，因为它融合了等腰三角形和三角形全等相关知识，而且还可以从垂径定理的角度来认识 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B是切点，连接AB， 若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 又∠APO=30° ∴∠APB=60°, 解 : 如图，连接OA ∵PA、PB是☉O的两条切线，A、B是切点, ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. ∴△PAB是等边三角形, ∴AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2, ∴△PAB的周长为 . ∴OA=1，PA= 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例2 如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B分别为切点. 若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长. 答案 : 尺规作图作切线 切线长定理 作用 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长 切线长 提供了证线段和角相等的新方法 定理内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 过圆外一点作圆的切线 【小结】 课堂小结与检测 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 【检测】 课堂小结与检测 2 . 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(　　) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1 D 【检测】 课堂小结与检测 【检测】 C 课堂小结与检测 3 . 如图，PA、PB分别与☉O相切于点A、B，AC是☉O的直径， 连接AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 . 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D. 求证：DE∥OC. 【检测】 课堂小结与检测 ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED. ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC． 证明：连接OD， ∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC， ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， 【检测】 课堂小结与检测 $