3.3-3.4 幂函数与函数的应用（一）（六大题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期 第三章 函数的概念与性质 专项训练 3.3-3.4 幂函数与函数的应用（一）（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第三章 函数的概念与性质 3.3~3.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．幂函数问题先看定义域，再用奇偶性、单调性；不等式的解集与函数的值域写成区间或集合。 3．实际应用题要设出变量、写出函数解析式并注明自变量的取值范围，结果要回到实际问题作答。 内容速览　六考点43题（选24·填13·解6）｜解析版 19 页：速查表、答案、详解｜配图 10 幅 　考点归纳 1．幂函数的概念与解析式：幂函数的判定、由图象上的点求解析式、含参数的幂函数求参数的值 2．幂函数的图象与性质：五个常见幂函数的图象特征、第一象限内图象与指数的对应关系、定义域与值域 3．利用单调性比较大小与解不等式：同指数幂比较大小、借助单调性解不等式、定义域对不等式的限制 4．奇偶性与单调性的综合：定义域关于原点对称、由奇偶性求值或求参数、奇偶性与单调性结合解不等式 5．一次函数与二次函数模型：成本与利润、面积最大、平均成本最低、含根式的投资收益 6．分段函数模型与综合应用：阶梯计费、行程图象、方案比较、分段利润最大 　考点01　幂函数的概念与解析式 1．下面给出的四个函数中只有一个是幂函数，它是(____)。 A．y＝－1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．已知幂函数f(x)＝的图象经过点，3)，那么f(－5)＝________。 3．已知函数f(x)＝－m－5)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(____)。 A．－2 B．3 C．－2或3 D． 4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，，且f(a)＝－64，则实数a＝________。 5．如图是幂函数y＝f(x)的部分图象，点，4)在图象上，则所有满足f(a)＝的实数a组成的集合为________。 6．已知幂函数f(x)的图象经过点，，则函数g(x)＝f(x)＋f(6－x)的最大值为(____)。 A． B．12 C． D． 7．幂函数f(x)＝满足f(－3)＝9。 (1)求α的值； (2)求f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值； (3)若f(a＋1)＝f(2a－1)，求实数a的值。 　考点02　幂函数的图象与性质 8．幂函数y＝的定义域和值域依次是(____)。 A．(0，＋∞)和(0，＋∞) B．[0，＋∞)和[0，＋∞) C．R和[0，＋∞) D．R和R 9．如图是幂函数y＝的图象，则α的值可能是(____)。 A．2 B．3 C． D．－1 10．幂函数y＝在区间[－4，上的值域为(____)。 A．，3] B．[－4， C．，4] D．[－3， 11．如图，曲线C1，C2，C3，C4是幂函数y＝在第一象限内的图象，α分别取3，1，，－1四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的α依次为(____)。 A．，3，－1，1 B．1，－1，3， C．1，3，－1， D．－1，3，，1 12．如图，在同一坐标系中画出了幂函数y＝（α＝2）与y＝（α＝）的图象，结合图象可得，不等式＞的解集为________。 13．关于幂函数y＝，下列说法中正确的是(____)。 A．图象关于y轴对称 B．定义域为R C．值域为{y|y≠0} D．在定义域上单调递减 14．如图，幂函数y＝（α＝2）与y＝（α＝－1）的图象在第一象限交于点A。 (1)求点A的坐标； (2)结合图象，求不等式＞的解集； (3)求函数h(x)＝－在区间，2]上的值域。 　考点03　利用单调性比较大小与解不等式 15．利用幂函数的单调性比较大小：________（填“＞”或“＜”）。 16．利用幂函数的单调性判断，下列不等式中成立的是(____)。 A．＞ B．＞ C．＞ D．＞ 17．满足＜的全体实数x组成的集合用区间表示为________。 18．对任意实数a，与的大小关系是(____)。 A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 19．如图，点P(－2，－8)在幂函数y＝f(x)的图象上，则满足＋a)＜f(3a＋15)的实数a的取值范围是(____)。 A．(－3，－1)∪(0，5) B．(－5，3) C．(－3，5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 20．若＞，则实数m的取值范围是(____)。 A．，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－1)∪，2) 21．幂函数y＝f(x)在x＝2处的函数值为。 (1)求f(x)的解析式，并写出它的定义域； (2)证明f(x)是偶函数，并写出f(x)的单调区间； (3)解关于m的不等式f(2m－1)＜f(m＋2)。 　考点04　奇偶性与单调性的综合 22．幂函数y＝中，α∈{－1，，1，2，3}。若该函数的定义域为R，且在区间(－∞，0)上单调递减，则α的值为(____)。 A．－1 B．2 C．3 D． 23．函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(－x)＝－f(x)，并且当x＞0时，f(x)＝＋。若f(a)＝－84，则实数a＝________。 24．若函数f(x)＝＋(b－2)是定义在区间[a－5，2a－1]上的奇函数，则a＋b的值为(____)。 A．0 B．4 C．2 D．－2 25．如图是幂函数f(x)＝（m∈Z）的大致图象，则整数m的值为________。 26．已知幂函数f(x)＝（α∈{－1，，1，2，3}）的图象关于原点对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减。设a＝，b＝f(3)，c＝f(－4)，则a，b，c的大小关系是(____)。 A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 27．已知幂函数f(x)＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且f(2)＜f(3)。若f(a－2)＜f(2a＋1)，则实数a的取值范围是________。 28．已知函数f(x)＝＋x，若＋f(a－6)＞0，则实数a的取值范围是(____)。 A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(3，＋∞) C．(－3，2) D．R 29．已知函数f(x)＝－。 (1)求f(x)的定义域，并证明f(x)是偶函数； (2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (3)解不等式f(x－1)＜f(2)。 　考点05　一次函数与二次函数模型 30．某工作室制作一种文创书签，每月固定支出20000元，每制作一枚还需材料费30元，每枚售价50元。若制作的书签全部售出，要使当月不亏本，至少要制作并售出的枚数为(____)。 A．400 B．1000 C．667 D．250 31．用总长为44 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边靠一堵足够长的墙（靠墙的一边不用篱笆），则菜园面积的最大值为________平方米。 32．某商品每件进价为25元，每件售价为x元（25≤x≤65）时，每天可以卖出(260－4x)件。若要使每天的销售利润不低于1200元，则售价x的取值范围是(____)。 A．[35，55] B．[25，55] C．[35，65] D．(35，55) 33．某工厂一条生产线的月产量为x吨（150≤x≤300），月生产总成本y（单位：万元）与x近似满足y＝－12x＋3125。当每吨的平均成本最低时，月产量应为________吨。 34．如图，某隧道的截面上部是抛物线形拱顶，拱脚A，B在地面上，地面宽AB＝8 m，拱顶最高点P到地面的距离为6 m。一辆宽为4 m的货车从隧道正中间通过（车身关于隧道的对称轴对称），为保证车厢顶部不碰到拱顶，货车的高度（车厢顶部视为水平）应小于(____)m。 A．1.5 B．3 C．4.5 D．5.625 35．某人准备将12万元资金全部投入A，B两个项目。根据经验，投入A项目x万元可获利润万元，投入B项目x万元可获利润万元。这12万元资金合理分配后，能获得的最大总利润为(____)万元。 A．2 B． C．＋ D． 36．某工厂一条生产线的日利润y（单位：千元）与日产量x（单位：百件）之间的关系如图所示（1≤x≤9），图象是抛物线的一部分，它与x轴的一个交点为B(2，0)，最高点为C(5，9)。 (1)求y关于x的函数解析式； (2)要使日利润不低于5千元，日产量应控制在什么范围内？ (3)日产量为多少时，每百件产品的平均利润最大？最大为多少千元？ 　考点06　分段函数模型与综合应用 37．某市居民管道天然气实行年度阶梯价格：每户每年用气量不超过300 m³的部分，每立方米2.5元；超过300 m³但不超过500 m³的部分，每立方米3元；超过500 m³的部分，每立方米3.8元。某户全年用气560 m³，则该户全年应缴燃气费________元。 38．为鼓励节约用电，某城市对居民生活用电按月分三档计费：第一档为每月180千瓦时及以内，每千瓦时0.55元；第二档为超过180千瓦时至350千瓦时的部分，每千瓦时0.6元；第三档为超过350千瓦时的部分，每千瓦时0.85元。小王家某月缴纳电费150元，那么他家这个月的用电量为(____)千瓦时。 A．250 B．240 C．265 D．85 39．小林骑自行车从家出发去图书馆，在馆内停留一段时间后按原路返回。如图是他离家的距离y（单位：km）与出发后的时间x（单位：h）之间的函数图象，它是一条折线O—A—B—C，其中A(1，15)，B(1.5，15)，C(3.5，0)。小林返回时的平均速度为(____)km/h。 A．6 B．10 C． D．7.5 40．甲、乙两家文印店复印同一种资料。甲店每张收费0.3元；乙店复印不超过20张时每张收费0.4元，超过20张的部分每张收费0.2元。当复印张数超过________张时，选择乙店更省钱。 41．一个水池装有一根进水管和一根出水管，每根水管每小时的进水量或出水量都保持不变。某天从0时起先只打开进水管，3 h时水量由20 m³增加到110 m³；接着同时打开两根水管，到5 h时水量增加到130 m³；随后关闭进水管，只打开出水管。则从0时起经过(____)h，水池里的水恰好放完。 A．6.5 B．8.25 C．18 D．11.5 42．某厂家向经销商批发一种产品，每件成本30元。经销商一次订购不超过100件时，单价为60元；超过100件时，每多订购1件，订购的全部产品单价就降低0.2元，但单价最低降到40元为止，且一次订购量不超过250件。则厂家一次交易能获得的最大利润为(____)元。 A．2500 B．3125 C．3000 D．8000 43．某城市网约车的计费规则：行程在2 km以内（含2 km）按起步价9元收取；行程超过2 km但不超过12 km的部分，按每千米2.4元计费；超过12 km的部分，按每千米3.2元计费（按实际里程计算）。 (1)设行驶里程为x km（x＞0），车费为y元，写出y关于x的函数解析式； (2)某乘客下车时付车费49元，求他乘车的里程； (3)某乘客要去20 km外的地方，若他在行驶到第12 km时下车，立即换乘另一辆出租车走完余下的路程，求他的总车费，并求与不换车相比节省了多少元。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C A －4 {－4，4} D B 题号 9 10 11 12 13 15 16 17 答案 B D A (0，1) C ＞ A ，3) 题号 18 19 20 22 23 24 25 26 答案 C C D B －9 B 2 D 题号 27 28 30 31 32 33 答案 (－∞，－3)∪，＋∞) A B 242 A 250 题号 34 35 37 38 39 40 41 42 答案 C A 1578 C D 40 D B 　考点01　幂函数的概念与解析式 1．【答案】C 【解析】幂函数y＝的解析式要同时满足：的系数为1；底数是自变量x本身；指数α是常数，并且后面不再加减其他项。 ＝，是α＝－2的幂函数。 所以选C。 A项：后面还减去了常数1，不是单独一个幂，只看到含就会误判为幂函数，实际不是；B项：前面的系数是5而不是1，只看到指数是常数就会误判为幂函数，实际不是；D项：底数是x－1而不是自变量x，把整体(x－1)当成自变量就会误判为幂函数，实际不是。 2．【答案】 【解析】把点，3)代入f(x)＝，得＝3。因为＝3，所以α＝－1，f(x)＝。 于是f(－5)＝＝。 所以答案为。 3．【答案】A 【解析】f(x)是幂函数，的系数必须等于1：－m－5＝1，即－m－6＝0，解得m＝－2或m＝3。 当m＝－2时，f(x)＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；当m＝3时，f(x)＝，在(0，＋∞)上单调递增，舍去。 所以m＝－2。 所以选A。 B项：把“单调递减”看成“单调递增”，保留了使指数为正的根，按此错法真算得3；C项：解出m＝－2或m＝3后没有用“在(0，＋∞)上单调递减”检验，两个值都保留，按此错法真算得－2或3；D项：把幂函数的条件错写成系数等于0，由－m－5＝0解出m后再取使指数为负的根，按此错法真算得。 4．【答案】－4 【解析】设f(x)＝，则＝。而＝2×＝，所以α＝3，f(x)＝。 由f(a)＝＝－64，且＝－64，y＝在R上单调递增，这样的a只有一个，所以a＝－4。 所以答案为－4。 5．【答案】{－4，4} 【解析】设f(x)＝，由＝4，而＝＝4，得α＝－2，f(x)＝＝，定义域为{x|x≠0}。 由f(a)＝＝得＝16，所以a＝4或a＝－4。 f(x)是偶函数（图象关于y轴对称），f(4)＝f(－4)＝，两个值都满足，所以所求集合为{－4，4}。 所以答案为{－4，4}。 6．【答案】D 【解析】设f(x)＝，由＝得α＝，f(x)＝＝。 g(x)＝＋，定义域为[0，6]，且g(x)＞0。＝6＋， 而x(6－x)＝＋9≤9，当x＝3时取等号，所以≤6＋2×3＝12，g(x)≤。 因此g(x)的最大值为（此时x＝3）。 所以选D。 A项：把两个根式分别取最大值相加（它们不在同一个x处取到），按此错法真算得；B项：求出的最大值后忘记开方，按此错法真算得12；C项：把端点x＝0处的函数值当成最大值（这其实是最小值），按此错法真算得。 7．【答案】（1）α＝2；（2）最大值为4，最小值为0；（3）a＝0或a＝2 【解析】【解答】(1)由f(－3)＝9得＝9，而＝9，所以α＝2，f(x)＝。 (2)f(x)＝在[－1，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，所以最小值为f(0)＝0；又f(－1)＝1，f(2)＝4，最大值为4。 (3)由f(a＋1)＝f(2a－1)得＝，即－＝0， 移项并因式分解得[(a＋1)－(2a－1)][(a＋1)＋(2a－1)]＝0，即(2－a)·3a＝0，解得a＝2或a＝0。 　考点02　幂函数的图象与性质 8．【答案】B 【解析】y＝＝，被开方数x≥0，所以定义域是[0，＋∞)；x≥0时≥0，且可以取遍所有非负实数（＝0），所以值域是[0，＋∞)。 所以选B。 A项：忘记x＝0时＝0有意义，把端点0去掉，按此错法真算得(0，＋∞)和(0，＋∞)；C项：把与混淆，按y＝来写，按此错法真算得定义域R、值域[0，＋∞)；D项：把当成＝x，按此错法真算得定义域R、值域R。 9．【答案】B 【解析】由图，曲线经过原点O与点(1，1)，并经过第三象限内的点(－1，－1)，关于原点对称。 α＝3时，＝0，＝－1，＝1，与图吻合。 所以选B。 A项：误把图中曲线看成y＝，按此错法真算得x＝－1时y＝＝1，曲线过(－1，1)而不过(－1，－1)，与图不符；C项：误把图中曲线看成y＝，按此错法真算得x＝－1时无意义，曲线不会出现在y轴左侧，与图不符；D项：误把图中曲线看成y＝，按此错法真算得x＝0时无意义，曲线不过原点，与图不符。 10．【答案】D 【解析】y＝在(－∞，0)上单调递减，[－4，⊆(－∞，0)， 所以最大值为＝，最小值为＝－3，值域为[－3，。 所以选D。 A项：把y＝当成偶函数，按|x|在，4]上计算，按此错法真算得，3]；B项：以为负指数不改变数值，把当成x，直接把区间端点当函数值，按此错法真算得[－4，；C项：以为负指数就是取相反数，把当成－x，按此错法真算得，4]。 11．【答案】A 【解析】在第一象限内，α＞0时图象上升，α＜0时图象下降，所以下降的C3对应α＝－1。 作直线x＝2，它与各曲线交点的纵坐标为，x＞1时指数越大函数值越大：＞＞＞。 交点由高到低依次在C2，C4，C1，C3上，所以C2对应α＝3，C1对应α＝，C4对应α＝1（直线）。 所以C1，C2，C3，C4对应的α依次为，3，－1，1。 所以选A。 B项：在0＜x＜1的部分也按“位置越高α越大”去配（这一段恰好相反），按此错法真算得1，－1，3，；C项：误以为y＝的图象是直线，把它与y＝x对应的α对调，按此错法真算得1，3，－1，；D项：只注意到C1与C3在x＞1时都位于直线y＝x的下方，没有区分图象是上升还是下降，把C1与C3对应的α对调，按此错法真算得－1，3，，1。 12．【答案】(0，1) 【解析】y＝的定义域是[0，＋∞)，所以只需在x≥0的范围内考虑，x＜0的部分不在解集内。 由＝（x≥0）两边平方得x＝，－1)＝0，得两图象的交点横坐标为x＝0与x＝1。 由图，在0＜x＜1时y＝的图象在y＝的上方；x＝0与x＝1时两者相等，不满足“＞”；x＞1时y＝的图象在上方。 所以解集为(0，1)。 所以答案为(0，1)。 13．【答案】C 【解析】y＝＝，x≠0，定义域为{x|x≠0}。f(－x)＝＝＝－f(x)，是奇函数。 它在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减；能取遍所有非零实数，所以也能取遍所有非零实数，值域为{y|y≠0}。 所以选C。 A项：把看成了偶函数，按此错法会判为成立；实际f(－x)＝－f(x)，它是奇函数，图象关于原点对称；B项：误以为幂函数的定义域都是R，按此错法会判为成立；实际x＝0时无意义，定义域是{x|x≠0}；D项：把“在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减”说成“在定义域上单调递减”，按此错法会判为成立；实际f(－1)＝－1＜f(1)＝1。 14．【答案】（1）A(1，1)；（2）(－∞，0)∪(1，＋∞)；（3）， 【解析】【解答】(1)由＝（x≠0）得＝1，x＝1，此时y＝1，所以A(1，1)。 (2)y＝的定义域为{x|x≠0}。当x＜0时，＞0＞，不等式成立；当0＜x＜1时，由图y＝的图象在下方，不成立；x＝1时两者相等；当x＞1时y＝的图象在上方，成立。所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)。 (3)在(0，＋∞)上y＝单调递增，y＝单调递减，所以y＝单调递增，h(x)＝－在，2]上单调递增。 ＝－2＝，h(2)＝4－＝，所以值域为，。 　考点03　利用单调性比较大小与解不等式 15．【答案】＞ 【解析】y＝在(0，＋∞)上单调递减，0＜＜，所以＞。 （验证：＝，＝。） 所以答案为＞。 16．【答案】A 【解析】y＝在(－∞，0)上单调递减，－3.1＜－2.9，所以＞成立（事实上9.61＞8.41）。 所以选A。 B项：误以为y＝在(－∞，0)上单调递减，按此错法会判为成立；实际＝－1.728＜＝－1.331；C项：由－2＞－3直接得结论，忽略了y＝在(－∞，0)上单调递减，按此错法会判为成立；实际＝＜＝；D项：只看到0.9＜1，误以为y＝单调递减，按此错法会判为成立；实际y＝在[0，＋∞)上单调递增，＜。 17．【答案】，3) 【解析】y＝的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增。 原不等式等价于2x－1≥0，x＋2≥0，2x－1＜x＋2， 解得x≥，x≥－2，x＜3，取公共部分得解集为，3)。 所以答案为，3)。 18．【答案】C 【解析】因为≥0，所以＋3≥3＞0，当且仅当a＝0时取等号。 y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以≤，当且仅当a＝0时取等号。 所以选C。 A项：误以为y＝在(0，＋∞)上单调递增，按此错法会判为≥；实际a＝1时左边为＜；B项：既把单调性判反又漏掉等号，按此错法会判为＞；实际左边总不大于右边；D项：漏掉a＝0时两边相等的情形，按此错法会判为＜；实际a＝0时两边都等于。 19．【答案】C 【解析】设f(x)＝，由＝－8，而＝－8，得α＝3，f(x)＝。由图，f(x)的定义域为R，且在R上单调递增。 所以＋a)＜f(3a＋15)等价于＋a＜3a＋15，即－2a－15＜0，(a＋3)(a－5)＜0，解得－3＜a＜5，取值范围是(－3，5)。 所以选C。 A项：误以为y＝只在(0，＋∞)上单调递增，额外要求＋a＞0且3a＋15＞0，按此错法真算得(－3，－1)∪(0，5)；B项：因式分解时把(a＋3)(a－5)的符号写反成(a－3)(a＋5)，按此错法真算得(－5，3)；D项：把f(x)在R上的单调性判成递减，得到＋a＞3a＋15，按此错法真算得(－∞，－3)∪(5，＋∞)。 20．【答案】D 【解析】y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，且x＜0时＜0，x＞0时＞0。分三种情况： ①两底数都为正：2m－1＞0，m＋1＞0，且2m－1＜m＋1，解得，2)； ②两底数都为负：2m－1＜0，m＋1＜0，且2m－1＜m＋1，解得m＜－1； ③2m－1＞0＞m＋1时，左边为正、右边为负，不等式成立，但这要求m＞且m＜－1，无解；2m－1＜0＜m＋1时左边为负、右边为正，不成立。 综上，m的取值范围是(－∞，－1)∪，2)。 所以选D。 A项：只考虑了两底数都为正的情况，按此错法真算得，2)；B项：误以为y＝是增函数，由2m－1＞m＋1求解，按此错法真算得(2，＋∞)；C项：不管底数正负，直接由2m－1＜m＋1得出结论（没有排除使底数为0或两底数异号的情形），按此错法真算得(－∞，2)。 21．【答案】（1）f(x)＝，定义域为{x|x≠0}；（2）证明见解析，单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)；（3）(－∞，－2)∪(－2，∪(3，＋∞) 【解析】【解答】(1)设f(x)＝，由＝＝得α＝－2，所以f(x)＝＝，定义域为{x|x≠0}。 (2)定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数。y＝在(0，＋∞)上单调递增且取正值，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减；由偶函数图象关于y轴对称，f(x)在(－∞，0)上单调递增。 (3)由(2)知f(x)＝，f(2m－1)＜f(m＋2)等价于2m－1≠0，m＋2≠0，且＞。 由＞得－8m－3＞0，解得m＜或m＞3； 又m≠－2且m≠，其中m＝－2在上述范围内，需要去掉。所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，∪(3，＋∞)。 　考点04　奇偶性与单调性的综合 22．【答案】B 【解析】α＝－1时定义域为{x|x≠0}，α＝时定义域为[0，＋∞)，都不是R；定义域为R的只有α＝1，2，3。 y＝x与y＝在R上单调递增；y＝是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，由图象关于y轴对称知它在(－∞，0)上单调递减（例如＝4＞＝1）。 所以α＝2。 所以选B。 A项：只看到y＝在(－∞，0)上单调递减，漏看“定义域为R”的条件，按此错法会判为符合；实际的定义域是{x|x≠0}；C项：把y＝误当成偶函数，由它在(0，＋∞)上递增推出在(－∞，0)上递减，按此错法会判为符合；实际y＝在R上单调递增；D项：误以为y＝的定义域是R，又把它的图象当成与y＝一样关于y轴对称，按此错法会判为符合；实际定义域是[0，＋∞)。 23．【答案】－9 【解析】由f(－x)＝－f(x)知f(x)是奇函数，f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0。 当x＞0时，y＝与y＝都单调递增且取正值，所以f(x)＞0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＜0。 f(a)＝－84＜0，所以a＜0，且f(－a)＝－f(a)＝84。又f(9)＝＋＝81＋3＝84，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以－a＝9，a＝－9。 所以答案为－9。 24．【答案】B 【解析】奇函数的定义域关于原点对称，所以(a－5)＋(2a－1)＝0，解得a＝2； 又f(－x)＝＋(b－2)，由f(－x)＝－f(x)对定义域内每个x成立，得2(b－2)＝0恒成立，所以b－2＝0，b＝2。 所以a＋b＝2＋2＝4。 所以选B。 A项：把项系数为0错写成b＋2＝0，得b＝－2，再加a＝2，按此错法真算得0；C项：只由定义域对称求出a＝2，没有用奇函数条件求b，把b当作0，按此错法真算得2；D项：把区间关于原点对称错写成两端点相等a－5＝2a－1，得a＝－4，再加b＝2，按此错法真算得－2。 25．【答案】2 【解析】由图，f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数；在(0，＋∞)上单调递减，所以指数－4m＜0，解得0＜m＜4。 m是整数，m可取1，2，3，对应的指数依次为－3，－4，－3。 只有指数为偶数时f(x)才是偶函数，所以m＝2，此时f(x)＝。 所以答案为2。 26．【答案】D 【解析】图象关于原点对称的是α＝－1，1，3，其中在(0，＋∞)上单调递减的只有α＝－1，所以f(x)＝。 f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，且x＜0时f(x)＜0，x＞0时f(x)＞0。 b＝f(3)＝＞0；a＝与c＝f(－4)都小于0，而－4＜，所以f(－4)＞，即c＞a。 （验证：a＝－2，c＝，b＝。）所以a＜c＜b。 所以选D。 A项：误以为f(x)在整个定义域上单调递减，直接按自变量－4＜＜3反序排列，按此错法真算得b＜a＜c；B项：把f(x)当成偶函数，用，f(3)，f(4)按(0，＋∞)上递减来比较，按此错法真算得c＜b＜a；C项：把单调性看反，按递增函数（如y＝）比较，按此错法真算得c＜a＜b。 27．【答案】(－∞，－3)∪，＋∞) 【解析】由f(2)＜f(3)知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，指数3－m＞0，又m∈N*，所以m＝1或m＝2。 m＝2时f(x)＝x，图象关于原点对称，不合题意；m＝1时f(x)＝，图象关于y轴对称，符合题意。所以f(x)＝。 f(x)＝是偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，所以f(a－2)＜f(2a＋1)等价于|a－2|＜|2a＋1|，即＜， 整理得＋8a－3＞0，解得a＜－3或a＞，取值范围是(－∞，－3)∪，＋∞)。 所以答案为(－∞，－3)∪，＋∞)。 28．【答案】A 【解析】f(x)的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数；y＝与y＝x都在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增。 由＋f(a－6)＞0得＞－f(a－6)＝f(6－a)，所以＞6－a，即＋a－6＞0， (a＋3)(a－2)＞0，解得a＜－3或a＞2，取值范围是(－∞，－3)∪(2，＋∞)。 所以选A。 B项：分解因式时把(a＋3)(a－2)的符号写反成(a－3)(a＋2)，按此错法真算得(－∞，－2)∪(3，＋∞)；C项：把f(x)的单调性判成递减，得到＜6－a，按此错法真算得(－3，2)；D项：把－f(a－6)写成f(－a－6)，得到＞－a－6，按此错法真算得R。 29．【答案】（1）定义域为{x|x≠0}，证明见解析；（2）证明见解析；（3）(－1，1)∪(1，3) 【解析】【解答】(1)＝，要求x≠0，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)是偶函数。 (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1²－x2²)＋－＝(x1²－x2²)＋＝(x1²－x2²)(1＋。 因为0＜x1＜x2，所以x1²－x2²＜0，而1＋＞0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增。 (3)f(x)是偶函数，f(x－1)＝f(|x－1|)，f(2)中2＞0。由(2)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x－1)＜f(2)等价于0＜|x－1|＜2。 由|x－1|＜2得－1＜x＜3，由|x－1|＞0得x≠1，所以解集为(－1，1)∪(1，3)。 　考点05　一次函数与二次函数模型 30．【答案】B 【解析】设当月制作并售出x枚，则总收入为50x元，总成本为(20000＋30x)元。 不亏本即50x≥20000＋30x，20x≥20000，x≥1000。所以至少要制作并售出1000枚。 所以选B。 A项：只用固定支出除以售价，没有扣除每枚的材料费，按此错法真算得400；C项：用固定支出除以每枚材料费，再取整，按此错法真算得667；D项：把每枚的收益算成售价加材料费，按此错法真算得250。 31．【答案】242 【解析】设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(44－2x) m，0＜x＜22。 面积S＝x(44－2x)＝＋44x＝＋242， 当x＝11时S取得最大值242，此时平行于墙的一边长为22 m。 所以答案为242。 32．【答案】A 【解析】每天的利润y＝(x－25)(260－4x)＝＋360x－6500。 由y≥1200得＋360x－6500≥1200，即－90x＋1925≤0，(x－35)(x－55)≤0，解得35≤x≤55，都在25≤x≤65内。 所以售价x的取值范围是[35，55]。 所以选A。 B项：只解出了上界55，把下界直接取成定义域的左端点25，按此错法真算得[25，55]，实际x＝30时利润为5×140＝700＜1200；C项：只解出了下界35，把上界直接取成定义域的右端点65，按此错法真算得[35，65]，实际x＝60时利润为35×20＝700＜1200；D项：把“不低于”理解成“高于”，漏掉利润恰为1200元的两个端点，按此错法真算得(35，55)。 33．【答案】250 【解析】每吨平均成本为＝＋－12（万元）。 因为x＞0，由基本不等式，＋≥＝＝25，当且仅当＝，即＝62500，x＝250时取等号。 250在150≤x≤300内，所以月产量为250吨时每吨平均成本最低，最低为25－12＝13（万元）。 所以答案为250。 34．【答案】C 【解析】以AB的中点O为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，P(0，6)。 设抛物线为y＝＋6，把B(4，0)代入得16k＋6＝0，k＝，所以y＝＋6（－4≤x≤4）。 货车宽4 m，车厢顶部的两个角的横坐标为±2，此时y＝×＋6＝4.5。 所以货车高度应小于4.5 m。 所以选C。 A项：求出x＝2处拱顶的高度后，又用拱高6去减它，求成了该处比最高点低多少，按此错法真算得1.5；B项：把拱顶当成由P分别连向A，B的两条线段（三角形），按直线计算x＝2处的高度，按此错法真算得3；D项：把地面宽8 m当成半宽，设抛物线过点(8，0)，得y＝＋6，再代入x＝2，按此错法真算得5.625。 35．【答案】A 【解析】设投入B项目x万元（0≤x≤12），则投入A项目(12－x)万元，总利润y＝＋。 令t＝，则0≤t≤，x＝，y＝＋＝＋2。 当t＝2，即x＝4时，y取最大值2。所以投入B项目4万元、A项目8万元时总利润最大，为2万元。 所以选A。 B项：认为全部投入B项目利润最大，按此错法真算得；C项：求出t＝2后把它当成x＝2直接代入，按此错法真算得＋；D项：认为全部投入A项目利润最大，按此错法真算得。 36．【答案】（1）y＝＋10x－16（1≤x≤9）；（2）3≤x≤7，即日产量在3百件到7百件之间；（3）日产量为4百件时，平均利润最大，为2千元 【解析】【解答】(1)抛物线的最高点为C(5，9)，设y＝＋9（k＜0）。把B(2，0)代入得9k＋9＝0，k＝－1。 所以y＝＋9＝＋10x－16（1≤x≤9）。 (2)由＋10x－16≥5得－10x＋21≤0，解得3≤x≤7，都在1≤x≤9内。所以日产量应控制在3百件到7百件之间。 (3)＝10－(x＋。由基本不等式，x＋≥＝8，当且仅当x＝，即x＝4时取等号， 所以≤10－8＝2。即日产量为4百件时，每百件产品的平均利润最大，为2千元。 　考点06　分段函数模型与综合应用 37．【答案】1578 【解析】560＞500，用气量分三段计费：第一段300 m³，费用300×2.5＝750（元）； 第二段500－300＝200（m³），费用200×3＝600（元）；第三段560－500＝60（m³），费用60×3.8＝228（元）。 合计750＋600＋228＝1578（元）。 所以答案为1578。 38．【答案】C 【解析】用电180千瓦时的电费为180×0.55＝99（元），用电350千瓦时的电费为99＋170×0.6＝201（元）。 99＜150≤201，所以用电量x在第二段：99＋0.6(x－180)＝150，解得x＝265。 所以选C。 A项：全部按第二档单价计算，用150÷0.6，按此错法真算得250；B项：超出第一档的部分误按第三档单价0.85元计算，按此错法真算得240；D项：只算出超过180千瓦时的部分，忘记加上第一档的180千瓦时，按此错法真算得85。 39．【答案】D 【解析】图象中线段AB平行于x轴，表示小林在图书馆停留；线段BC表示返回过程。 返回的路程为15 km，用时3.5－1.5＝2（h），所以返回时的平均速度为15÷2＝7.5（km/h）。 所以选D。 A项：把返回用时算成从A点到C点的时间3.5－1，按此错法真算得6；B项：把返回用时误读成B点的横坐标1.5，按此错法真算得10；C项：用往返总路程除以全程总时间，求成了全程的平均速度，按此错法真算得。 40．【答案】40 【解析】设复印x张。甲店费用为0.3x元。 乙店：当x≤20时费用为0.4x元，比甲店的0.3x元多，不省钱；当x＞20时费用为20×0.4＋0.2(x－20)＝0.2x＋4（元）。 由0.2x＋4＜0.3x，解得x＞40。所以复印张数超过40张时，选择乙店更省钱。 所以答案为40。 41．【答案】D 【解析】只进水时，进水管每小时进水(110－20)÷3＝30（m³）。 两管同开时，水量每小时增加(130－110)÷(5－3)＝10（m³），所以出水管每小时出水30－10＝20（m³）。 只出水时，放完130 m³需要130÷20＝6.5（h），所以从0时起经过5＋6.5＝11.5（h），水池里的水恰好放完。 所以选D。 A项：只算了关闭进水管后放水所用的时间，忘记加上前面的5 h，按此错法真算得6.5；B项：把出水速度算成进水速度与净增速度之和30＋10，按此错法真算得8.25；C项：把两管同开时的净增量10 m³/h当成出水管的出水速度，按此错法真算得18。 42．【答案】B 【解析】设一次订购x件，厂家利润为P元。单价降到40元时，100＋(60－40)÷0.2＝200（件）。 当0＜x≤100时，P＝(60－30)x＝30x，最大为3000； 当100＜x≤200时，单价为60－0.2(x－100)＝－0.2x＋80，P＝(－0.2x＋80－30)x＝＋50x，对称轴x＝125，最大为3125； 当200＜x≤250时，P＝(40－30)x＝10x，最大为2500。 比较得，一次订购125件时利润最大，为3125元。 所以选B。 A项：只考虑了单价最低的最后一段，取x＝250，按此错法真算得2500；C项：只考虑了不打折的第一段，取x＝100，按此错法真算得3000；D项：把第二段的销售收入＋80x当成利润，在x＝200处取最大，按此错法真算得8000。 43．【答案】（1）y＝9（0＜x≤2），y＝2.4x＋4.2（2＜x≤12），y＝3.2x－5.4（x＞12）；（2）17 km；（3）总车费56.4元，节省2.2元 【解析】【解答】(1)当0＜x≤2时，y＝9； 当2＜x≤12时，y＝9＋2.4(x－2)＝2.4x＋4.2； 当x＞12时，y＝9＋2.4×10＋3.2(x－12)＝3.2x－5.4。 (2)行驶12 km的车费为33元，49＞33，所以里程超过12 km。由3.2x－5.4＝49，解得x＝17，即乘车里程为17 km。 (3)不换车时车费为33＋3.2×(20－12)＝58.6（元）。 换车时，前12 km车费33元；余下8 km车费9＋2.4×(8－2)＝23.4（元）；总车费33＋23.4＝56.4（元）。 节省58.6－56.4＝2.2（元）。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期 第三章 函数的概念与性质 专项训练 3.3-3.4 幂函数与函数的应用（一）（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第三章 函数的概念与性质 3.3~3.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．幂函数问题先看定义域，再用奇偶性、单调性；不等式的解集与函数的值域写成区间或集合。 3．实际应用题要设出变量、写出函数解析式并注明自变量的取值范围，结果要回到实际问题作答。 内容速览　六考点43题（选24·填13·解6）｜解析版 19 页：速查表、答案、详解｜配图 10 幅 　考点归纳 1．幂函数的概念与解析式：幂函数的判定、由图象上的点求解析式、含参数的幂函数求参数的值 2．幂函数的图象与性质：五个常见幂函数的图象特征、第一象限内图象与指数的对应关系、定义域与值域 3．利用单调性比较大小与解不等式：同指数幂比较大小、借助单调性解不等式、定义域对不等式的限制 4．奇偶性与单调性的综合：定义域关于原点对称、由奇偶性求值或求参数、奇偶性与单调性结合解不等式 5．一次函数与二次函数模型：成本与利润、面积最大、平均成本最低、含根式的投资收益 6．分段函数模型与综合应用：阶梯计费、行程图象、方案比较、分段利润最大 　考点01　幂函数的概念与解析式 1．下面给出的四个函数中只有一个是幂函数，它是(____)。 A．y＝－1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．已知幂函数f(x)＝的图象经过点，3)，那么f(－5)＝________。 3．已知函数f(x)＝－m－5)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(____)。 A．－2 B．3 C．－2或3 D． 4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，，且f(a)＝－64，则实数a＝________。 5．如图是幂函数y＝f(x)的部分图象，点，4)在图象上，则所有满足f(a)＝的实数a组成的集合为________。 6．已知幂函数f(x)的图象经过点，，则函数g(x)＝f(x)＋f(6－x)的最大值为(____)。 A． B．12 C． D． 7．幂函数f(x)＝满足f(－3)＝9。 (1)求α的值； (2)求f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值； (3)若f(a＋1)＝f(2a－1)，求实数a的值。 　考点02　幂函数的图象与性质 8．幂函数y＝的定义域和值域依次是(____)。 A．(0，＋∞)和(0，＋∞) B．[0，＋∞)和[0，＋∞) C．R和[0，＋∞) D．R和R 9．如图是幂函数y＝的图象，则α的值可能是(____)。 A．2 B．3 C． D．－1 10．幂函数y＝在区间[－4，上的值域为(____)。 A．，3] B．[－4， C．，4] D．[－3， 11．如图，曲线C1，C2，C3，C4是幂函数y＝在第一象限内的图象，α分别取3，1，，－1四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的α依次为(____)。 A．，3，－1，1 B．1，－1，3， C．1，3，－1， D．－1，3，，1 12．如图，在同一坐标系中画出了幂函数y＝（α＝2）与y＝（α＝）的图象，结合图象可得，不等式＞的解集为________。 13．关于幂函数y＝，下列说法中正确的是(____)。 A．图象关于y轴对称 B．定义域为R C．值域为{y|y≠0} D．在定义域上单调递减 14．如图，幂函数y＝（α＝2）与y＝（α＝－1）的图象在第一象限交于点A。 (1)求点A的坐标； (2)结合图象，求不等式＞的解集； (3)求函数h(x)＝－在区间，2]上的值域。 　考点03　利用单调性比较大小与解不等式 15．利用幂函数的单调性比较大小：________（填“＞”或“＜”）。 16．利用幂函数的单调性判断，下列不等式中成立的是(____)。 A．＞ B．＞ C．＞ D．＞ 17．满足＜的全体实数x组成的集合用区间表示为________。 18．对任意实数a，与的大小关系是(____)。 A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 19．如图，点P(－2，－8)在幂函数y＝f(x)的图象上，则满足＋a)＜f(3a＋15)的实数a的取值范围是(____)。 A．(－3，－1)∪(0，5) B．(－5，3) C．(－3，5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 20．若＞，则实数m的取值范围是(____)。 A．，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－1)∪，2) 21．幂函数y＝f(x)在x＝2处的函数值为。 (1)求f(x)的解析式，并写出它的定义域； (2)证明f(x)是偶函数，并写出f(x)的单调区间； (3)解关于m的不等式f(2m－1)＜f(m＋2)。 　考点04　奇偶性与单调性的综合 22．幂函数y＝中，α∈{－1，，1，2，3}。若该函数的定义域为R，且在区间(－∞，0)上单调递减，则α的值为(____)。 A．－1 B．2 C．3 D． 23．函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(－x)＝－f(x)，并且当x＞0时，f(x)＝＋。若f(a)＝－84，则实数a＝________。 24．若函数f(x)＝＋(b－2)是定义在区间[a－5，2a－1]上的奇函数，则a＋b的值为(____)。 A．0 B．4 C．2 D．－2 25．如图是幂函数f(x)＝（m∈Z）的大致图象，则整数m的值为________。 26．已知幂函数f(x)＝（α∈{－1，，1，2，3}）的图象关于原点对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减。设a＝，b＝f(3)，c＝f(－4)，则a，b，c的大小关系是(____)。 A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 27．已知幂函数f(x)＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且f(2)＜f(3)。若f(a－2)＜f(2a＋1)，则实数a的取值范围是________。 28．已知函数f(x)＝＋x，若＋f(a－6)＞0，则实数a的取值范围是(____)。 A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(3，＋∞) C．(－3，2) D．R 29．已知函数f(x)＝－。 (1)求f(x)的定义域，并证明f(x)是偶函数； (2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (3)解不等式f(x－1)＜f(2)。 　考点05　一次函数与二次函数模型 30．某工作室制作一种文创书签，每月固定支出20000元，每制作一枚还需材料费30元，每枚售价50元。若制作的书签全部售出，要使当月不亏本，至少要制作并售出的枚数为(____)。 A．400 B．1000 C．667 D．250 31．用总长为44 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边靠一堵足够长的墙（靠墙的一边不用篱笆），则菜园面积的最大值为________平方米。 32．某商品每件进价为25元，每件售价为x元（25≤x≤65）时，每天可以卖出(260－4x)件。若要使每天的销售利润不低于1200元，则售价x的取值范围是(____)。 A．[35，55] B．[25，55] C．[35，65] D．(35，55) 33．某工厂一条生产线的月产量为x吨（150≤x≤300），月生产总成本y（单位：万元）与x近似满足y＝－12x＋3125。当每吨的平均成本最低时，月产量应为________吨。 34．如图，某隧道的截面上部是抛物线形拱顶，拱脚A，B在地面上，地面宽AB＝8 m，拱顶最高点P到地面的距离为6 m。一辆宽为4 m的货车从隧道正中间通过（车身关于隧道的对称轴对称），为保证车厢顶部不碰到拱顶，货车的高度（车厢顶部视为水平）应小于(____)m。 A．1.5 B．3 C．4.5 D．5.625 35．某人准备将12万元资金全部投入A，B两个项目。根据经验，投入A项目x万元可获利润万元，投入B项目x万元可获利润万元。这12万元资金合理分配后，能获得的最大总利润为(____)万元。 A．2 B． C．＋ D． 36．某工厂一条生产线的日利润y（单位：千元）与日产量x（单位：百件）之间的关系如图所示（1≤x≤9），图象是抛物线的一部分，它与x轴的一个交点为B(2，0)，最高点为C(5，9)。 (1)求y关于x的函数解析式； (2)要使日利润不低于5千元，日产量应控制在什么范围内？ (3)日产量为多少时，每百件产品的平均利润最大？最大为多少千元？ 　考点06　分段函数模型与综合应用 37．某市居民管道天然气实行年度阶梯价格：每户每年用气量不超过300 m³的部分，每立方米2.5元；超过300 m³但不超过500 m³的部分，每立方米3元；超过500 m³的部分，每立方米3.8元。某户全年用气560 m³，则该户全年应缴燃气费________元。 38．为鼓励节约用电，某城市对居民生活用电按月分三档计费：第一档为每月180千瓦时及以内，每千瓦时0.55元；第二档为超过180千瓦时至350千瓦时的部分，每千瓦时0.6元；第三档为超过350千瓦时的部分，每千瓦时0.85元。小王家某月缴纳电费150元，那么他家这个月的用电量为(____)千瓦时。 A．250 B．240 C．265 D．85 39．小林骑自行车从家出发去图书馆，在馆内停留一段时间后按原路返回。如图是他离家的距离y（单位：km）与出发后的时间x（单位：h）之间的函数图象，它是一条折线O—A—B—C，其中A(1，15)，B(1.5，15)，C(3.5，0)。小林返回时的平均速度为(____)km/h。 A．6 B．10 C． D．7.5 40．甲、乙两家文印店复印同一种资料。甲店每张收费0.3元；乙店复印不超过20张时每张收费0.4元，超过20张的部分每张收费0.2元。当复印张数超过________张时，选择乙店更省钱。 41．一个水池装有一根进水管和一根出水管，每根水管每小时的进水量或出水量都保持不变。某天从0时起先只打开进水管，3 h时水量由20 m³增加到110 m³；接着同时打开两根水管，到5 h时水量增加到130 m³；随后关闭进水管，只打开出水管。则从0时起经过(____)h，水池里的水恰好放完。 A．6.5 B．8.25 C．18 D．11.5 42．某厂家向经销商批发一种产品，每件成本30元。经销商一次订购不超过100件时，单价为60元；超过100件时，每多订购1件，订购的全部产品单价就降低0.2元，但单价最低降到40元为止，且一次订购量不超过250件。则厂家一次交易能获得的最大利润为(____)元。 A．2500 B．3125 C．3000 D．8000 43．某城市网约车的计费规则：行程在2 km以内（含2 km）按起步价9元收取；行程超过2 km但不超过12 km的部分，按每千米2.4元计费；超过12 km的部分，按每千米3.2元计费（按实际里程计算）。 (1)设行驶里程为x km（x＞0），车费为y元，写出y关于x的函数解析式； (2)某乘客下车时付车费49元，求他乘车的里程； (3)某乘客要去20 km外的地方，若他在行驶到第12 km时下车，立即换乘另一辆出租车走完余下的路程，求他的总车费，并求与不换车相比节省了多少元。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $