2.5.1 椭圆的标准方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.5.1 椭圆的标准方程 教学目标 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 2.会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 3.会求与椭圆有关的量。 教学重难点 1.重点 （1）掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题； （2）利用定义法和待定系数法求椭圆方程。 2.难点 （1）理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题； （2）椭圆中焦点三角形的相关问题。 知识点01 椭圆的定义 定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意事项：①点的轨迹是以、为焦点的椭圆； ②点的轨迹是线段； ③点P的轨迹是无轨迹。 【即学即练】 （25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．射线 B．直线 C．线段 D．椭圆 知识点02 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的对比 【即学即练】 例1：（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 例2：（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 例3：（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型01 椭圆的定义 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 【变式1】（25-26高二上·云南昆明·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（   ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式4】（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型02 利用椭圆定义求方程 【典例1】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 题型03 根据椭圆的标准方程求参数 【典例1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 题型04 判断方程是否表示椭圆 【典例1】（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【变式2】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选题）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【变式3】（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选题）关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 题型05 椭圆上的点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期末）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】（2026·河北保定·二模）（多选题）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式4】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 题型06 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和差最值 【典例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选题）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 题型07 求椭圆方程 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【变式3】（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 【变式4】（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 题型08 椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 题型09 椭圆中焦点三角形的面积和周长问题 【典例1】（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【变式1】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【变式4】（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题 【典例1】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【变式4】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·广东广州·期末）与圆及圆都内切的动圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 3．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 4．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 6．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·广东佛山·期中）（多选题）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上 点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 11．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为______. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 15．（26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 16．（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 17．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 18．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 19．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 20．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 21．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 22．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）（多选题）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 23．（25-26高二上·福建厦门·期末）若椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，则______. 24．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 25．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是______． 26．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 27．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为D，当点P在圆上运动时，求： (1)设，求的中点M的坐标； (2)求的中点M的轨迹方程. 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆·期中）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26高二下·河北保定·开学考试）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 6．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选题）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为________． 9．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是_____．（填序号） ①点在曲线上 ②点在上，则 ③点在椭圆上，若，则 ④过作轴的垂线交于两点，则 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆标准方程为，左右焦点分别为是椭圆上任意一点．则的周长为___________；若点，则的最小值为___________． 11．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，异于点，分别记直线的斜率为. (1)当直线的斜率为-1时，求的面积； (2)证明：. 12．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 椭圆的标准方程 教学目标 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 2.会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 3.会求与椭圆有关的量。 教学重难点 1.重点 （1）掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题； （2）利用定义法和待定系数法求椭圆方程。 2.难点 （1）理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题； （2）椭圆中焦点三角形的相关问题。 知识点01 椭圆的定义 定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意事项：①点的轨迹是以、为焦点的椭圆； ②点的轨迹是线段； ③点P的轨迹是无轨迹。 【即学即练】 （25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．射线 B．直线 C．线段 D．椭圆 【答案】C 【分析】根据两点间的距离公式即可判断. 【详解】因为表示点到的距离， 表示点到的距离， 又，即，又， 即， 所以动点的轨迹是线段. 故选：C 知识点02 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的对比 【即学即练】 例1：（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 例2：（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 例3：（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 题型01 椭圆的定义 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 【答案】②④ 【详解】椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆； 当距离之和等于时，轨迹为线段； 当距离之和小于时，这样的点不存在，轨迹不存在. 对于①，，距离之和为，满足条件的点不存在，轨迹不存在，①是假命题. 对于②，，距离之和等于，轨迹为线段，②是真命题. 对于③，到两定点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，③是假命题. 对于④，，， 所以. 又， 由椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，④是真命题. 综上，真命题的序号是②④. 【变式1】（25-26高二上·云南昆明·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（   ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】因为关系式表示动点到两定点和的距离之和，且， 所以点的轨迹为线段. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义来进行判断即可. 【详解】由于，，所以动点的轨迹为椭圆， 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 【变式4】（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 题型02 利用椭圆定义求方程 【典例1】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【详解】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型03 根据椭圆的标准方程求参数 【典例1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的标准方程求解即可. 【详解】由题意知，，解得或. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）若关于、的方程：表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示椭圆变形后结合椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】由题意可得， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 故选：B. 【变式2】（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 【答案】BC 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得，故BC符合题意． 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 题型04 判断方程是否表示椭圆 【典例1】（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由方程为椭圆求出参数m，再由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】由圆、椭圆方程的结构特点判断即可. 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 【变式2】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选题）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【变式3】（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选题）关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误. 故选：AC 题型05 椭圆上的点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期末）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可求答案. 【详解】因为椭圆：的长轴长为，是椭圆上一点， 所以. 故选：A 【变式1】（2026·河北保定·二模）（多选题）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 【变式2】（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可. 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 【变式4】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 【答案】35 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故答案为： 题型06 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和差最值 【典例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选题）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用圆的几何性质可判断A选项；利用圆的几何性质以及椭圆焦半径的最值可判断BC选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A选项，因为，故点在圆内， 又因为，且圆的半径为， 故，当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当、为椭圆的右顶点时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当、分别为椭圆的右、左顶点时，等号成立，C对； 对于D选项，取椭圆的左焦点，则， 所以 ， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，D对. 故选：ACD. 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 题型07 求椭圆方程 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 【变式3】（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据椭圆与焦点相同，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设其标准方程为，结合在椭圆上列方程组求解． 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【变式4】（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或；(2)；(3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 题型08 椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在圆上任取点，依题意得到变换之后的点，满足，反求得到，回代入圆的方程即得所求. 【详解】在圆上任取一点，将该点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到点， 则，则，因是圆上的点，故， 即，故所得曲线的方程是. 故选：A. 【变式3】（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 题型09 椭圆中焦点三角形的面积和周长问题 【典例1】（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1)；(2)周长为，面积为 【分析】（1）利用已知条件求出，从而求出，求出椭圆标准方程； （2）利用椭圆的定义和几何性质，求出焦点三角形的周长，结合余弦定理和三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 【变式1】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【答案】12 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 【变式4】（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题 【典例1】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 【变式2】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 【变式3】（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【答案】3 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得， 可得，，所以. 故答案为：3. 【变式4】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 【答案】3 【分析】由椭圆方程得，由椭圆定义、焦点三角形中的余弦定理及求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 所以， 设，， 则，， 在中，， 即， 所以，所以，所以， 即， 故答案为：. 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）与圆及圆都内切的动圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】A 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都内切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆：的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆内含， 因为该动圆与两圆都内切，易知， 由题意可得，两式相加得， 所以圆心在椭圆上. 故选：A. 3．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 4．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 5．（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，C正确； 焦点在轴上时，，解得，D错误； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 7．（24-25高二上·广东佛山·期中）（多选题）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上 点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 【答案】B 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上， 所以，，于是. 因为，且， 所以. 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念和基本性质，列出方程组，求出参数值，写出标准方程即可. 【详解】设椭圆焦距为2c,由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. 故选：A. 10．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由椭圆的定义可得，再根据基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【详解】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】先根据椭圆的定义得到的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得出，求出的范围，并结合点为椭圆内一点即可. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则， 则椭圆的左焦点，右焦点， 由椭圆的定义可知，， 则， 因，所以，等号成立时三点共线， 因椭圆上存在一点，使得， 所以，得， 因点为椭圆内一点，则，，得， 故的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 15．（26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 16．（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 17．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 18．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 19．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 20．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 21．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 22．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）（多选题）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的方程确定椭圆的，由定义可得，，结合椭圆焦点三角形的几何性质逐项分析就可得答案. 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图： 使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 23．（25-26高二上·福建厦门·期末）若椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，由椭圆的几何性质，求得，得到为等边三角形，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以焦点，上顶点为, 如图所示，可得，且，即， 所以为等边三角形，所以. 故答案为：. 24．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义得，联立，解出，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】根据椭圆方程，有，，则， 因为点在椭圆上，所以有，因为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 25．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是______． 【答案】 【分析】结合椭圆的定义，利用余弦定理求夹角余弦值，即可求数量积. 【详解】由椭圆方程可得：，    由余弦定理得： ， 又因为，所以， 所以， 故答案为： 26．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 27．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为D，当点P在圆上运动时，求： (1)设，求的中点M的坐标； (2)求的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，应用中点坐标公式求中点坐标即可； （2）令，结合（1）有，再由点在圆上，代入坐标求中点的轨迹方程. 【详解】（1）由且轴于，则，所以的中点； （2）令，结合（1）知，而在圆上， 所以，则， 即的中点M的轨迹方程为. 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 3．（25-26高二下·重庆·期中）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 4．（25-26高二下·河北保定·开学考试）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆方程化简曲率半径表达式，根据单调性得到曲率半径最值对应的表达式，列方程组求解得，从而得到椭圆标准方程. 【详解】 已知点在椭圆上，故， 代入曲率半径公式中括号部分： ， 由于，系数， 故是关于的减函数，且，因此与同增减. 当（短轴端点），取最大值，此时最大： 当（长轴端点），取最小值，此时最小： 已知，得方程组： 两式相乘得，即， 代入第一个方程得：，解得，即，进而得. 所以 ，故椭圆标准方程为. 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 6．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程可得其左、右焦点的坐标，又已知直线过右焦点，根据椭圆的定义可得焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，所以， 所以其左、右焦点的坐标分别为，即为左焦点. 由直线的方程可知，该直线过定点，即过右焦点， 记为点，如图.    所以的周长为, 由椭圆的定义可知， 所以的周长为. 故选：C. 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选题）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，推导出，同理可得出，，然后利用三角恒等变换化简可得出的最小值. 【详解】在椭圆中，，，，如下图所示： 椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边， 当时，过点作，过点作，垂足分别为点、， 易知四边形为矩形，则， 由椭圆第二定义可得，则， 又因为轴，则，所以，，所以，， 因为，即，所以，， 同理可知，当为任意角时，等式仍然成立， 同理可得，， 因此， 当时，取得最小值. 故的最小值为. 故答案为： 9．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是_____．（填序号） ①点在曲线上 ②点在上，则 ③点在椭圆上，若，则 ④过作轴的垂线交于两点，则 【答案】①③④ 【分析】对于①：根据“双纽线”的定义验证即可；对于②：根据“双纽线”的定义，使，求解出，再根据两点间距离公式验证即可；对于③：根据椭圆的定义可得及由可得，综合两式可求得，即可判断；对于④：设，利用“双纽线”的定义及两点间距离公式可得，解得，证明，即可得证. 【详解】对于①：因为，由定义知，故①正确； 对于②：点在上， 则，化简得， 所以，即，则，故②错误； 对于③：椭圆的焦点恰好为与， 则，又，所以， 故， 所以，③正确； 对于④：设，则，因为，则， 又，所以，化简得， 解得或（舍去），则， 因为，所以，因此，故，所以，故④正确. 故答案为：①③④. 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆标准方程为，左右焦点分别为是椭圆上任意一点．则的周长为___________；若点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先根据椭圆的定义即可求出的周长，再利用点到点的距离公式结合函数的性质即可求出. 【详解】由题意得，，，又是椭圆上任意一点， 根据椭圆的定义，得的周长为， 设椭圆上点，， 又，， 令，对称轴，又， ，. 故答案为：. 11．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，异于点，分别记直线的斜率为. (1)当直线的斜率为-1时，求的面积； (2)证明：. 【答案】(1) (2) 当直线的斜率不存在时，直线的方程为代入椭圆方程 可得即无解，所以这种情况不存在. 如图： 设直线的方程为，即，， 联立直线与椭圆的方程，整理得，则，所以 ， 所以得证. 【分析】5（1）先求直线方程，再联立椭圆方程用韦达定理求弦长和点到直线距离进而求三角形面积. （2）设直线方程联立椭圆方程，用韦达定理表示相关量，再根据斜率公式化简证明为定值. 【详解】（1）如图： 由题意得直线的方程为，即 联立直线与椭圆的方程，整理得：， 设，则， 所以，点到直线的距离 ，所以 （2）略 12．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2) （i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0.    （ii）. 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）（i）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可； （ii）法一：根据三角形面积之间的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可； 法二：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为的周长等于8， 所以， 由椭圆的定义可知：， 所以， 由题意可得椭圆焦点在轴上， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 法二： 点到直线的距离 所以 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $