专题03 函数及其表示（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【分析】 分别判断每个选项函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】 对于A，与解析式不同，不是同一函数； 对于B，，定义域均为，解析式相同，是同一函数； 对于C，，定义域为，，定义域为，两个函数定义域不同， 不是同一函数； 对于D，，，定义域均为，是同一函数. 故选：BD 2．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【分析】 根据函数的定义判断． 【详解】 对于A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，两个函数的定义域都是，，对应法则也相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数，故C错误； 对于D，定义域都是R，且，对应法则也相同，是同一函数，故D正确. 故选：BD． 3．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ABD 【分析】 根据相同函数的定义逐一判断即可. 【详解】 对于A，函数，，两个函数的定义域均为， 对应法则完全相同，是同一函数； 对于B，函数，，两个函数的定义域都为， 对应法则完全相同，是同一函数； 对于C，函数定义域为， 定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D，函数，，两个函数的定义域均为， 对应法则完全相同，是同一函数. 故选：ABD. 4．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数 则（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【分析】 根据分段函数求值计算即可. 【详解】 ． 故选：C. 5．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】 对于， 有 ，解得且， 则的定义域为. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可. 【详解】 由题意可知： 且， 故选：D 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】 解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数满足：，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】 因为，∴， 故选：A. 9．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C.  D. 函数为减函数 【答案】ABC 【分析】 根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】 A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】 由，解得，所以函数的定义域为． 故选：C 11．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若函数 则（       ） A.  B.  C. 0 D. 4 【答案】A 【分析】 将自变量代入分段函数解析式求解函数值. 【详解】 因为 ，所以. 故选：A. 13．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）设 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用分段函数求值方法求解即可. 【详解】 因为 ， 所以， 故选：D. 14．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（       ） A. [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 【答案】D 【分析】 由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0． 【详解】 由解得，又，得. 故选：D． 15．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数，若，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【分析】 先求得，再由求得. 【详解】 由，可得， 则，所以， 又，所以． 故选：B 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】 对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故C错误； 对于D，可知两个函数的定义域均为，且 ， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 【答案】B 【分析】 利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】 由题意，得，则，故. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）下列哪一组函数是同一函数（       ） A.  B. ， C.  D. ， 【答案】C 【分析】 判断两函数的定义域与解析式是否一致即可. 【详解】 对于A ：，而，故与不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为， 故与不是同一函数，故B错误； 对于C：和的定义域和对应关系都相同，即与是同一函数，故C正确； 对于D：对于函数，令 ，解得，故的定义域为， 对于函数，令，解得或， 所以的定义域为，两函数的定义域不一致，故不是同一函数，故D错误. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 ，则（     ） A. 14 B. 0 C. 22 D. 64 【答案】C 【分析】 根据函数的周期性和分段函数的解析式，求函数值. 【详解】 . 故选：C 20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【分析】 分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】 由题知：对于A：与对应法则不同，不是相等函数，故A选项错误； 对于B：的定义域为，的定义域为或， 两者的定义域不同，不是相等函数，故B选项错误； 对于C：，其定义域为，的定义域为，两者定义域相同且对应法则相同，所以是相等函数，故C选项正确； 对于D：与的对应法则不同，不是相等函数，故D选项错误； 故选：C. 21．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】 对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 22．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 设，代入列方程组求解即可. 【详解】 设， 由题意可知， 所以 ，解得 或 ， 所以或. 故选：AD. 23．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）下列四个结论中，正确的结论是（    ） A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是． D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】 利用充分不必要条件定义判断A；利用存在量词命题为假求出范围判断B；利用不等式的性质推理判断C；求出定义域判断D. 【详解】 对于选项A：因为集合是集合的真子集， 所以“” 是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于选项B：由命题“”为假命题，得方程无实根， 则，解得，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 且，则，所以，故C正确； 对于选项D：令 ，解得， 所以函数的定义域为，故D错误. 故选：BC. 24．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数 ，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据分段函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】 由函数 ，可得，所以. 故选：B. 25．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】 对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 26．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【分析】 函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】 对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 27．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知函数，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出函数的定义域，然后根据抽象函数的定义域求解法列出不等式组解出即可. 【详解】 若函数要有意义，则，解得， 由 ， 所以函数的定义域为. 故选：B. 28．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意得到 求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 即， 则， 所以 ， 解得：， 所以函数的定义域为， 故选：A 29．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）下列说法正确的是（       ）． A. 已知集合，则集合A有7个真子集 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. 若函数的定义域为，则其值域为 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 由真子集的概念可判断A，由方程有一个正根和一个负根，得到，即可判断，由，通过换元，化为，进而可判断，通过配凑可判断D. 【详解】 对于A，集合，集合A的真子集有，，共3个，A错误； 对于B，方程有一个正根和一个负根， 则，若则，但若，则不一定成立， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确； 对于C，， 令，则原函数化为， ∵，∴，由二次函数的图象可知， 当时，取得最小值，当时，取得最大值1， ∴，∴， ∴原函数的值域为，C错误； 对于D，∵， ∴，D正确． 故选：BD． 30．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）定义符号函数 ，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分，，求得，作出其图象，再利用数形结合法求解. 【详解】 ①当时，，， ，且在上是减函数，； ②当时，，则， ，，，； ③当时，，， ，且在上是增函数，， 如图所示： 综上，若有两个不同的实数解，则. 故选：D. 31．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【分析】 对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】 对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 32．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抽象函数的定义域以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】 由函数的定义域为，函数有意义，得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A.  B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若，，且，则 【答案】ABD 【分析】 由可判断A，由求解可判断B，由在单调递增，可判断C，由基本不等式可判断D. 【详解】 对于A，， 易知，即，A正确； 对于B，由题意得，解得， 即函数的定义域为，B正确； 对于C，由可得定义域为， 由解析式知在单调递增， 函数最小值为1，故C错误； 对于D，，即，解得， 即，当且仅当取等号，D正确， 故选：ABD 34．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）若至少存在两个不同的满足，则称函数为二次函数. （1）试问函数是否为二次函数？说明你的理由. （2）若函数的定义域为，且. ①求的值； ②证明：不是二次函数. 【答案】（1）是，理由：由二次函数的定义，令，得， 即，解得或， 所以函数为二次函数.     （2）①； ② 证明：令，得， 即，所以. 由二次函数的定义，令，得，解得， 故函数不是二次函数.      【分析】 （1）求解方程，由解的个数对结论进行判断； （2）① 由，令，结合，可求的值； ② 令，求出解析式，解方程，由定义判断是否为二次函数. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 解：由， 令，得， 因为，所以. ② 略 35．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用抽象函数定义域求解方法求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以由即， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 36．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知，则　　　　　　　　. 【答案】 【详解】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】 令t＝x-1，则x＝t+1， f(t)＝(t+1)2+1＝t2+2t+2， 即f(x)＝x2+2x+2． 故答案为： 37．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据抽象函数定义域的求解原则求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 38．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，求解即可. 【详解】 由， 得：， 解得， 所以的定义域为， 故答案为：. 39．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，二次函数满足：且． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式． 【答案】（1）     （2）时，不等式的解集为，时，解集为；时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. (1) 小问详解： 设二次函数 ， 所以， 即，故 ， 解得 ，所以， 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 因为， 所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为； 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）已知幂函数，则m 的值可能为（       ） A.  B. 2 C. 7 D.  【答案】AC 【分析】 根据幂函数的定义求解即可. 【详解】 因为幂函数， 所以，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意. 故选：AC 2．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】 因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A. （） B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】 令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知幂函数的图像经过点，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将点代入函数求解，进而可得解. 【详解】 幂函数的图像经过点， ，解得 则 故答案为：4. 5．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】 ， 设，则，故， . 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值　　　　　　. 【答案】24 【分析】 结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 7．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】 由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）幂函数的图象经过点，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】-0.5 【分析】 根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】 幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 9．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知幂函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. (2) 小问详解： 由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数， 所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出 50分钟的部分按0.2元/分钟收费.已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为130分钟，则该用户应缴的话费为　　　　　　　　元. 【答案】44 【分析】 根据题设要求列式计算即可. 【详解】 由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：44 2．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1），     （2）7万元      【分析】 （1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． (2) 小问详解： 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）年某企业计划引进新能源汽车生产设备.经过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且 由市场调研知，每一百辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额-成本） （2）当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） ；     （2）当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.      【分析】 （1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，分，两种情况讨论即可； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求最值进行分析即可. (1) 小问详解： 由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元， 则， 当时， ， 当时， ， 所以所求函数关系为： . (2) 小问详解： 当时，，则， 当且仅当时，不等式中等号成立； 当时， ，即， 当且仅当，即时，不等式中等号成立， 因为， 所以当时，即当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 4．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】（1）     （2）当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元.      【分析】 （1）分、两种情况讨论，根据年利润总收入另外投本固定投本，可得出关于的函数关系式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 解：依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润； 若年产量不小于台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润. 故 . (2) 小问详解： 解：当，时，， 此时，当时，； 当，时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 5．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1），     （2）当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元      【分析】 （1）设，，由函数和的图象分别过点和，分别将其代入即可； （2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化解即可. (1) 小问详解： 由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . (2) 小问详解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．BD 2．BD 3．ABD 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A 9．ABC 10．C 11．A 12．A 13．D 14．D 15．B 16．D 17．B 18．C 19．C 20．C 21．D 22．AD 23．BC 24．B 25．C 26．D 27．B 28．A 29．BD 30．D 31．AC 32．B 33．ABD 34．【答案】（1）是，理由：由二次函数的定义，令，得， 即，解得或， 所以函数为二次函数.     （2）①； ② 证明：令，得， 即，所以. 由二次函数的定义，令，得，解得， 故函数不是二次函数.      【分析】 （1）求解方程，由解的个数对结论进行判断； （2）① 由，令，结合，可求的值； ② 令，求出解析式，解方程，由定义判断是否为二次函数. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 解：由， 令，得， 因为，所以. ② 略 35．【答案】 【分析】 利用抽象函数定义域求解方法求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以由即， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 36．【答案】 【详解】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】 令t＝x-1，则x＝t+1， f(t)＝(t+1)2+1＝t2+2t+2， 即f(x)＝x2+2x+2． 故答案为： 37．【答案】 【分析】 根据抽象函数定义域的求解原则求解即可. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 38．【答案】 【分析】 由，求解即可. 【详解】 由， 得：， 解得， 所以的定义域为， 故答案为：. 39．【答案】（1）     （2）时，不等式的解集为，时，解集为；时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. (1) 小问详解： 设二次函数 ， 所以， 即，故 ， 解得 ，所以， 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 因为， 所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为； 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 考点02 幂函数 1．AC 2．A 3．C 4．【答案】 【分析】 将点代入函数求解，进而可得解. 【详解】 幂函数的图像经过点， ，解得 则 故答案为：4. 5．【答案】 【分析】 根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】 ， 设，则，故， . 故答案为：. 6．【答案】24 【分析】 结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 7．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】 由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 8．【答案】-0.5 【分析】 根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】 幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. (2) 小问详解： 由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数， 所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 10．【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点03 函数的应用（一） 1．【答案】44 【分析】 根据题设要求列式计算即可. 【详解】 由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：44 2．【答案】（1），     （2）7万元      【分析】 （1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． (2) 小问详解： 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 3．【答案】（1） ；     （2）当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.      【分析】 （1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，分，两种情况讨论即可； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求最值进行分析即可. (1) 小问详解： 由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元， 则， 当时， ， 当时， ， 所以所求函数关系为： . (2) 小问详解： 当时，，则， 当且仅当时，不等式中等号成立； 当时， ，即， 当且仅当，即时，不等式中等号成立， 因为， 所以当时，即当年的年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 4．【答案】（1）     （2）当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元.      【分析】 （1）分、两种情况讨论，根据年利润总收入另外投本固定投本，可得出关于的函数关系式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 解：依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润； 若年产量不小于台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润. 故 . (2) 小问详解： 解：当，时，， 此时，当时，； 当，时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 5．【答案】（1），     （2）当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元      【分析】 （1）设，，由函数和的图象分别过点和，分别将其代入即可； （2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化解即可. (1) 小问详解： 由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . (2) 小问详解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数 则（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数满足：，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C.  D. 函数为减函数 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（     ） A.      B.      C.      D.      12．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若函数 则（       ） A.  B.  C. 0 D. 4 13．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）设 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（       ） A. [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 15．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）已知函数，若，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 18．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）下列哪一组函数是同一函数（       ） A.  B. ， C.  D. ， 19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 ，则（     ） A. 14 B. 0 C. 22 D. 64 20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 21．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）下列四个结论中，正确的结论是（    ） A. “”的充分不必要条件是“”． B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 已知，，则的取值范围是． D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 24．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数 ，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 25．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 27．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知函数，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）． A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）下列说法正确的是（       ）． A. 已知集合，则集合A有7个真子集 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. 若函数的定义域为，则其值域为 D. 若，则 30．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）定义符号函数 ，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 32．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A.  B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若，，且，则 34．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）若至少存在两个不同的满足，则称函数为二次函数. （1）试问函数是否为二次函数？说明你的理由. （2）若函数的定义域为，且. ①求的值； ②证明：不是二次函数. 35．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 36．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知，则　　　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　 38．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则的定义域为　　　　　　. 39．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，二次函数满足：且． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）已知幂函数，则m 的值可能为（       ） A.  B. 2 C. 7 D.  2．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A. （） B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知幂函数的图像经过点，则　　　　　　　　　． 5．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　 6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则　　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）幂函数的图象经过点，则实数　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知幂函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若不等式成立，求的取值范围. 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出 50分钟的部分按0.2元/分钟收费.已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为130分钟，则该用户应缴的话费为　　　　　　　　元. 2．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）年某企业计划引进新能源汽车生产设备.经过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且 由市场调研知，每一百辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额-成本） （2）当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 4．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 5．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $