2.5.2.2 椭圆几何性质的综合应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦椭圆几何性质的综合应用，系统梳理焦点三角形的定义、余弦定理应用及面积公式，衔接焦半径取值范围分析，延伸至椭圆在电影放映灯、隧道设计等实际问题中的应用，构建从基础到综合的学习支架。 采用习题讲评式教学，通过例题变式、思维建模及针对训练，培养数学思维（如几何法与代数法解最值），提升数学眼光（从实际抽象椭圆模型），规范数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后通过课时检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　椭圆几何性质的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围.了解椭圆在实际生活中的应用. 题型(一)　焦点三角形问题 　　设F1和F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的任意一点,当P,F1,F2三点不在同一条直线上时,点P,F1,F2构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图所示.它们具有以下性质: (1)|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c. (2)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2. (3)当|PF1|=|PF2|时,∠F1PF2最大. (4)焦点三角形的周长为2a+2c. (5)S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan. [例1]　已知点P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,求△PF1F2的面积. 解:由椭圆+=1,得a=5,b=3,c=4.|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理可得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|·,可得64=100-|PF1||PF2|,得|PF1||PF2|=,故=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×× =. 　　[变式拓展] 1.若本例条件去掉“cos∠F1PF2=”,求△PF1F2面积的最大值. 解:当|PF1|=|PF2|时,最大,此时=×2c×b=12.故△PF1F2面积的最大值为12. 2.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“cos∠F1PF2=0”,求△PF1F2的面积. 解:易知∠F1PF2=90°,故S=b2tan=b2tan 45°=9. 3.若本例条件“cos∠F1PF2= ”变为“∠PF1F2=90°”,其他条件不变,求△PF1F2的面积. 解:由已知得a=5,b=3,c=4,在△PF1F2中,由勾股定理知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.即|PF2|2=|PF1|2+64,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=10.故(10-|PF1|)2=|PF1|2+64,解得|PF1|=.故=××8=. |思|维|建|模| 椭圆中的焦点三角形的应用技巧 　　椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解. 　　[针对训练] 1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交该椭圆于P,Q两点,若|PF2|+|QF2|=9,则|PQ|= (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选C　∵椭圆+=1,∴a2=16,a=4,∵P,Q在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=8,|QF1|+|QF2|=2a=8,∴△PQF2的周长为|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=|PF2|+|QF2|+|PQ|=16,∵|PF2|+|QF2|=9,∴|PQ|=7. 2.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为　　　　.  解析:根据题意可得|PF1|+|PF2|=2a,可得|PF2|=2a-4,又c2=a2-2,利用余弦定理可得cos∠F1PF2==-,即=-,整理可得=-,解得a=3. 答案:3 题型(二)　椭圆中的最值 [例2]　(1)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到两焦点距离的最大、最小值分别为 (　　) A.3,1 B.2+,2- C.2,1 D.+1,-1 解析:选A　由题知a=2,b=,∴c==1,∴距离的最大值为a+c=3,距离的最小值为a-c=1. (2)已知椭圆C:+=1,F1,F2是左、右焦点,点Q(2,2),点P为椭圆上一动点,则|PF1|+|PQ|的最大值为　　　,最小值为　　　　.  解析:椭圆C:+=1,∴a=5,b=4,c=3, ∴F1(-3,0),F2(3,0). 如图所示,点Q在椭圆内部, ∵点P为椭圆上的点, 则|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PF1|=10-|PF2|, ∵|PF1|+|PQ|=|PQ|-|PF2|+10, 又||PQ|-|PF2||≤|QF2|=, ∴-≤|PQ|-|PF2|≤, 即|PF1|+|PQ|∈[10-,10+]. 答案:10+　10- |思|维|建|模| 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、换元法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等. 　　[针对训练] 3.若点P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,则·的取值范围是 (　　) A.(8,24) B.[8,24] C.[5,21] D.(5,21) 解析:选B　由题意,·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2, 又EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径, 则||=1,在椭圆+=1中,有a-c≤||≤a+c, 即3≤||≤5, 所以8≤||2-1≤24, 故·=||2-1的取值范围为[8,24]. 4.椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为bc,则椭圆的离心率为　　　　.  解析:设椭圆的右焦点为E(如图所示). 由椭圆的定义得△FAB的周长为 |AB|+|AF|+|BF| =|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|) =4a+|AB|-|AE|-|BE|. 因为|AE|+|BE|≥|AB|, 所以|AB|-|AE|-|BE|≤0,当且仅当AB过点E时取等号; 所以△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a, 所以△FAB的周长的最大值是4a; 此时△FAB的面积为=×2c×==bc, 整理得a=2b. 所以e====. 答案: 题型(三)　实际生活中的椭圆问题 [例3]　如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程.(精确到0.1 cm) 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为+=1(a>b>0). 在Rt△BF1F2中,|F2B| = =. 由椭圆的性质知,|F1B|+|F2B|=2a, 所以a=(|F1B|+|F2B|)=(2.8+)≈4.1,b==≈3.4.所以所求的椭圆方程为+=1. |思|维|建|模| 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 　　[针对训练] 5.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高h为6米(如图所示),路面设计是双向车道,车道总宽为8 米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽d至少应是多少米? 解:设椭圆方程为+=1,当点(4,4.5)在椭圆上时,+=1,解得a=16, ∵车辆高度不超过4.5米,∴a≥16,d=2a≥32, 故拱宽至少为32米. [课时检测] 1.椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则|PF|的最大值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:选D　由题意可得a=4,c==2, 则|PF|≤a+c=6.所以|PF|的最大值是6. 2.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于 (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 解析:选C　根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8, 所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16, 所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11. 3.已知地球运行的轨道是焦距为2c,离心率为e的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,则地球到太阳的最小距离为 (　　) A.ce-c B.2ce-2c C.-c D.-2c 解析:选C　因为地球椭圆轨道的焦距为2c,离心率为e, 所以由e=,得a=, 而太阳在这个椭圆的一个焦点上, 所以地球到太阳的最小距离为a-c=-c. 4.设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:选C　由椭圆C:+y2=1,可得a=,b=1,c=2,因为·=0,所以PF1⊥PF2,由题意可得 即|PF1|·|PF2| = ==2. 5.已知点F1,F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.2 解析:选C　设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0), ∴+=(-2x0,-2y0), ∴|+|= =2 =2. ∵点P在椭圆上,∴0≤≤1, ∴当=1时,|+|取得最小值2.故选C. 6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km,远地点B(离地心最远的一点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则 (　　) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 解析:选ABD　∵地球的中心是椭圆的一个焦点,结合图形可得 ∴(*).故A、B正确; 由(*),可得2a=m+n+2R,故C不正确; 由(*),可得(m+R)(n+R)=a2-c2. ∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R), ∴b=,故D正确. 7.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为|PF1|+|PF2|=2a=6　①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12　②,联立①②,解得|PF1|2+|PF2|2=21,由中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=2,解得|OP|=. 8.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 (　　) A.5 B.+ C.7+ D.6 解析:选D　设点Q的坐标为(m,n)(-1≤n≤1),因为圆心C(0,6),故|QC|=　①, 因为+n2=1　②, 联立①②,得|QC|=,因为-1≤n≤1, 故当n=-时,|QC|有最大值,最大值为5,所以|PQ|max=|QC|max+=6. 9.(5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=　　　　.  解析:由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2,所以=,由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4得到|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5. 答案:3∶5 10.(5分)椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为左、右焦点,B为短轴端点,若△BF1F2为钝角三角形,则e的取值范围是　　　　.  解析:如图所示,△BF1F2为钝角三角形, 则∠F1BF2>90°, 所以∠OBF2>45°, 所以|OF2|>|OB|, 即c>b,所以c2>b2=a2-c2, 所以>,又0<e<1,即<e<1. 答案: 11.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积是2,则|a|=　　　　.  解析:根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2|a|,由PF1⊥PF2,得△PF1F2为直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,又∵△PF1F2的面积为2,∴·|PF1|·|PF2|=2,则|PF1|·|PF2|=4,∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4c2+8,可得a2-c2=2=b2,由+=1可得b2=a2-4,所以a2-4=2,解得|a|=. 答案: 12.(5分)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.  解析:由+=1,知a=3,b=,∴c=, ∴|PF2|=2a-|PF1|=2, ∴cos∠F1PF2==-, 又∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°. 答案:120° 13.(10分)椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程. 解:设所求椭圆方程为+=1(a>b>0). ∵===,∴a=2b. ∴椭圆方程为+=1. 设椭圆上点M(x,y)到点P的距离为d, 则d2=x2+=4b2+y2-3y+=-3+4b2+3(-b≤y≤b), 令f(y)=-3+4b2+3. ①当-b≤-,即b≥时, =f=4b2+3=7, 解得b=1,∴椭圆方程为+y2=1. ②当-<-b,即0<b<时,=f(-b)=7,解得b=->,与b<矛盾. 综上所述,所求椭圆方程为+y2=1. 14.(10分)已知F1,F2分别为椭圆+=1 (0<b<10)的左、右焦点,P是椭圆上一点. (1)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值;(6分) (2)求|PF1|·|PF2|的最大值.(4分) 解:(1)由椭圆方程知+=1,a=10,c2=100-b2,则|PF1|+|PF2|=20, 由△F1PF2的面积为S=|PF1|·|PF2|·sin 60°=, 解得|PF1|·|PF2|=, 由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=400-256=144, 即100-b2=36,所以b2=64,即b=8. (2)由均值不等式得|PF1|·|PF2|≤=100, 当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立, 所以|PF1|·|PF2|的最大值为100. 15.(15分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成,半圆的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合,图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上. (1)建立适当的平面直角坐标系,求出半圆的方程和半椭圆的方程;(7分) (2)根据美学知识,当=0.6时达到最佳美观的效果,求达到最佳美观的效果时AB的长.(8分) 解:(1)以半圆的直径为x轴,圆心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 由已知,圆的半径为5,则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0). 椭圆的短半轴长b=5,=,又b2=a2-c2, 所以a2=100,b2=25, 所以半椭圆的方程为+=1(y≥0). (2)设第一象限内的点A的横坐标为m(0<m<5),则|AB|=2m,|AD|=+=3.由=0.6得=,解得m=,此时|AB|=. 学科网（北京）股份有限公司 $