专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 4大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）函数（且）的图像可能是（　　） A.      B.      C.      D.      2．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）下列关系中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 （     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 函数且的图象过定点 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 6．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）设，则（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数． （1）若，求的值； （2）若，求关于的不等式的解集． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）计算：　　　　　　　　　　. 考点04 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D. 若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 6．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨. （1）要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润； （2）要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润. 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 8．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数满足． （1）求的解析式； （2）已知函数，若，，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的方程恰有3个不同的实数解，求实数的取值范围． 9．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05指数函数与对数函数 考点01指数 考点02指数函数 考点03对数 考点04函数的应用（二） D考点01指数 1.A 2.【答案】π 【分析】 利用指数的运算法则计算即可. 【详解】 品，2妇 SI. 4 故答案为：π 3.【答案】 6130230.5 2021 【分析】 根据指数幂的运算律化简计算求解. 【详解】 -1+2f-3=5-1+32-3-61. 故答案为： 61 2 4【容案】)：2a63》d+a=527 【分析】 (1)根据指数运算直接化简即可； 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)根据分数指数幂和根式的关系化简可得： (3)已知条件平方求出a+a,然后再次平方可得. 【详解】 （1ω是-x5y5 ▣ （3》因为。+a=5所以Qa=25即a+a=23 1 因为a+a2=a+a1-2所以a2+a2=527 考点02指数函数 1.C 2.D 3.A 4.C 5.AC 6.B 7.D 8.【答案】(1)x=2 (2)-0,-1U1,3U3,+0 【分析】 (1)利用换元法解方程，从而求得X的值. (2)根据函数的单调性化简不等式fx-3x>fx-3:从而求得不等式的解集 (1)小问详解： 根据慰意，fx-f3-x=2-22=2-8=2, 2 8 t=2,t>0,则8=2， 即t-2t-8=0,解得t=4,或t=-2(舍去)， 所以t=2=4,则x=2. 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)小问详解： 因为fx=aa>1在R上单调递增， 所以不等式fx-3x>fx-3阿以化为x2-3x>x-3到： 所以xx-3>x-3,所以x-3x-1>0' 所以x>1且x≠3， 所以原不等式的解集为-∞，-1U1,3U3,+∞ D考点03对数 1.A 2.【答案】1 【分析】 根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果， 【详解】 131 原式=1十 5-log232-log子23g2-1 2 1 =1+ 2 -1bg,3×21og:2×3=1+-×2=1 3 3 933 2 故答案为：1. D考点04函数的应用 (二) 1.B 2.AC 3.ACD 4.C 5.ACD 6.【答案】(1)年产量200吨时，年利润为3840万元 (2)年产量40吨时，药品平均利润最 大，年利润为1280万元 【分析】 319 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)设年利润为fx(万元)，则fx=60x-Cx-160,再由二次函数的性质计算可得： (2)由药品平均利润为 f(x 利用基本不等式求出平均利润取最大值时x的值，再代入(1)中解析式计 算可得 (1)小问详解： 设年利润为fx(万元)， 测fX=60x-C1X-160=-六x+40x-160 x-2002+3840 10 所以当x=200时，fx取最大值3840， 即年产量200吨时，年利润为3840万元 (2)小问详解： 药品平均利润为 x=-1 X10 +40-160 160 =40 ≤40-23石' 当且议当 +s160 即x=40时取等号， 此时f40=32×40=1280. 即年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元 2 50 7.【答案】(1)y= 、 1350-2, 2 0<x<18 (2)当x=15时，臭氧发生孔对左脚和右脚 的干扰度之和的最小，为 【分析】 2 1350-X,把x=10,y=0.06代入，可求k的值 k (1)由题意y= (2)利用基本不等式“1的妙用，可求y的最小值及对应的x的值 (1)小问详解： 2 由题意y= +k 21350-X2,0<x<18, 4/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k 因为x=10时，y=0.06,所以00+1350-100 、=0.06→k=50, 所以ys2 50 1350-X,0<x<18. (2)小问详解： 因为0<x<18,所以1350-x2>0, 所以y-2tn01×+1350-X 2 50 1350-X1350 x2 1350-x7 2602130052+2v叶02+20清 1350 1350-x21350 当且仅当21350-X_-50X,即x=15时取“=”， 1350-x 所以当x15时，臭氧发生孔脚和石脚的干扰度之和最小，为 8.【答案】1)fx=x+ 21, (3) 【分析】 (1)通过解方程的方法求得fx的解析式. (2》求得fx在区间-2，上的最大位，由此得到g1x≤-2在区间0,1止恒成立，再利用换元法以 及一元二次不等式在区间上恒成立列不等式，从而求得的取值范围. (3)化简方程f2-1=3t+3- 2t,利用换元法，结合一元二次方程根的分布以及图象列不等式， 2*-1 由此求得t的取值范围. 1)小问详解： 因对-2f民=是 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以2替换x得f -2fx=-3, -r-r2卧 司2片 (2)小问详解： 2f=xx-2如 当且仅当=-X,即X=-1时等号成立， 所以x)ma=-2' e0,e2. 使得gxfx 即对任意的x∈0,1,9x≤-2恒成立， a-2-2 wxelo..cp,引 则4*+4=2-2+2=2+2 2o加学-作e号a 4 aut0. 619 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-19≤0， 所以 323 2 +a2、19 s0, 解得-1sas9.,的取位花周是1,9 3)小问详解： 方程f2-1=3t+32-1 2,可化为2-1口-3+3t2-1+1+2=0 且2-1≠0，令2*-1=m 则方程可化为m2-3+3tlm+1+2t=0:且m≠0' 画出m=2-1的图象如图所示， m不 m=2-1 fk-1小=3+3-20有34阳实效 等价于nm2-3+3tlm+1+2t=0有两个不同的实数根m1,m2 其中0<m1<1<m2,或0<m1<1,m2=1. 记hm=m2-3+3tm+1+2t 则h0=1+2t>0,解得>- h(1=-1-t<0, h0=1+2t>0, 或h1=-1-t=0,无解. 0<3+3t<1, 2 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，实数，的取值范围是 1 2,+0 9.【答案】(1)|-1，+o (2)1,+oo3 1.引o 【分析】 (1)利用换元法，借助二次函数求出值域 (2)根据给定条件，转化为求出函数f(x),9gx)在指定区间上的最小值即可. (3)求出函数fx)的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. (1)小问详解： 1-7.则x,于是n---1-1 2 2 而函数ht=之t-1-1在[0,1)上单调递减，在(1，+o0)上单调递增，hlcn=h1=-1,hx的值域为 -1,+ol (2)小问详解： 当xe[-2,3]时，fxnm=f0)=a当xe[4,+∞)时，设=e3,+口 h加之-i-方-1-1邮3，+w上速喻，则gxm=h3=1 因对yx,∈-2,3X,∈4，+∞使得f(x≥g(x2)成立，可得a≥1 故实数a的取值范围是1，+o∞】 3)小问详解： 函数f(x)在(-∞，0]上递减，在[0，+∞)上递增， 设[m,n]是一个优美区间，则m≥0或n≤0， 当m≥0时，有fmm,则方程fx=X即X-X+a=0有两个不等的非负根。 f(n)=n 设方程两根分别为×，，由A=1-40>0,得a<号 又由x+X,=1,得a≥0：因此0≤a<: X1X2=a ”4 819 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当n≤0时， 有f(m)=n, f(n)=m 则m+a=n,两式相减得(m+n(m-n)=n-m:因m≠n:则m+n=-1 n2+a=m 于是m+a=-1-m,则方程X+a=-1-X即X+x+a+1=0有两个不等的非正根x,x n2+a=-1-n 由4=1-4a+1>0解得a<-3又X+10,可得a≥-1因此-1≤a<- X3X4=a+1≥0 4 综上可得：实数的取值范围是 【点睛】 方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. ()对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解 (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. 3)对于函数“优美区间”这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一 元二次方程知识求解. 9/9 专题05 指数函数与对数函数 4大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据求，再求得即可得答案. 【详解】 解：因为， 由，得，即，由，得， 所以． 故选：A． 2．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用指数的运算法则计算即可. 【详解】 由 . 故答案为： 3．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 【答案】30.5 【分析】 根据指数幂的运算律化简计算求解. 【详解】 原式． 故答案为： 4．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数运算直接化简即可； （2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得； （3）已知条件平方求出，然后再次平方可得. 【详解】 （1）（或）. （2）. （3）因为，所以，即. 因为，所以 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）函数（且）的图像可能是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】 当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 2．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）下列关系中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【详解】 幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数单调性判断即可. 【详解】 由， 又因为在上单调递增， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以． 故选：A． 4．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数的单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】 因为函数 在上单调递增， 则函数在上为增函数，所以，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：C. 5．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 函数且的图象过定点 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AC 【分析】 根据指数函数的定点可判断A；根据函数三要素及同一函数的条件可判断；根据指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；根据复合函数的定义域可判断. 【详解】 对于A：令，可得，， 所以函数且的图象过定点，故A正确； 对于： ，解得，所以的定义域为， ，解得或，所以的定义域为， 与不是同一个函数，故错误； 对于C：函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知的单调递增区间是，故C正确； 对于：因为函数的定义域为， 所以，所以的定义域为，故错误． 故选：AC. 6．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由函数的图象不经过第二象限得 ，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】 由于函数的图象不经过第二象限， 所以， ， 反之，在且时， 或 ， 所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件． 故选：B． 7．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）设，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案. 【详解】 ， 又，由指数函数在上单调递减， 幂函数在上单调递增， 可得， 所以．故选D． 8．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数． （1）若，求的值； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法解方程，从而求得的值. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得不等式的解集. (1) 小问详解： 根据题意，， 令，则， 即，解得，或（舍去）， 所以，则. (2) 小问详解： 因为在上单调递增， 所以不等式可以化为， 所以，所以， 所以且， 所以原不等式的解集为. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值. 【详解】 设经过天“进步者”是“退步者”的倍， 即， 即， 化简可得， 故选：A. 2．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）计算：　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果. 【详解】 原式 ， 故答案为：. 考点04 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 【答案】B 【分析】 把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 【答案】AC 【分析】 根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D. 【详解】 对于A，由，得，所以A正确. 对于B，若，则，解得，所以B错误. 对于C，若，则 ，解得，所以C正确. 对于D，因为，，所以. 由，得或. 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】 对于选项A：函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B：因为，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C：因为，，且函数在上连续，故可以用二分法求函数在上零点的近似值，C正确； 对于选项D：当时，令，解得， 当时，令，解得， 且根据一次函数性质知函数值在零点两侧异号，故能用二分法求零点的近似值，D正确； 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】 设， 则由题意可知 ，即 ，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 5．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D. 若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围． 【详解】 对于A，因为，所以， 当时，，则， 所以，故A正确； 对于B，由A知，，因此当时，， 故由，则，故， 其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误； 对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标， 由题可作出的图象如图所示， 若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标， ，，，故C正确； 对于D，同C分析，若在上有4个实数根， 则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 6．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨. （1）要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润； （2）要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润. 【答案】（1）年产量200吨时，年利润为3840万元     （2）年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元      【分析】 （1）设年利润为（万元），则，再由二次函数的性质计算可得； （2）由药品平均利润为，利用基本不等式求出平均利润取最大值时的值，再代入（1）中解析式计算可得. (1) 小问详解： 设年利润为（万元）， 则 ，        所以当时，取最大值， 即年产量吨时，年利润为万元 (2) 小问详解： 药品平均利润为        ， 当且仅当，即时取等号， 此时， 即年产量吨时，药品平均利润最大，年利润为万元 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1），     （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.      【分析】 （1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. (1) 小问详解： 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 8．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数满足． （1）求的解析式； （2）已知函数，若，，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的方程恰有3个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）通过解方程的方法求得的解析式. （2）求得在区间上的最大值，由此得到在区间上恒成立，再利用换元法以及一元二次不等式在区间上恒成立列不等式，从而求得的取值范围. （3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布以及图象列不等式，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 因为， 以替换得， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以， ，使得， 即对任意的恒成立， 令，则， 则， 所以对任意的恒成立， 即， 所以 解得，即的取值范围是. (3) 小问详解： 方程可化为， 且令， 则方程可化为，且， 画出的图象如图所示，    方程恰有3个不同的实数解， 等价于有两个不同的实数根， 其中，或. 记， 则 解得； 或 无解. 综上，实数的取值范围是. 9．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. (1) 小问详解： 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. (2) 小问详解： 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. (3) 小问详解： 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有 ，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由 ，得，因此； 当时，有 ，则 ，两式相减得，因，则 于是 ，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又 ，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $