专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）下列不等关系的结论中不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，，，，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若，，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 4．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列命题是真命题的为（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）设，，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）若，，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 2 C.  D. 4 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列结论正确的有（     ） A. 当时， B. 当时，最小值为2 C. 当时， D. 当时， 4．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A. (-∞,-2]∪[4,+∞) B. (-∞,-4)∪[2,+∞) C. (-2,4) D. (-4,2) 5．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C.  D.  6．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）设，则（       ） A. a的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为90 7．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若正数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  8．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（       ）． A. 第一种 B. 第二种 C. 都一样 D. 与物品价格有关 9．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知正实数a，b，则下列说法正确的是（     ） A. 的最小值是2 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值是 10．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知为正实数，且，则（　　） A. 的最大值为3 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为28 11．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　　　　，此时　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）要建造一个占地面积为 的矩形游泳池，并在四周修出宽的小路，如图所示.设所建的矩形游泳池的一边的长为 矩形游泳池与小路的占地总面积为 （1）求; （2）求的最小值. 13．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知正数，满足. （1）求的最大值； （2）求的最大值. 14．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）正实数x，y满足，则的最小值是　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 18．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）关于的不等式“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合且，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知x，y均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  9．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 11．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若关于x 的不等式 的解集为，则（       ） A. 44 B. 55 C.  D. 66 12．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为或 14．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）下列说法中正确的有（       ） A. 已知在上是增函数，若，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 17．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）下列命题为假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D. 不等式对一切实数恒成立，则 18．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（       ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 21．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是　　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）设：实数满足，q：实数满足． （1）若，求使得p，q都为真命题的的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 24．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 25．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域; （2）若的最小值为，求的值. 26．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 27．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数. （1）若对任意，，试比较与的大小； （2）求时函数的最大值. 28．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知集合， （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 29．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知二次函数满足 . （1）求的解析式; （2）求 在上的值域. 30．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值； （3）已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 31．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 32．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 34．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．ABD 2．C 3．AD 4．C 5．ACD 6．BCD 考点02 基本不等式 1．B 2．D 3．AD 4．D 5．BD 6．BD 7．B 8．D 9．BCD 10．ABC 11．【答案】① 6    ② 3 【分析】 将代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值及对应的的值. 【详解】 . 因为，所以， 故，当且仅当 即 时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出游泳池另一边长，再利用矩形面积公式表示即可； （2）利用均值不等式求出最小值. (1) 小问详解： 游泳池另一边的长为， 则，； (2) 小问详解： 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故当时，取最小值，最小值为. 13．【答案】（1）1     （2）2      【分析】 （1）利用不等式结合已知等式即可求得答案； （2）由已知等式可得，利用基本不等式推出，即可得，即可求得答案. (1) 小问详解： 由（当且仅当时取等号）， 有， 可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为1； (2) 小问详解： 由，有， 又由（当且仅当时取等号）， 有，有， 有，可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为2. 14．【答案】 【分析】 利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 15．【答案】 【分析】 分离常数，再利用基本不等式求解． 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为． 故答案为： 16．【答案】4 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 17．【答案】（1）证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立.     （2）     （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由 ，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是.      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 当且仅当 时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. (3) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故.     （3）当时，取最小值      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. (1) 小问详解： 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为. (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 对于代数式，有 ，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C 13．AD 14．B 15．AB 16．AC 17．AD 18．C 19．B 20．AC 21．【答案】 【分析】 根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断． 【详解】 如图是函数的图象（图中隐去了轴）， 为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，. 故答案为：. 22．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 当，即时，不等式成立； 当时，由 . 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出p和q对应的不等式解集，根据两者都为真即可求解； （2）求出p和q对应的不等式解集，根据是的充分不必要条件得到相应不等式条件，解出即可求解． (1) 小问详解： 时，，解得，即， 由，得，解得，即， 因为p，q都为真命题，所以，即的取值范围为． (2) 小问详解： 因为，所以，解得，即， 由是的充分不必要条件，则 ，且等号不同时成立， 又因为，所以的取值范围为． 24．【答案】（1）米     （2）平方米      【分析】 （1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值； （2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以， 可得，解得， 又因为，所以，所以宽的最大值为米. (2) 小问详解： 解：记整个的绿化面积为平方米， 由题意可得 （平方米） 当且仅当时，即米时，等号成立， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. (1) 小问详解： 当时，， 因为，所以，故. 值域为. (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 26．【答案】（1）     （2） 当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为     （3）      【分析】 （1）应用方程组法计算得出解析式； （2）分，，得出解集即可； （3）根据解集只有一个整数计算求参数. (1) 小问详解： 以代替代入，① 得，② 由2×② ，得，③ 由③-① ，得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得等价于. 当时，，所以该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，该不等式的解集为，符合题意； 当时，该不等式的解集为，则； 当时，该不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 27．【答案】（1）     （2）当时，， 当时，， 当时，.      【分析】 （1）将代入函数，解得，再分别求出与即可判断大小； （2）对进行分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为对任意，， 则，化简得， 所以， ，， 所以. (2) 小问详解： 因为，，开口向下，且对称轴为， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，在上单调递增，则. 综上：当时，， 当时，， 当时，. 28．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）解出两集合，再根据并集含义即可得到答案； （2）分和讨论即可. (1) 小问详解： ， ， 则. (2) 小问详解： 若， 当时，，解得， 当时，则有 ，解得. 则实数的取值范围为. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，代入，可求得，从而得到的解析式； （2）分析在上的单调性及最值，可得值域. (1) 小问详解： 设，代入， 得. 所以 ，解得，，. 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 在上单调递减，在单调递增. 又，，. 所以在上的最小值为，最大值为，值域为. 30．【答案】（1）     （2）22或37．     （3），，．      【分析】 （1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. (1) 小问详解： 由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． (2) 小问详解： 由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ① 当，时，； ② 当，时，， 所以的值为22或37． (3) 小问详解： 由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 31．【答案】（1）3     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. (1) 小问详解： 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； (2) 小问详解： 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ① 当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ② 当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 32．【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【详解】 （1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时， ，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则 ，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 33．【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 34．【答案】 【分析】 根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）下列不等关系的结论中不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 举反例否定选项ABD；依据不等式性质证明选项C. 【详解】 选项A：若，当时，，A错误； 选项B：若，则，B错误； 选项C：若，则，C正确； 选项D：若，则，D错误. 故选：ABD 2．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，，，，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】 若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若，，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AD 【分析】 利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】 由，，得，，所以，，故A正确，B不正确. 因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确. 令，则 解得 因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 4．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】 对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 5．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD. 6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列命题是真命题的为（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【分析】 举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】 对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）设，，，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由已知结合基本不等式即可求解最值. 【详解】 由，，， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）若，，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 2 C.  D. 4 【答案】D 【分析】 利用基本不等式“1的代换”求出最小值. 【详解】 根据题意可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：D 3．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）（多选）下列结论正确的有（     ） A. 当时， B. 当时，最小值为2 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【分析】 由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】 对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD 4．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A. (-∞,-2]∪[4,+∞) B. (-∞,-4)∪[2,+∞) C. (-2,4) D. (-4,2) 【答案】D 【详解】由已知条件，利用基本不等式求得，再由恒成立，可得，从而可求出m的取值范围 【详解】 解：因为，x>0，y>0， 所以，当且仅当时，取等号， 因为恒成立， 所以，解得， 故选：D 5．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据不等式的性质可逐项判断. 【详解】 对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 6．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）设，则（       ） A. a的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为90 【答案】BD 【分析】 利用特殊值检验，可判断A；根据基本不等式可得，判断B；利用B的结果可判断C；根据1的妙用，得，利用基本不等式求得最小值，判断D. 【详解】 对于A，当时，，与矛盾，所以A错误. 对于B，因为，所以. 所以，所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以B正确. 对于C，，由B知，所以C错误. 对于D，. 其中，当且仅当，即时，等号成立. 所以D正确. 故选：BD. 7．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若正数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】 由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 8．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（       ）． A. 第一种 B. 第二种 C. 都一样 D. 与物品价格有关 【答案】D 【分析】 设两次购买此种商品的单价分别为，，方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y，再结合基本不等式计算方案二的平均单价的最大值，即可判断. 【详解】 设两次购买此种商品的单价分别为，， 方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y， 其中，，x，y均为正数， ∴方案一的平均单价为； 方案二的平均单价为， 当且仅当时取等号， 所以当相等时，两种方案一样， 当时，第二种购买方案更实惠． 综上，哪种购买方案更实惠与物品价格有关. 故选：D． 9．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）已知正实数a，b，则下列说法正确的是（     ） A. 的最小值是2 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式等号成立条件判断A；利用基本不等式及“1”的妙用求解判断BCD. 【详解】 对于A，，当且仅当， 即时取等号，而，因此不能取等号，A错误； 对于B ，由，得， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知为正实数，且，则（　　） A. 的最大值为3 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为28 【答案】ABC 【分析】 选项A利用基本不等式得出关于的二次不等式解出即可，B选项结合A选项的结论即可得出，C选项由已知条件变形得出利用基本不等式求出即可，直接利用基本不等式即可得出D选项. 【详解】 因为为正实数，由基本不等式得： ， ， 令，且， 则， 解得：， 又，所以， 即 即，当且仅当 ， 即时取等号， 所以的最大值为3，故A正确； 由，， 即时取等号， 所以的最小值为6，故B正确； 因为， 所以，又为正实数， 所以， 由基本不等式得， 所以4， 当且仅当 ， 即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，D错误． 故选：ABC． 11．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　　　　，此时　　　　　　　　　　. 【答案】① 6    ② 3 【分析】 将代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值及对应的的值. 【详解】 . 因为，所以， 故，当且仅当 即 时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. 12．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）要建造一个占地面积为 的矩形游泳池，并在四周修出宽的小路，如图所示.设所建的矩形游泳池的一边的长为 矩形游泳池与小路的占地总面积为 （1）求; （2）求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出游泳池另一边长，再利用矩形面积公式表示即可； （2）利用均值不等式求出最小值. (1) 小问详解： 游泳池另一边的长为， 则，； (2) 小问详解： 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故当时，取最小值，最小值为. 13．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知正数，满足. （1）求的最大值； （2）求的最大值. 【答案】（1）1     （2）2      【分析】 （1）利用不等式结合已知等式即可求得答案； （2）由已知等式可得，利用基本不等式推出，即可得，即可求得答案. (1) 小问详解： 由（当且仅当时取等号）， 有， 可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为1； (2) 小问详解： 由，有， 又由（当且仅当时取等号）， 有，有， 有，可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为2. 14．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）正实数x，y满足，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 15．（25-26学年高一上·黑龙江龙东十校联·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分离常数，再利用基本不等式求解． 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为． 故答案为： 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 17．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】（1）证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立.     （2）     （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由 ，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是.      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 当且仅当 时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. (3) 小问详解： 略 18．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1）     （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故.     （3）当时，取最小值      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. (1) 小问详解： 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为. (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 对于代数式，有 ，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）关于的不等式“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先求出两个不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 因为，所以，解得. 因为，所以 ，所以解得. 由此可以看出，“”推不出“”，而“”能推出“”. 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由分式不等式的解法可得结果. 【详解】 不等式可化为，即，等价于 ， 解得，则解集为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】 且， 或. . 故选：A 4．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，转化为不等式在上恒成立，求得，即可求解. 【详解】 由时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立， 当时，可得，所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】D 【分析】 由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】 关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】 存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 7．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）已知x，y均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求实数的取值范围. 【详解】 由题设，， 当且仅当时等号成立，要使恒成立，则， 解得. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式. 【详解】 由不等式的解集是，可知，且， ，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 9．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】 因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是，  当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 先求解一元二次不等式，再根据的定义求解. 【详解】 由，解得. 由定义可知，可取0，1，2，则2， 故或. 故选：D 11．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）若关于x 的不等式 的解集为，则（       ） A. 44 B. 55 C.  D. 66 【答案】D 【分析】 根据不等式的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】 由不等式 的解集为， 可知5和是方程 的两根， 则 ，解得， 所以， 故选：D. 12．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围. 【详解】 因为，且， 令，解得或，作出图象如下图所示， 由图象可知，当时，若的值域为，则， 故选：C. 13．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】 根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】 对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得 ，可得 ， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 14．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用存在性问题的解决方法求出范围. 【详解】 当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 15．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据题意，转化为在上有解，即，利用换元法求得的最小值，得到的取值范围为，结合选项，即可求解. 【详解】 当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 16．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）下列说法中正确的有（       ） A. 已知在上是增函数，若，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】AC 【分析】 对于A，由，得，再结合的单调性即可判断；对于B，可以举特例分析“”与“”之间的逻辑关系；对于C，分k为零和不为零两种情况讨论即可；对于D，结合二次函数的图像特性及韦达定理即可判断． 【详解】 对于A，由，得，由在上是增函数， 得，因此，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但， 也不能推出，例如，而， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，当时，，不符，舍去， 当时，则有 ，解得， 故实数的取值范围是，故C正确； 对于D，若方程有两个正实数根，则 ，解得，故D错误． 故选：AC． 17．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）（多选）下列命题为假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AD 【分析】 利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B，关于的方程的解为，且，求出、、的关系，再解不等式即可判断C，分和两种情况讨论，当时 ，即可求出参数的取值范围，从而判断D. 【详解】 对于A：当时满足，但是，故A错误； 对于B：若且，则，，， 所以， 即，不等式的两边同时除以，可得，故B正确； 对于C：由题意，关于的方程的解为，且， 所以 ，解得 ， 则不等式，即， 由，则不等式变为， 即，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D：不等式对一切实数恒成立， ① 当时，原不等式可化为，恒成立； ② 当时，须满足 ，解得， 综上① ② 可知，故D错误； 故选：AD. 18．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得 ，进而求解不等式即可. 【详解】 由题意，为方程的根，且， 则 ，即 ， 则不等式，即为， 则，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】 由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（       ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 【答案】AC 【分析】 对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断； 对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则 ,解不等式即可判断； 对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解； 对于D,举出也满足条件即可判断. 【详解】 对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素， 则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确； 对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素， 则 ,即 ,解得或， 所以数集中最小的元素不小于，故B不正确； 对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素 ，则,解得：或,则或，故C正确； 对于D,设集合中有两个元素分别为,， 当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时； 当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确； 故选：AC 21．（25-26学年高一上·黑龙江两省十校·期中）已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断． 【详解】 如图是函数的图象（图中隐去了轴）， 为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，. 故答案为：. 22．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 当，即时，不等式成立； 当时，由 . 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·黑龙江绥化·期中）设：实数满足，q：实数满足． （1）若，求使得p，q都为真命题的的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出p和q对应的不等式解集，根据两者都为真即可求解； （2）求出p和q对应的不等式解集，根据是的充分不必要条件得到相应不等式条件，解出即可求解． (1) 小问详解： 时，，解得，即， 由，得，解得，即， 因为p，q都为真命题，所以，即的取值范围为． (2) 小问详解： 因为，所以，解得，即， 由是的充分不必要条件，则 ，且等号不同时成立， 又因为，所以的取值范围为． 24．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）米     （2）平方米      【分析】 （1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值； （2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以， 可得，解得， 又因为，所以，所以宽的最大值为米. (2) 小问详解： 解：记整个的绿化面积为平方米， 由题意可得 （平方米） 当且仅当时，即米时，等号成立， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 25．（25-26学年高一上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域; （2）若的最小值为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. (1) 小问详解： 当时，， 因为，所以，故. 值域为. (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 26．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） 当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为     （3）      【分析】 （1）应用方程组法计算得出解析式； （2）分，，得出解集即可； （3）根据解集只有一个整数计算求参数. (1) 小问详解： 以代替代入，① 得，② 由2×② ，得，③ 由③-① ，得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得等价于. 当时，，所以该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，该不等式的解集为，符合题意； 当时，该不等式的解集为，则； 当时，该不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知函数. （1）若对任意，，试比较与的大小； （2）求时函数的最大值. 【答案】（1）     （2）当时，， 当时，， 当时，.      【分析】 （1）将代入函数，解得，再分别求出与即可判断大小； （2）对进行分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为对任意，， 则，化简得， 所以， ，， 所以. (2) 小问详解： 因为，，开口向下，且对称轴为， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，在上单调递增，则. 综上：当时，， 当时，， 当时，. 28．（25-26学年高一上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）已知集合， （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）解出两集合，再根据并集含义即可得到答案； （2）分和讨论即可. (1) 小问详解： ， ， 则. (2) 小问详解： 若， 当时，，解得， 当时，则有 ，解得. 则实数的取值范围为. 29．（25-26学年高一上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知二次函数满足 . （1）求的解析式; （2）求 在上的值域. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，代入，可求得，从而得到的解析式； （2）分析在上的单调性及最值，可得值域. (1) 小问详解： 设，代入， 得. 所以 ，解得，，. 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 在上单调递减，在单调递增. 又，，. 所以在上的最小值为，最大值为，值域为. 30．（25-26学年高一上·吉林地区普通高中友好学校·期中）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值； （3）已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】（1）     （2）22或37．     （3），，．      【分析】 （1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. (1) 小问详解： 由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． (2) 小问详解： 由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ① 当，时，； ② 当，时，， 所以的值为22或37． (3) 小问详解： 由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 31．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. (1) 小问详解： 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； (2) 小问详解： 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ① 当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ② 当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 32．（25-26学年高一上·黑龙江新时代高中·期中）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【详解】 （1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时， ，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则 ，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 33．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 34．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $