专题02 三角函数的图象与性质综合（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（24-25高三下·北京·阶段检测）已知函数，则下列正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数的图像关于原点对称，且，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（2026·北京·三模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【典例2】（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 【典例1】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质综合 考情定位：中档核心题型，常结合三角恒等变换综合命题，是三角函数板块的重点考查内容．侧重解析式求解、图象变换辨析与函数性质分析，弱化复杂计算，侧重数形结合与整体代换思维，偶尔结合零点、参数范围综合考查． 核心考法：①根据函数图象特征求解Asin(ωx＋φ)+k解析式；②辨析三角函数平移、伸缩图象变换规律；③求解三角函数周期、单调区间、最值与值域；④判断函数对称轴、对称中心等对称性；⑤结合图象分析三角方程零点与参数范围． 解题要点：求解析式优先通过最值定振幅、周期定ω，优先用五点法或最值点求初相规避错解；图象变换牢记只针对自变量x变形，区分先平移后伸缩、先伸缩后平移的差异；求解性质统一换元整体代换，ω为负时反转单调区间；对称性紧扣最值点、零点特征，结合图象辅助分析，严控自变量取值范围． 【典例1】（2026·北京·高考真题）设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【典例3】（2026·北京·高考真题）设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（25-26高三上·北京房山·阶段检测）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·北京房山·开学考试）将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是__________. 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【典例2】（24-25高一下·北京·期中）函数的值域是_____． 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，写出一个符合题意的的值为______． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是___． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的最大值与最小值之差为_______. 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山西忻州·模拟预测）函数，（，）的部分图像如图所示，则（    ） A．1 B．-1 C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数．若，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 10．（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 二、填空题 11．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）函数的部分图象如图，，则_____. 12．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 13．（2026·北京·模拟预测）设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 14．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 15．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 16．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数的最小值为，则______；的最大值是______． 三、解答题 17．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 18．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. (1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. (2)根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. $专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（24-25高三下·北京·阶段检测）已知函数，则下列正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】B 【解析】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错.故选：B. 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数的图像关于原点对称，且，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图像关于原点对称， 可得，即，则可得， 因为，所以，所以， 又因为，可得，所以，所以， 将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 所以所得图像对应的函数为. 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为.故选：D. 【典例2】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数， 则的取值区间需包含的极值点，即，解得， 故的取值范围为. 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（2026·北京·三模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【解析】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 【典例2】（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【解析】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由，可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即， ，的最小值为．故选：B． 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，此时函数在上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 因为函数在上恰有两个零点，则，解得； 当时，由可得， 因为函数在上恰有两个零点，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 【典例1】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为.故选：A. 【典例2】（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 则，整理得， 即，解得. 因为，，所以. 而方程的解为或，， 若存在满足条件，则需中包含至少一个解， 又最小的正解为，则需使，所以. 若，，此时，，满足，所以的最小值为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质综合 考情定位：中档核心题型，常结合三角恒等变换综合命题，是三角函数板块的重点考查内容．侧重解析式求解、图象变换辨析与函数性质分析，弱化复杂计算，侧重数形结合与整体代换思维，偶尔结合零点、参数范围综合考查． 核心考法：①根据函数图象特征求解Asin(ωx＋φ)+k解析式；②辨析三角函数平移、伸缩图象变换规律；③求解三角函数周期、单调区间、最值与值域；④判断函数对称轴、对称中心等对称性；⑤结合图象分析三角方程零点与参数范围． 解题要点：求解析式优先通过最值定振幅、周期定ω，优先用五点法或最值点求初相规避错解；图象变换牢记只针对自变量x变形，区分先平移后伸缩、先伸缩后平移的差异；求解性质统一换元整体代换，ω为负时反转单调区间；对称性紧扣最值点、零点特征，结合图象辅助分析，严控自变量取值范围． 【典例1】（2026·北京·高考真题）设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图象关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4.故选：C. 【典例3】（2026·北京·高考真题）设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）． 因为的最小正周期为，所以．故． 所以． 由题设，得．故． 因为且，所以． （2）由（1）知． 函数的单调递减区间为． 由，得． 所以的单调递减区间为． 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项：∵， ∴周期为，当时，，此时单调递减，A选项错误； B选项：周期为，在区间上单调递增， 则在上单调递增，B选项正确； C选项，周期， 当时，，函数不单调，C选项错误； D选项，∵，，函数周期为，D选项错误.故选：B. 【典例2】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， ， ， 所以，. （2）由得，， 所以的单调递减区间为. 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是.故选：C 【典例2】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意得的定义域是，是偶函数，则，可得， 即是偶函数能推出，必要性成立； 举反例，取，则，此时， 但是是奇函数，所以推不出是偶函数，充分性不成立； 所以“”是“为偶函数”的必要不充分条件. 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（25-26高三上·北京房山·阶段检测）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令解得，故对称中心为， 经检验只有，符合题意.故选：C 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象知，，所以， 则或， 又，所以， ，，，， 又，，已知，所以，所以，故选：D． 【典例2】（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由图象可知，解得，因为，所以，解得， 将代入解析式化简得，因为，则，得， 故，所以.故选：A 重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到 函数图象的解析式为， 再将所得函数图象向右平移个单位得到函数图象的解析式为， 即． 【典例2】（26-27高三上·北京房山·开学考试）将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移个单位， 得到的图象， 因为点为在轴右侧的首个对称中心， 则，可得，即， 对于A，将的图象向左平移个单位， 得到的图象，符合题意，所以A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位， 得到的图象，不符合题意，所以B不正确； 对于C，将的图象向左平移个单位， 得到的图象，不符合题意，所以C不正确； 对于D，将的图象向右平移个单位， 得到的图象，不符合题意，所以D不正确. 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，即， 又，故，即定义域为.故选：C. 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【解析】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为.故选：C. 【典例2】（24-25高一下·北京·期中）函数的值域是_____． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】6（答案不唯一） 【解析】由题意得，， 且有，即， 所以ω的取值可以是6． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称， 所以，则， 又，所以的最小值是2.故选：B. 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误；故选：D. 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1)；(2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【解析】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以，解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以，解得, 因为，所以时，；时， 因为（时）时2分,（时）时10分. （时）时26分，（时）时34分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 【答案】 【解析】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的最大值与最小值之差为_______. 【答案】4 【解析】. 因为，则，所以 所以最大值与最小值之差为4. 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 要求函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间， 因为， 所以， 所以函数的单调递减区间是， 即函数的单调递增区间是. 【典例2】（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【解析】， 由到，需要向右平移个单位，故选：A． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得.故选：C. 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图知，函数的最小正周期，所以，则， 由图可知，点附近函数单调递增， 代入，可得，则， 又，则，所以. 【典例2】（2026·山西忻州·模拟预测）函数，（，）的部分图像如图所示，则（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图像过点，得，即. 又，故或. 由图象可知，函数在右侧附近单调递增，当时，增大，增大， 减小，函数单调递减，与图象矛盾； 当时，增大，增大，增大， 函数单调递增，与图象相符，故. 由图象过点，且该点为轴右侧第一个零点， ，，相位从增加到， 所以，解得，即. 因此，. 代入，得. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则函数的最小正周期为.故选：C 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数．若，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，周期， 由题意，，可知为函数最小值，为函数最大值， 正弦型函数相邻的最大值点与最小值点的水平距离最小值为半周期，即， 故的最小值为，故B正确. 3．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知， 与 分别为相邻的最小值点、最大值点， 所以 ，故，所以． 又由图知 ，于是 ，其中 为整数． 结合 ，得 ，故 ． 因此． 4．（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：因为，为奇函数，且，故A满足条件； 对B：因为为偶函数，故B不满足条件； 对C：因为的最小正周期为，故C不满足条件； 对D：函数不是周期函数，故D不满足条件. 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题意，令， 则由图可知，. 所以，解得. 又，结合图象可知，则， 又，解得.故选：C. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知是该函数的周期的整数倍，即，解得， 故的最小值为故选：D. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为 【答案】D 【解析】函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 由，得，所以函数的， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当当时，的一条对称轴为，故D正确.故选：D. 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为.故选：C 9．（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以的周期为，A正确； 对于B，因为，，所以的图象不关于对称，B错误； 对于C，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值，此时（负值舍去）， ，所以的最大值为，C正确； 对于D，由C可知，时，， 此时，所以函数在上单调递增，D正确. 10．（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【解析】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为. 二、填空题 11．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【解析】结合题意， ，，所以， 过点，，即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以，解得 . 12．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 【答案】 2 （答案不唯一，满足即可） 【解析】设函数的最小正周期为， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为. 13．（2026·北京·模拟预测）设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 【答案】4(答案不唯一) 【解析】由恒成立可知，是函数的一个周期， 因为，函数的最小正周期为，因此是的整数倍， 即，可得，即为正偶数； 因为当时，， 又因为在上存在零点，所以，得， 综上，是大于等于的偶数. 14．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 【答案】 2； （答案不唯一） 【解析】由题意，， 由 ，且在上恰好有一个最小值和一个最大值，得，则； 而的最大值为 ，最小值为 ， 由 ，得和中一个是最大值，另一个是最小值， 所以，， 当时，（答案不唯一）. 15．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【解析】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 16．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数的最小值为，则______；的最大值是______． 【答案】； 【解析】当时，， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 因此最小值为，即； 对任意，，故，区间长度为， 是在区间上的最小值， 因为是以周期为的函数，所以不妨考虑时函数的最小值， 当时，在区间端点处取得最小值， 此时最小值为； 当时，因为在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性：在处取得最小值， 此时， 当时，因为在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得最小值，则， 当时，因为在上单调递增，在单调递减，结合对称性可知： 在处取得最小值，此时， 故的最大值为. 三、解答题 17．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 18．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. (1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. (2)根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. 【答案】(1)选①或③都可得，不能选②；(2) 【解析】（1）因为在区间上单调，所以， 因为，且，解得； 又因为是函数的对称轴，所以； 选条件①：因为函数的图象经过点，所以， 因为，所以， 所以，，即， 当时，，满足题意，故. 选条件②：因为是的对称中心，所以， 所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意的函数解析式. 选条件③：因为是的对称中心，所以， 所以，，解得，所以. （2）由（1）知， 由，得， 要使函数在上有唯一零点， 则，， 所以的取值范围是. $