专题01 第三章 函数的概念与性质（思维导图+知识清单+五大易错点总结）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 第三章 函数的概念与性质（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【人教A版】 3.1.1 函数的概念 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 3.1.2 函数的表示法 【知识点1 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识点2 分段函数】 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 3.2.1 单调性与最大（小）值 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识点3 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 3.2.2 奇偶性 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【知识点3 函数的周期性与对称性】 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 3.3 幂函数 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 3.4 函数的应用（一） 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【易错点1 函数的三要素考虑不全】 易错点分析：判断两个函数是不是同一函数，也就是利用函数的三要素来判断，看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数. 【注】：由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可. 【典例1】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【解答过程】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据函数的三要素判断即可. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐个分析判断，即可求解. 【解答过程】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为， 函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 【跟踪训练1.4】（25-26高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是 【解题思路】（1）由定义域不同，对应法则也不同判断； （2）由对应法则不同判断； （3）由两函数定义域不同判断； （4）由定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对应法则也相同，判断是同一函数， 【解答过程】（1）函数的定义域为R,函数定义域为[0,+∞)， 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； （2）函数，对应法则不同，即解析式不同， 两个函数不是同一函数，函数与不是同一函数； （3），由于的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，两个函数不是同一函数； （4）函数与的定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且对应法则也相同，是同一函数. 【易错点2 抽象函数的定义域求解错误】 易错点分析：函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 【注】：解题思路：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【典例2】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【解答过程】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·四川自贡·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为0求解． 【解答过程】由题意可知，所以， 故的定义域为， 要使函数有意义， 则解得． 故选：D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【解答过程】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②； （2） 【解题思路】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【解答过程】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 【易错点3 使用换元法忽略新元的范围】 易错点分析：利用换元法求函数的解析式或值域时，容易忽略换元后新元的范围，所以一定要注意换元后新元的限制条件. 【典例3】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【解答过程】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【解答过程】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B. 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用换元法求解函数解析式即可. 【解答过程】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【解答过程】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解题思路】（1）设，代入计算即可求解； （2）令，换元求解即可； （3）构造关于，的方程组求解即可. 【解答过程】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，， 即， 所以； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 【易错点4 分段函数的单调性问题】 易错点分析：研究分段函数的单调性时，容易忽略分段处的函数值的大小比较，造成计算错误. 【注】：一般地，若分段函数f(x)在区间[a,b)上为增函数，在区间[b,c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a,c]为增函数.要使分段函数f(x)在[a,c]上为增函数，即只需f(x)在[a,b)上的最大值不大于f(x)在[b,c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论. 【典例4】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【解答过程】因为函数在上是增函数， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得到在上单调递增，再利用分段函数需要在两段上都单调递增与在分段点处的值建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，在上单调递增， 当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 故函数在上单调递增， 则有，解得． 故选：C． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，根据二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足，解不等式组即可得解. 【解答过程】由函数对且，都有， 可知函数在定义域上是增函数. 已知函数的对称轴为， 在上单调递增，且； 要使反比例函数在时单调递增，须满足. 所以，要使函数在上单调递增， 须满足，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故选：D. 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值域； (3)若在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意直接代入运算求解即可； （2）根据函数单调性，分别分析在和内的值域，再取并集； （3）根据分段函数单调性列式求解即可，注意端点值的大小关系. 【解答过程】（1）因为， 则，解得. （2）因为，且， 可知在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 且在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 注意到， 所以在内的值域为. （3）若在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【易错点5 抽象函数的性质及应用】 易错点分析：研究抽象函数的有关性质时，因为没有给出具体函数，可能导致解题时没有切入点，不知从何下手. 【注】：对于抽象函数问题的求解，一般采用赋值法，0,1,x,-x是常见的赋值手段，或者是代入一些特殊值求解. 【典例5】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案 【解答过程】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以 ， 故 ，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求 ， 所以，故D正确． 故选D． 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 【跟踪训练5.2】（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】D 【解题思路】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断； 对于B，由，不妨令，即可判断； 对于C，令，通过换元即可判断； 对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【解答过程】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A正确； 对于B，由A可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有， 令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）证明：函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数； (2)在上的单调递增，证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第三章 函数的概念与性质（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【人教A版】 3.1.1 函数的概念 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 3.1.2 函数的表示法 【知识点1 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识点2 分段函数】 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 3.2.1 单调性与最大（小）值 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识点3 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 3.2.2 奇偶性 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【知识点3 函数的周期性与对称性】 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 3.3 幂函数 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 3.4 函数的应用（一） 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【易错点1 函数的三要素考虑不全】 易错点分析：判断两个函数是不是同一函数，也就是利用函数的三要素来判断，看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数. 【注】：由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可. 【典例1】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练1.4】（25-26高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【易错点2 抽象函数的定义域求解错误】 易错点分析：函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 【注】：解题思路：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【典例2】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·四川自贡·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【易错点3 使用换元法忽略新元的范围】 易错点分析：利用换元法求函数的解析式或值域时，容易忽略换元后新元的范围，所以一定要注意换元后新元的限制条件. 【典例3】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【易错点4 分段函数的单调性问题】 易错点分析：研究分段函数的单调性时，容易忽略分段处的函数值的大小比较，造成计算错误. 【注】：一般地，若分段函数f(x)在区间[a,b)上为增函数，在区间[b,c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a,c]为增函数.要使分段函数f(x)在[a,c]上为增函数，即只需f(x)在[a,b)上的最大值不大于f(x)在[b,c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论. 【典例4】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值域； (3)若在上单调递减，求实数的取值范围． 【易错点5 抽象函数的性质及应用】 易错点分析：研究抽象函数的有关性质时，因为没有给出具体函数，可能导致解题时没有切入点，不知从何下手. 【注】：对于抽象函数问题的求解，一般采用赋值法，0,1,x,-x是常见的赋值手段，或者是代入一些特殊值求解. 【典例5】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【跟踪训练5.2】（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $