专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      2．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）函数是定义在上的奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D. [0，1] 6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（       ） A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若，则称为函数的幸福点.设函数 ，则“”是“是的幸福点”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（     ） A. （-2，3） B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知函数 则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 12．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数，则下列说法错误的是（       ）． A. 若，，则的图象经过四个象限 B. 若，则的图象经过三个象限 C. 若，，则的图象能经过第四象限 D. 若，则的图象能经过第一象限 13．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 且 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 为上的单调递减函数，则实数的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）已知是上的单调函数，且，则（       ） A.  B. 是奇函数 C.  D. 不等式的解集是 19．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）（多选）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 函数在上是减函数 D.  21．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”，已知，以下说法正确的是（       ）． A. 为“准奇函数” B. 函数的图象关于点对称 C.  D. 函数的最大值与最小值的和为6 22．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，当时，，则不等式的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知函数满足以下条件：①；②③，则（　　） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数 在上单调，则的取值范围为　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 31．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知，其中为常数，若，则　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数．    （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 （1）求，，； （2）若，求的取值范围． 35．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 36．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知是偶函数． （1）求的值． （2）证明：． （3）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 37．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且. （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）判断并用定义证明函数单调性，求在区间上的值域； 38．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. （1）证明函数图象的对称中心为； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 39．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，当时，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断的单调性，并用单调性的定义证明. 40．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知函数 为定义在上的单调函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）定义 已知函数 （1）求的单调区间． （2）已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 42．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数． （1）若，求在区间上的最小值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 43．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是　　　　　　. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 44．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知是幂函数. （1）用定义法证明：在上是减函数； （2）若，求实数的取值范围. 45．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的值域. 46．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 47．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 48．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）函数的单调递增区间为　　　　　　　　. 49．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 50．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知 ，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是　　　　　　． 51．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. （1）证明：为奇函数. （2）证明：在上是减函数. （3）求不等式的解集. 52．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用定义证明． 53．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： （1）已知，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 54．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 55．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　. 56．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）记 已知函数，若，使得，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）设的最小值为，若正数，满足，求的最小值； （3）若，求实数的取值集合． 58．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为　　　　　　　　　　　，若对于任意，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 59．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据函数值的正负及定义域判断即可. 【详解】 由于，排除AD， 而的定义域为，排除C，故B满足题意. 故选：B 2．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）函数是定义在上的奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 根据函数是奇函数，得到 ，从而可求出，，计算即可. 【详解】 因为为定义在上的奇函数， 所以 ，即 ，则 ，所以 ， 所以. 故选：B 3．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】 因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】 因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或 或 或 ， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 5．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D. [0，1] 【答案】B 【分析】 根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】 由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（       ） A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 【答案】D 【分析】 先求出，然后代入求解，最后利用偶函数性质求解即可. 【详解】 由，解得，则. 所以，因为是定义在上的偶函数，所以. 故选：D 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】 因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若，则称为函数的幸福点.设函数 ，则“”是“是的幸福点”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据幸福点的定义求函数的幸福点为，再根据充分必要条件判断即可. 【详解】 根据函数的幸福点定义， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 所以函数的幸福点为. 所以“”是“是的幸福点”得充分不必要条件. 故选：B 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（     ） A. （-2，3） B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用已知不等式化简结合单调性定义得出在上单调递增，再结合偶函数性质列式，最后解一元二次不等式即可. 【详解】 因为，所以. 由，得对任意不相等的，恒成立， 所以在上单调递增. 因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，即. 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，，解得，所以. 综上所述，所求不等式的解集为. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知函数 则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】 由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则 ，得，B正确； 若在上单调递减，则 ，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 12．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数，则下列说法错误的是（       ）． A. 若，，则的图象经过四个象限 B. 若，则的图象经过三个象限 C. 若，，则的图象能经过第四象限 D. 若，则的图象能经过第一象限 【答案】D 【分析】 根据函数过点，，进而根据函数图象平移变换依次讨论各选项即可得答案. 【详解】 ∵，∴的图象过点， 又， 对于A，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故正确； 对于B，若，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确； 对于C，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确； 对于D，若，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故错误； 故选：D． 13．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】 因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 14．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】 依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 15．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 且 【答案】D 【分析】 根据可得函数在上的单调性，再结合奇偶性、可得函数在的单调性及，最后结合分析出的函数单调性以及、可求解原不等式． 【详解】 由题意得，对于且，不等式恒成立， 可得在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，且， 则在上单调递增且， 解不等式，可得 或 ， 结合单调性解得或， 所以不等式的解集为且． 故选：D． 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 为上的单调递减函数，则实数的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据减函数的定义，结合一次函数、反比例函数的单调性、分段函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】 因为函数 是上的单调递减函数， 所以有 ， 选项BC符合题意， 故选：BC 17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由为奇函数，和，通过赋值法逐个判断即可. 【详解】 因为为奇函数， 所以当时，， 所以， 所以， 又令，由可得， 令，由可得， 综上可知：ABD错误，C正确， 故选：C 18．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）已知是上的单调函数，且，则（       ） A.  B. 是奇函数 C.  D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】 令，则，令，得到关于的方程，得到的值，进而得到，然后根据选项依次判断即可. 【详解】 令，则， 令，则， 根据幂函数的性质可知，函数在上单调递增， 且，则， 所以，即. 对于A，，故A正确； 对于B，，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，函数在上单调递增，且， 由，则，即， 则不等式的解集是，故D正确. 故选：ACD. 19．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】 因为，， 用代替得， 所以，结合， 所以，因为，， 所以， 设， 所以在单调递增，所以 或或 ， 所以或或， 所以. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：二次函数在给定区间上的单调性问题，一般要讨论抛物线开口方向与区间与对称轴的位置关系. 20．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）（多选）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 函数在上是减函数 D.  【答案】ABC 【分析】 采用赋值法可判断AB的真假；证明函数在上的单调性，判断C的真假，研究的值，判断D的真假. 【详解】 对A：令得：，故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 21．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”，已知，以下说法正确的是（       ）． A. 为“准奇函数” B. 函数的图象关于点对称 C.  D. 函数的最大值与最小值的和为6 【答案】ACD 【分析】 令并确定函数为奇函数，利用定义判断A；利用中心对称的意义及性质判断BCD. 【详解】 函数的定义域为，设，则， 对于A，由，得为奇函数，则为“准奇函数”，A正确； 对于B，由为奇函数，得， 则，函数的图象关于点对称，B错误； 对于C，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称， 故，则，又， 因此 ，C正确； 对于D，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称， 故函数的最大值与最小值的和为6，D正确. 故选：ACD 22．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，当时，，则不等式的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据对称性化简不等式，结合函数的单调性以及定义域求得不等式的解集. 【详解】 因为的图象关于点对称，所以， 又，所以， 所以，即． 当时，在上单调递增，且， 由的图象的对称性可知在上单调递增， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 故选：A 23．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知函数满足以下条件：①；②③，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用赋值法、函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 令，则， 令，则， 由条件① 可知的值不恒等于0，所以，A错误； 令，则，所以B正确； 令，则， 即，所以是偶函数． 令，则， 即，所以是奇函数． 令，则C正确； 令，则， 即， 所以， 所以，所以，D正确． 故选：BCD 24．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义可得，再根据偶函数的定义可得，所以，，由函数在区间上的单调性列式求解即可. 【详解】 因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以． 若函数在上单调递增， 则 ，解得 若函数在上单调递减， 则 ，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：． 25．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，根据分段函数单调性，列出不等式组 ，解出即可. 【详解】 设， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增，且在上增， ，解得. 故选：B. 26．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答. 【详解】 依题意，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以当时，函数的值域为. 故答案为： 27．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数 在上单调，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1），     （2）     （3） 【分析】 （1）2，3为方程的两根，由韦达定理求b，c的值； （2）问题等价于在上恒成立，转化为函数在上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. (1) 小问详解： 2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于，， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 所以时，有最小值0， 所以，实数m的取值范围为. (3) 小问详解： ，函数的对称轴为，开口向上， 若，即，则在上单调递减，； 若，则在上单调递增，； 若，即， 则在上先减后增，， 所以， . 31．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知，其中为常数，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】 ， . 故答案为：2. 32．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数．    （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 【答案】（1） ，图象：      （2）单调递增区间为，单调递减区间为，值域为      【分析】 （1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. (1) 小问详解： 因为 ， 所以 ， 所以的图象如下所示： (2) 小问详解： 由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 故答案为： 34．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 （1）求，，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）将自变量代入对应的解析式中求解即可； （2）分别在、和的情况下，构造不等式求得结果. (1) 小问详解： ；； ，. (2) 小问详解： 当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 综上所述：实数的取值范围为. 35．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【分析】 （1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以 ，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 36．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知是偶函数． （1）求的值． （2）证明：． （3）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】（1）     （2） 由（1）知，且， 因为，所以，故．     （3） 在上单调递增.证明如下： 取，，且， 则， 当，，时，，，，， 所以，即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据求解即可； （2）结合函数解析式特征，利用分离常数法求证即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. (1) 小问详解： 因为是偶函数，所以， 则，化简得， 则对恒成立，因为不恒为0， 所以，此时的定义域为，符合题意． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 37．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且. （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）判断并用定义证明函数单调性，求在区间上的值域； 【答案】（1）；     （2） 可令，则，即， 且其定义域为，关于原点对称，则为奇函数.     （3）减函数，证明如下，值域 可令，则，由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数； ， ， 由在上单调递减，可得在区间上的值域为．      【分析】 （1）可令，计算可得所求值； （2）可令，结合奇偶性的定义，即可判断； （3）运用单调性的定义，可令，则，结合条件，即可得到单调性；再令，求得，令，，求得，，结合单调性可得所求函数值域． (1) 小问详解： 可令，则，即. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 38．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. （1）证明函数图象的对称中心为； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为 ， 所以函数图象的对称中心为.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）证明即可； （2）利用函数单调性的定义即可判断函数单调递增，且，则不等式可以转化为，解二次不等式即可； （3）根据函数的单调性可得在上的值域为，问题转化为在上的值域，求出，列不等式组求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取， 则 ， 由于，所以， 所以， 故函数在递增. 因为，且， 所以，即，解得或， 故不等式的解集为. (3) 小问详解： 由已知，的值域为值域的子集， 由（2）知在上递增，且， 故在上的值域为. 于是原问题转化为在上的值域. 的对称轴为, 因为，所以 ， 所以在上单调递增，且. 因为函数的图象关于点对称， 所以在上亦单调递增，而， 所以在上单调递增. 因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，得， 所以. 因为， 所以 ，解得， 故实数的取值范围为. 39．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，当时，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1）     （2）      （3） 判断：单调递增， 证明：任取，可得，得到， 而， 故，故在上单调递增.      【分析】 （1）（2）利用赋值法建立方程求值即可. （3）结合给定的递推关系并利用定义法证明单调性即可. (1) 小问详解： 令，得，解得. (2) 小问详解： 令，，得， 代入，可得，解得. (3) 小问详解： 略 40．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知函数 为定义在上的单调函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 41．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）定义 已知函数 （1）求的单调区间． （2）已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为     （2）（i）（0，1）；（ii）2      【分析】 （1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以 ， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 42．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数． （1）若，求在区间上的最小值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. (1) 小问详解： 当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 43．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是　　　　　　. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】 由题意得： ， 由解析式可得函数图形如下图所示，   对于① ，函数，① 错误； 对于② ：函数的最小值为，② 正确； 对于③ ，函数的图象与直线有无数个交点，③ 正确； 对于④ ，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 44．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知是幂函数. （1）用定义法证明：在上是减函数； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为函数是幂函数， 所以，解得， 所以函数， 任取且， 则 ， 因为且， 所以， 所以即， 所以函数在上是减函数.     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义求出的值，然后利用定义证明即可； （2）根据函数单调性建立不等式组解出即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在上是减函数， 所以，则有： ， 所以实数的取值范围为. 45．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） 设，有， ， ① 当时，有，，，，有， 可得，可得， 故函数在区间上单调递减； ② 当时，有，，，，有， 可得，可得，函数在区间上单调递增. 由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；     （2）     （3）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为.      【分析】 （1）利用函数单调性定义证明； （2）结合函数为偶函数，又在区间上单调递减，在区间上单调递增，作出函数的大致图象，利用数形结合法求解； （3）由函数为偶函数，易得函数在区间上的值域等于在区间上的值域，令，可得或，再分，，讨论求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，可得函数为偶函数， 又由函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得函数的减区间为，，增区间为，， 可得函数的图象的趋势大致如下： 由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点， 只需，解得或， 故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由，有，可得， 又由函数为偶函数，故函数在区间上的值域等于在区间上的值域， 令，可得或， 可得函数的图象与轴的交点分别为，，， 则① 当时，，， 函数在区间上的值域为； ② 当时，，， 函数在区间上的值域为； ③ 当时，，， 函数在区间上的值域为. 46．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. (1) 小问详解： 令，得，解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以 ， 解得或，即的取值范围是． 47．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）∵，∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图像关于点对称；     （2）      【分析】 （1）根据对称中心的定义，证明：对任意的，都有成立，即可得结论； （2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则．根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使得成立，则. ∵，易知在上单调递增，∴． ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. 当，即时，函数在上单调递增. 由对称性知，在上单调递增，∴函数在上单调递增. ∴，∴，又，则， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴或. ∵，∴， 易知，即时符合条件. 当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减，∴函数在上单调递减. ∴，∴，又，则， 综上，实数的取值范围为. 48．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）函数的单调递增区间为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，结合复合函数的单调性的判断方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由函数在时单调递增， 要使得函数单调递增，则满足 ，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 49．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 将的替换为得， 联立 解得 (2) 小问详解： 不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 50．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知 ，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 由任给，存在．使得， 可知，在上的值域为在上的值域的子集. 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 且，， 所以，； 当时，. ，且， 则. 因为，且， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递增. 又， 所以，. 综上所述，当时，. 当时，单调递增，所以. 所以有 ，解得； 当时，不满足； 当时，单调递减，所以. 所以有 ，解得. 综上所述，或. 故答案为：. 51．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. （1）证明：为奇函数. （2）证明：在上是减函数. （3）求不等式的解集. 【答案】（1） 令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数；     （2） 设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 故在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 52．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用定义证明． 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，则 又，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，； 当时，. 综上， ； (2) 小问详解： 略 53．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： （1）已知，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；值域为     （2）      【分析】 （1）将函数化成的形式，再设，利用给出的结论分析函数的单调性，可求函数的值域. （2）问题转化为：的值域是的值域的子集，根据集合的包含关系可求实数的取值范围. (1) 小问详解： ， 设，则，且在上单调递增， 则函数可转化为. 由材料信息得，当单调递减，即时，单调递减； 当单调递增，即时，单调递增； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 由，得的值域为. (2) 小问详解： ，， 由题意，的值域是的值域的子集， 当时， ，解得； 当时， ，不等式无解； 当时， ，不等式无解； 当时， ，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 54．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. (1) 小问详解： 因为，代入得 ：即 ， 解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 55．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】 设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 56．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）记 已知函数，若，使得，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值. 【详解】 由图可知 ， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 即在区间上的值域为． ，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 令，解得， 所以，所以的最大值为． 故答案为： 57．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）设的最小值为，若正数，满足，求的最小值； （3）若，求实数的取值集合． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）最小值是2     （3）或.      【分析】 （1）去绝对值，求出函数的解析式，结合一次函数的单调性判断即可； （2），结合基本不等式求最值即可； （3）令，则为偶函数，求出的解析式，判断的单调性，结合题意解出即可. (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 当时，， 所以 ， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是2. (3) 小问详解： 令，则， 所以为偶函数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 所以 ， 在上单调递增，在上单调递减. 由，得， ① 若，解得或； ② 若，解得或； ③ 若 解得. 综上，的取值集合是或. 58．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为　　　　　　　　　　　，若对于任意，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据函数的奇偶性列式可求函数的解析式，构造函数，问题转化为函数在上单调递减，分类讨论求实数的取值范围. 【详解】 因为是奇函数，是偶函数，则有， 因为① ， 所以， 所以② ， 得，. 由时，等价于， 则. 记，则， 即在区间上为减函数. 显然，符合题意； 当时，的对称轴为直线. ① 当时，，解得； ② 当时，需使，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 59．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），证明如下： 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数.     （2）由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．B 11．ABD 12．D 13．D 14．D 15．D 16．BC 17．C 18．ACD 19．C 20．ABC 21．ACD 22．A 23．BCD 24．C 25．B 26．【答案】 【分析】 利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答. 【详解】 依题意，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以当时，函数的值域为. 故答案为： 27．【答案】 【分析】 作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 28．【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 29．【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 30．【答案】（1），     （2）     （3） 【分析】 （1）2，3为方程的两根，由韦达定理求b，c的值； （2）问题等价于在上恒成立，转化为函数在上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. (1) 小问详解： 2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于，， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 所以时，有最小值0， 所以，实数m的取值范围为. (3) 小问详解： ，函数的对称轴为，开口向上， 若，即，则在上单调递减，； 若，则在上单调递增，； 若，即， 则在上先减后增，， 所以， . 31．【答案】2 【分析】 利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】 ， . 故答案为：2. 32．【答案】（1） ，图象：      （2）单调递增区间为，单调递减区间为，值域为      【分析】 （1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. (1) 小问详解： 因为 ， 所以 ， 所以的图象如下所示： (2) 小问详解： 由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 33．【答案】 【分析】 解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 故答案为： 34．【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）将自变量代入对应的解析式中求解即可； （2）分别在、和的情况下，构造不等式求得结果. (1) 小问详解： ；； ，. (2) 小问详解： 当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 当时，，解得：，； 综上所述：实数的取值范围为. 35．【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【分析】 （1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以 ，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 36．【答案】（1）     （2） 由（1）知，且， 因为，所以，故．     （3） 在上单调递增.证明如下： 取，，且， 则， 当，，时，，，，， 所以，即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据求解即可； （2）结合函数解析式特征，利用分离常数法求证即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. (1) 小问详解： 因为是偶函数，所以， 则，化简得， 则对恒成立，因为不恒为0， 所以，此时的定义域为，符合题意． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 37．【答案】（1）；     （2） 可令，则，即， 且其定义域为，关于原点对称，则为奇函数.     （3）减函数，证明如下，值域 可令，则，由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数； ， ， 由在上单调递减，可得在区间上的值域为．      【分析】 （1）可令，计算可得所求值； （2）可令，结合奇偶性的定义，即可判断； （3）运用单调性的定义，可令，则，结合条件，即可得到单调性；再令，求得，令，，求得，，结合单调性可得所求函数值域． (1) 小问详解： 可令，则，即. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 38．【答案】（1） 因为 ， 所以函数图象的对称中心为.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）证明即可； （2）利用函数单调性的定义即可判断函数单调递增，且，则不等式可以转化为，解二次不等式即可； （3）根据函数的单调性可得在上的值域为，问题转化为在上的值域，求出，列不等式组求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 任取， 则 ， 由于，所以， 所以， 故函数在递增. 因为，且， 所以，即，解得或， 故不等式的解集为. (3) 小问详解： 由已知，的值域为值域的子集， 由（2）知在上递增，且， 故在上的值域为. 于是原问题转化为在上的值域. 的对称轴为, 因为，所以 ， 所以在上单调递增，且. 因为函数的图象关于点对称， 所以在上亦单调递增，而， 所以在上单调递增. 因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，得， 所以. 因为， 所以 ，解得， 故实数的取值范围为. 39．【答案】（1）     （2）      （3） 判断：单调递增， 证明：任取，可得，得到， 而， 故，故在上单调递增.      【分析】 （1）（2）利用赋值法建立方程求值即可. （3）结合给定的递推关系并利用定义法证明单调性即可. (1) 小问详解： 令，得，解得. (2) 小问详解： 令，，得， 代入，可得，解得. (3) 小问详解： 略 40．【答案】 【分析】 分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 41．【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为     （2）（i）（0，1）；（ii）2      【分析】 （1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以 ， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 42．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. (1) 小问详解： 当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 43．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】 由题意得： ， 由解析式可得函数图形如下图所示，   对于① ，函数，① 错误； 对于② ：函数的最小值为，② 正确； 对于③ ，函数的图象与直线有无数个交点，③ 正确； 对于④ ，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 44．【答案】（1） 证明：因为函数是幂函数， 所以，解得， 所以函数， 任取且， 则 ， 因为且， 所以， 所以即， 所以函数在上是减函数.     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义求出的值，然后利用定义证明即可； （2）根据函数单调性建立不等式组解出即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在上是减函数， 所以，则有： ， 所以实数的取值范围为. 45．【答案】（1） 设，有， ， ① 当时，有，，，，有， 可得，可得， 故函数在区间上单调递减； ② 当时，有，，，，有， 可得，可得，函数在区间上单调递增. 由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；     （2）     （3）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为.      【分析】 （1）利用函数单调性定义证明； （2）结合函数为偶函数，又在区间上单调递减，在区间上单调递增，作出函数的大致图象，利用数形结合法求解； （3）由函数为偶函数，易得函数在区间上的值域等于在区间上的值域，令，可得或，再分，，讨论求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，可得函数为偶函数， 又由函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得函数的减区间为，，增区间为，， 可得函数的图象的趋势大致如下： 由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点， 只需，解得或， 故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由，有，可得， 又由函数为偶函数，故函数在区间上的值域等于在区间上的值域， 令，可得或， 可得函数的图象与轴的交点分别为，，， 则① 当时，，， 函数在区间上的值域为； ② 当时，，， 函数在区间上的值域为； ③ 当时，，， 函数在区间上的值域为. 46．【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. (1) 小问详解： 令，得，解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以 ， 解得或，即的取值范围是． 47．【答案】（1）∵，∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图像关于点对称；     （2）      【分析】 （1）根据对称中心的定义，证明：对任意的，都有成立，即可得结论； （2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则．根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使得成立，则. ∵，易知在上单调递增，∴． ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. 当，即时，函数在上单调递增. 由对称性知，在上单调递增，∴函数在上单调递增. ∴，∴，又，则， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴或. ∵，∴， 易知，即时符合条件. 当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减，∴函数在上单调递减. ∴，∴，又，则， 综上，实数的取值范围为. 48．【答案】 【分析】 根据题意，结合复合函数的单调性的判断方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由函数在时单调递增， 要使得函数单调递增，则满足 ，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 将的替换为得， 联立 解得 (2) 小问详解： 不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 50．【答案】 【分析】 根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 由任给，存在．使得， 可知，在上的值域为在上的值域的子集. 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 且，， 所以，； 当时，. ，且， 则. 因为，且， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递增. 又， 所以，. 综上所述，当时，. 当时，单调递增，所以. 所以有 ，解得； 当时，不满足； 当时，单调递减，所以. 所以有 ，解得. 综上所述，或. 故答案为：. 51．【答案】（1） 令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数；     （2） 设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 故在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 52．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，则 又，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，； 当时，. 综上， ； (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；值域为     （2）      【分析】 （1）将函数化成的形式，再设，利用给出的结论分析函数的单调性，可求函数的值域. （2）问题转化为：的值域是的值域的子集，根据集合的包含关系可求实数的取值范围. (1) 小问详解： ， 设，则，且在上单调递增， 则函数可转化为. 由材料信息得，当单调递减，即时，单调递减； 当单调递增，即时，单调递增； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 由，得的值域为. (2) 小问详解： ，， 由题意，的值域是的值域的子集， 当时， ，解得； 当时， ，不等式无解； 当时， ，不等式无解； 当时， ，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 54．【答案】（1）     （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. (1) 小问详解： 因为，代入得 ：即 ， 解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 55．【答案】 【分析】 根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】 设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 56．【答案】4 【分析】 先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值. 【详解】 由图可知 ， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 即在区间上的值域为． ，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 令，解得， 所以，所以的最大值为． 故答案为： 57．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）最小值是2     （3）或.      【分析】 （1）去绝对值，求出函数的解析式，结合一次函数的单调性判断即可； （2），结合基本不等式求最值即可； （3）令，则为偶函数，求出的解析式，判断的单调性，结合题意解出即可. (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 当时，， 所以 ， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是2. (3) 小问详解： 令，则， 所以为偶函数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 所以 ， 在上单调递增，在上单调递减. 由，得， ① 若，解得或； ② 若，解得或； ③ 若 解得. 综上，的取值集合是或. 58．【答案】①     ② 【分析】 根据函数的奇偶性列式可求函数的解析式，构造函数，问题转化为函数在上单调递减，分类讨论求实数的取值范围. 【详解】 因为是奇函数，是偶函数，则有， 因为① ， 所以， 所以② ， 得，. 由时，等价于， 则. 记，则， 即在区间上为减函数. 显然，符合题意； 当时，的对称轴为直线. ① 当时，，解得； ② 当时，需使，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 59．【答案】（1），证明如下： 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数.     （2）由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $