专题03 解三角形及其应用（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03解三角形的实际应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得， 因为，所以， 整理得，即， 因为，所以. 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（26-27高三上·北京·开学考试）如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. (1)若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； (2)已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 【答案】(1)；(2)不能全程安全飞行 【解析】（1）∵ 在中，，， ∴ ，即， ∴为等腰三角形，. ∵ 在航线上，故三点共线，， 又，∴ . 在中，. 由正弦定理得， 代入数值：，，， ∴ . ∵ 无人机速度为，飞行时间为，故， ∴ ，解得. （2）由题意，安全飞行的条件为对任意恒成立，即恒成立. 由余弦定理得， ∴ 不等式化为，即. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 的最小值为， 即存在时，，不满足的安全条件， ∴ 无人机不能在避险航线上全程安全飞行. 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典例1（角度）】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】由及正弦定理得， 整理得， 因为，，所以，即， 所以， 所以 由是锐角三角形得，解得，则， 令， 则， 令解得正根为， 所以在上恒成立，所以在上单调递减， 又， 所以，即. 【典例2（边长或周长）】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 【典例3（面积）】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】因为，且， 即， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，即 所以面积， 所以面积的最大值为. 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 【答案】 2 【解析】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以, 根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 【典例2】（26-27高三上·北京东城·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即，解得. 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 【答案】2 【解析】因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即，所以， 故答案为： 【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 【答案】9 【解析】由()，得， 所以， 即，即． 由余弦定理，得，所以． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：新高考解三角形板块唯一核心母题，涵盖基础计算、性质判定、最值范围、实际建模全考法，既可作为选填中档题单独考查，也常作为解答题基础大题综合命题，是三角函数板块的核心应用题型． 核心考法：①利用正、余弦定理完成边角互化，求解三角形未知边长与角度；②处理两边一对角题型，精准判定一解、两解、无解情况；③结合面积公式、三角恒等变换求解三角形面积、判定三角形形状；④结合基本不等式、三角函数值域求解边长、周长、面积的最值与取值范围；⑤依托仰角俯角、方位角、多三角形嵌套模型，完成实际测量与优化问题求解． 解题要点：解题优先根据题干条件匹配正、余弦定理，遵循“结构选定理、混合统一边角”原则，齐次式优先角化边、平方结构优先边化角；求解角度后依托大边对大角、三角形内角和与三边关系筛除伪解；最值与范围问题兼顾三角形成立条件与不等式取等条件；实际应用题型先画图建模、找准公共边角过渡，分步求解后还原实际情境，严谨取舍有效答案． 【典例1】（2026·北京·高考真题）曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 【典例2】（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6；(2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则，解得， 由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足： ，即. 【典例3】（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为中，，，， 所以，因为 ， 所以满足条件的三角形的个数为． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】法一：如图，，，要使三角形存在且唯一，则. 法二：由正弦定理，得到， 又，则， 因为三角形存在且唯一，所以当时，角存在且唯一． 所以， 又，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（25-26高三上·北京通州·阶段检测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以.故选：A 【典例2】（25-26高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以.故选：A 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试）在中， 分别是角 的对边，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 【典例2】（25-26高三上·北京丰台·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由，可得，解得， 因为，所以， 又. 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形.故选：C. 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知中，假如，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以， 所以． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，． (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由正弦定理边角互化，， 因在三角形中，，则，结合， 可得； （2）因，，则. 由（1），则，则. 由余弦定理：， 则，从而. 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中， ，，则 ________ ． 【答案】 【解析】由正弦定理，，结合 ，， 则. 【典例2】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 由正弦定理得，又因为， 所以得， 化简得，即得， 所以，且，则. 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 由余弦定理得，即，解得（负值舍去）． 【典例2】（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】在中，三边，，，根据大边对大角. 最长边所对的角为最大内角. 由余弦定理：. 代入得：. 技法点拨03 解三角形的实际应用 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标注所有已知长度、角度，区分仰角/俯角（水平线与视线夹角）、方位角（从正北顺时针转到目标方向）； 2、模型转化：把实际问题翻译成三角形边角条件，注意区分内角，避免角度加减出错； 3、定理选择： 有角的等量关系、对角型条件 → 正弦定理； 已知两边夹角、三边，求角 → 余弦定理； 4、双三角优先找公共边：公共边是两个三角形之间的等量纽带，建立方程； 5、结果检验：边长 > 0，三角形内角∈(0,π)，最终作答还原实际问题． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，，，则. 因为，， 所以由正弦定理得， 所以的面积为； （2）在中，，， 则，， 因此，. 在中，由余弦定理 ， 因此. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 【答案】(1)30海里/小时；(2) 【解析】（1）由题意可得，连接， 由题可得，， 所以，且， 所以， 所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 所以乙船的航行速度海里/小时. （2）如图以为坐标原点，以及过与平行所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图， 设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时， 由（1）可得，则， 又因为，所以， 所以，， 所以， 令为二次函数，且开口向上， 则在对称轴取到最小值，此时， 所以甲乙两船之间的距离最小时在30分钟内， 此时甲船距：海里. 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍），． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得.故选：A. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦定理， 结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 2．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 3．（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理，得. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 可得：，为钝角，所以， 由正弦定理可得：，所以， 又为钝角，所以，故选：B 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得，，即， 所以.故选：A. 6．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）在中，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，，所以，所以，所以， 所以，即， 由有，由余弦定理有，即，又， 所以，所以，， 所以“”是“”的充分必要条件，故选：C. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形.故选：C 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则， 由余弦定理可得， 所以，解得．故选：B． 二、填空题 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）在中，若，则角等于_____. 【答案】 【解析】因为， 由正弦定理得， 则，所以， 所以， 又，所以. 10．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 【答案】 【解析】由正弦定理得， 设的面积为，周长为，内切圆的半径为， 所以，则， 则，即， 由余弦定理得， 联立，解得， 所以的周长为. 11．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）在中，，，，则______，的面积为______． 【答案】或 / 【解析】在中，，，， 由正弦定理得出，所以， 则或， 所以的面积为． 12．（25-26高三上·北京丰台·期中）在中，，，，则的面积为____________ 【答案】 【解析】由余弦定理得：， ，. 13．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 14．（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【答案】 【解析】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______． 【答案】 【解析】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又  ． 16．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，，给出下列三个结论： ①； ②若，则； ③四边形的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】对于①，在中，由正弦定理知， 因为，，可得， 所以，所以①正确； 对于②，若，且， 在中，可得， 所以, 又因为，可得，所以，所以②正确； 对于③，连接，可得 ，即 在中，， 在中，， 可得，整理得，即， 则 ， 可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为，所以③正确. 三、解答题 17．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）在中，， (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选②，不存在；选①，高为；选③，高为. 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，由，得， 由正弦定理得，所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选②，， 因为，又， 所以，此时不存在， 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得， 此时三角形是存在的， 且边上的高满足：，即. 18．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）已知的面积为，． (1)求边上的高； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择条件①，AC边上中线长为 【解析】（1）因为，所以. （2）选择条件①，，化简得， 所以，所以，， 由面积公式得，则， 此时由余弦定理得，则， 且，所以此时有唯一的三角形，且为直角三角形， 所以边上中线的长为； 选择条件②，若，则由面积公式得，解得，所以或， 若，则，， 因为，，所以， 所以，满足三角形的要求； 若，则，， 所以，满足三角形的要求，所以选择条件②时，三角形不是唯一的，不符合题意； 选择条件③，若．则， 由面积公式得，所以， 当时，由余弦定理得，满足三角形的要求； 当时，由余弦定理得，满足三角形的要求； 所以选择条件③时，三角形不是唯一的，不符合题意. $专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03解三角形的实际应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（26-27高三上·北京·开学考试）如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. (1)若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； (2)已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 【答案】(1)；(2)不能全程安全飞行 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典例1（角度）】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 【典例2（边长或周长）】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【典例3（面积）】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 【典例2】（26-27高三上·北京东城·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：新高考解三角形板块唯一核心母题，涵盖基础计算、性质判定、最值范围、实际建模全考法，既可作为选填中档题单独考查，也常作为解答题基础大题综合命题，是三角函数板块的核心应用题型． 核心考法：①利用正、余弦定理完成边角互化，求解三角形未知边长与角度；②处理两边一对角题型，精准判定一解、两解、无解情况；③结合面积公式、三角恒等变换求解三角形面积、判定三角形形状；④结合基本不等式、三角函数值域求解边长、周长、面积的最值与取值范围；⑤依托仰角俯角、方位角、多三角形嵌套模型，完成实际测量与优化问题求解． 解题要点：解题优先根据题干条件匹配正、余弦定理，遵循“结构选定理、混合统一边角”原则，齐次式优先角化边、平方结构优先边化角；求解角度后依托大边对大角、三角形内角和与三边关系筛除伪解；最值与范围问题兼顾三角形成立条件与不等式取等条件；实际应用题型先画图建模、找准公共边角过渡，分步求解后还原实际情境，严谨取舍有效答案． 【典例1】（2026·北京·高考真题）曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【典例3】（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（25-26高三上·北京通州·阶段检测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试）在中， 分别是角 的对边，，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 【典例2】（25-26高三上·北京丰台·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知中，假如，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，． (1)求； (2)若，求的面积. 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中， ，，则 ________ ． 【典例2】（26-27高三上·北京·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【典例2】（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为_____. 技法点拨03 解三角形的实际应用 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标注所有已知长度、角度，区分仰角/俯角（水平线与视线夹角）、方位角（从正北顺时针转到目标方向）； 2、模型转化：把实际问题翻译成三角形边角条件，注意区分内角，避免角度加减出错； 3、定理选择： 有角的等量关系、对角型条件 → 正弦定理； 已知两边夹角、三边，求角 → 余弦定理； 4、双三角优先找公共边：公共边是两个三角形之间的等量纽带，建立方程； 5、结果检验：边长 > 0，三角形内角∈(0,π)，最终作答还原实际问题． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分） (1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）； (2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？ 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）在中，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高三上·北京·阶段检测）在中，若，则角等于_____. 10．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 11．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）在中，，，，则______，的面积为______． 12．（25-26高三上·北京丰台·期中）在中，，，，则的面积为____________ 13．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 14．（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______． 16．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，，给出下列三个结论： ①； ②若，则； ③四边形的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题 17．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）在中，， (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）已知的面积为，． (1)求边上的高； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． $