30.1.2圆的切线（第2课时）课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长概念、切线长定理及应用”，课堂导入先复习直线与圆的位置关系及切线的性质判定，通过“过圆上一点作切线”的问题过渡到“过圆外一点作切线”，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于合作探究环节引导学生通过尺规作图自主发现切线长定理，培养几何直观与空间观念，典例分析结合中考题和团扇等实际情境，发展推理能力与应用意识，课堂小结用符号语言系统梳理知识，助力学生提升探究能力和解题技能，也为教师提供清晰教学流程与丰富例题资源。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 （第2课时） 学习目标 1 2 理解切线长的概念；探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等. 能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线的性质 切线的判定 见切线，作垂直，得半径 见切点，连半径，得垂直 未给公共点，作垂直，证半径 给出公共点，连半径，证垂直 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. 1 复习引入 问题 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 如何过圆外一点作圆的切线？ 作法：1.连接OA； 2.过点A作OA的垂线l，直线l即为所求. 2 合作探究 分析：因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切， 所以需在⊙O上确定一点A，满足 . 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆， 是这个圆的直径. 因此以 为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点. OA⊥AP，即∠OAP=90° OP OP 思考 如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 作法：(1)连接OP，作线段OP的垂直平分 线MN，与OP交于点C； 2 合作探究 思考 如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ (2)以点C为圆心，CO为半径作圆， 与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 2 合作探究 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切. 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌Rt△POB. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 2 合作探究 思考 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系? PA=PB，∠APO=∠BPO 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 2 合作探究 切线长定理 符号语言： ∵PA，PB是⊙O的两条切线， 切点分别为A，B， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 分析： 先由切线长定理证明：PA=PB，∠APB=60°， 进而证明△PAB是等边三角形. 再根据“30°所对的直角边是斜边的一半”求出 半径的长，进而求出PA的长. 3 典例分析 例3 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴∠APB=60°. ∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=PB. 又 在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2， ∴OA=1，PA==. ∴△PAB的周长为3. 3 典例分析 中考演练(2026河南) 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到．若⊙O的半径为9 cm，∠APB=60°，则小红想要装饰的的长为（     ） A．3π cm B．6π cm C．9π cm D．27π cm 3 典例分析 B 中考演练(2023山东滨州) 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB=56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为___________． 3 典例分析 62°或118° 解：如图所示，连接AC，BC，当点C在优弧上时， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠APB=56°．∴∠AOB=360°−90°−90°−56°=124°. ∴∠ACB=∠AOB=62°， 当点C′在上时，∵四边形AC′BC是圆内接四边形， ∴∠C′=180°−∠C=118°， ∴∠ACB的大小为62°或118°． 解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA=PB，∠OAP=90°. ∴∠PAB=∠PBA. ∵∠BAC=25°， ∴∠PAB=∠OAP-∠BAC=65°， ∴∠P=180°-65°×2=50°. 4 巩固练习 1. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数. 解：（1）OA⊥PA， OB⊥PB， OP⊥AB. 4 巩固练习 2. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系； (2)如果PA=4，PD=2，求⊙O的半径长. 切线的性质 三线合一 线段垂直平分线的判定 4 巩固练习 解:（2）设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OP=OD+PD=r+2. ∵△OAP是直角三角形，由勾股定理得： OA2+PA2=OP2， 即r2+42=(r+2)2， 解得：r=3. 答：⊙O的半径长为3. 4 巩固练习 4.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P=60°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（     ） A．110° B．120° C．125° D．130° B 4 巩固练习 5.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ 解：AB与AC相等，理由如下： 如图，连接OD、OE， ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC，AD=AE. 又∵ AB，AC是大圆的弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AB=2AD，AC=2AE， ∴AB=AC． 5 当堂检测 1.如图，点P，C在弦AB的两侧，PA，PB是⊙O的切线，C在⊙O上，则∠P与∠C的关系是（     ） A．2∠P+∠C=180° B．2∠P+∠C=360° C．∠P+2∠C=180° D．∠P+∠C=180° C 解：∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴PA=PB=12， 同理可得：DA=DC，EB=EC， ∴△PDE的周长=PD+DE+PE =PD+DC+EC+PE =PD+DA+EB+PE =PA+PB=24 cm． 5 当堂检测 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PA=12 cm，则△PDE的周长是________cm． 24 5 当堂检测 3.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB=PA，射线PO交⊙O于C、D两点． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求证：AC平分∠PAB. 5 当堂检测 (1)证明：如图，连接OA，OB． ∵PA是切线， ∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°， 在△PAO和△PBO中， PA=PB，PO=PO，OA=OB， ∴△PAO≌△PBO(SSS)， ∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB⊥OB， ∵OB为半径， ∴PB是⊙O的切线． 5 当堂检测 (2)证明：如图，设∠PAC=α． ∵∠PAO=90°，∴∠OAC=90°−α， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=90°−α， ∵PA=PB，OA=OB， ∴PO垂直平分AB， ∴∠CAB=90°−∠ACO=90°−90°−α=α， ∴∠PAC=∠CAB， ∴AC平分∠PAB． 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 6 课堂小结 切线长定理 6 课堂小结 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线的性质 切线的判定 切线长定理 7 布置作业 A B 习题30.1：第5，7，8题. 习题30.1：第11题. $