专题2.11 椭圆的标准方程（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.11椭圆的标准方程 教学目标 ①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 教学重难点 重点：①掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题. ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和 ， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的 ，两焦点的距离（）叫作椭圆的 说明： 若，的轨迹为 ； 若，的轨迹 2、定义的集合语言表述 集合. 【即学即练】1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 【即学即练】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 题型01 椭圆的定义及辨析 【典例1】（多选）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【变式1】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式2】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【变式3】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【变式4】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 集合. 题型02利用椭圆定义求方程 【典例1】已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【变式1】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】方程表示的曲线的标准方程是 . 椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【变式1】点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2】设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ） A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 【变式3】已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【变式4】设是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，，则的最小值为 . 题型04 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例1】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【变式3】已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【变式4】已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 题型05 判断方程是否表示椭圆 【典例1】（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【变式1】椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【变式3】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【变式4】方程表示椭圆的充要条件是 ． 题型06求椭圆方程 【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为 . 【变式4】已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 题型07根据椭圆方程求参数 【典例1】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【变式1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【变式3】设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 【变式4】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ． 题型08 椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 【变式4】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 【典例1】已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【变式1】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【变式2】已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【变式3】设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，则的面积为 . 【变式4】设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. ①定义 ② ③余弦定理 题型10 椭圆中焦点三角形其他问题 【典例1】已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【变式4】椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 1．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示两条直线，则，或， B．若曲线表示圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示椭圆，则仅需 10．（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 11．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 12．已知是椭圆上的动点，，且，则 . 13．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 14．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 15．已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.11椭圆的标准方程 教学目标 ①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 教学重难点 重点：①掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题. ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【即学即练】1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 【即学即练】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 题型01 椭圆的定义及辨析 【典例1】（多选）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 【变式1】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，简单计算后可得结论. 【详解】因为，，则，所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆. 故选：A． 【变式2】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 【变式3】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 【变式4】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 集合. 题型02利用椭圆定义求方程 【典例1】已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. 【详解】由题意，且，而，已知圆的半径， 所以， 故的轨迹是以为焦点，且焦点在轴上的椭圆，，即， 所以轨迹方程为. 故答案为： 【变式1】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 【变式2】平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 【变式3】已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 【变式4】方程表示的曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据方程表示的几何意义结合椭圆的定义即可求得答案. 【详解】方程， 表示点到两点的距离之和等于10，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以短半轴长， 所以其标准方程为， 故答案为： 椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】通过解析式求出椭圆的的值，做出图像后知道圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义可知为定值，所以当三点共线时最大，求出最大值. 【详解】如图：    由椭圆可知，， 在椭圆中， 又因为圆心为，所以当三点共线时（如图），最大， 此时， 故答案为：11. 【变式1】点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解. 【详解】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆，则，， 所以， 故选：D． 【变式2】设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ） A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案. 【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为， 由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和， 由椭圆定义可知：， 所以的最大值为，的最小值为. 故选：C 【变式3】已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒ 【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，∴． ∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图， 设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆定义知，． ∵， ∴，当在线段上时，等号成立. 即要求的最大值为， 故选：D． 【变式4】设是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】先把椭圆方程化为标准方程，由此求得两焦点坐标，利用椭圆定义把化为，再根据数形结合即可求出结果. 【详解】解：由已知可得椭圆的标准方程为，则，， 焦点坐标分别为，， 又由椭圆定义可得，， ， 利用几何性质可得当点在椭圆左端点时有最小值， 且此时最小值为， 故答案为：5 【点睛】本题考查了椭圆定义以及根据椭圆的几何性质求最值的问题，属于基础题. 题型04 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例1】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【变式1】已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 【变式2】已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 【变式3】已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值. 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 【变式4】已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    题型05 判断方程是否表示椭圆 【典例1】（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 【变式1】椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 【变式2】（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD. 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 【变式3】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【变式4】方程表示椭圆的充要条件是 ． 【答案】答案不唯一 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 题型06求椭圆方程 【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1】若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案. 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确. 故选：A． 【变式2】若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组求解出，，进而即可得出结果 【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 【变式3】椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意及椭圆的定义求出，即可得解. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可知焦距， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式4】已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【答案】或 【分析】求出的值，再分焦点位置直接写出方程. 【详解】由题意，有， ∴椭圆C的标准方程可能为或. 故答案为：或 题型07根据椭圆方程求参数 【典例1】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 【变式1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 【变式2】方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二元二次方程与椭圆标准方程的关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式求解. 【详解】方程可化为， 由题意得解得， 故实数k的取值范围是． 故答案为：． 题型08 椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【变式1】已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 【变式2】长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，找出，再根据得到，即可求解． 【详解】设，，， 则有， 即，由题意可得， 即，即， 故选：A． 【变式3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 【答案】 【分析】利用两圆相切可得到，再利用椭圆的定义可得到点的轨迹. 【详解】设圆的半径为，则根据题意，得， 于是， 由椭圆的定义可知：点的轨迹为满足的椭圆， 因此点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式4】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆 【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 【典例1】已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 【变式1】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【分析】延长，交的延长线于点，得为等腰三角形，由中位线定理得，然后结合椭圆定义求得，利用余弦定理和平方关系求得，由三角形面积公式计算面积． 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 【变式2】已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理求得，然后由面积公式计算面积． 【详解】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 【变式3】设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】依题意，椭圆的半焦距， 在中，，，， 由余弦定理得， 即， 则，所以. 故答案为： 【变式4】设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. 【答案】4 【分析】先根据勾股定理得，，然后结合椭圆定义及完全平方式得，代入面积公式求解即可. 【详解】，. 又，， . ①定义 ② ③余弦定理 题型10 椭圆中焦点三角形其他问题 【典例1】已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【变式1】已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 【变式2】已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，代入椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆C上，所以，解得，即， ，所以． 故选：C． 【变式3】已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算可得. 【详解】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 故答案为： 【变式4】椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 1．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 2．已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 5．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 6．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程． 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 7．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 8．已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程可得，设，根据题设求出，再根据余弦定理得到求解即可. 【详解】椭圆，即， 则，即，设，， 则，解得，即， 则，，， 所以. 故选：C. 9．（多选）关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示两条直线，则，或， B．若曲线表示圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示椭圆，则仅需 【答案】ABC 【分析】根据曲线方程形式可得A正确，根据椭圆以及圆方程可判断BCD正确. 【详解】对于A，若曲线表示两条直线，则两者须有一个为零，此时表示的两条直线为或，可得A正确； 对于B，若曲线表示圆，则根据圆的方程可知，即B正确； 对于C，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，可将化为， 所以，可得，即C正确； 对于D，若曲线表示椭圆，则根据椭圆方程可知，且，即D错误. 故选：ABC 10．（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 11．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 12．已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 13．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）设椭圆方程为，根据题意列方程组求出参数可得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 14．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 15．已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 【答案】 【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】，，的中垂线交于点E． 则有，， 所以E点在以，为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为（），半焦距为， 由，得，由，得， 所以． 故点E的轨迹方程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $