8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 第八章 2027 课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些数学问题与简单的实际问题. 备考指导 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考命题的重点,高考中常以选择题或填空题的形式出现,难度中等,主要体现在位置关系的判断和应用,有时也与椭圆、双曲线、抛物线相融合. 本节常用的方法有几何法、代数法,要重视从方程组的角度分析与位置关系相关的问题,要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 问题思考1 在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么? 应注意判断这一定点与圆的位置关系:若点在圆上,则该点为切点,只有一条切线;若点在圆外,则有两条切线;若点在圆内,则没有切线. 问题思考2 当由两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确地判定两圆的位置关系? 不能,当两圆的方程组成的方程组有一解时,两圆有外切和内切两种情况;当方程组无解时,两圆有外离和内含两种情况. 1.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在直线的方程. 2.(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(　　) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　) (3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　　) (4)将两圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　　) (5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程为x0x+y0y=r2.(　　) √ × × × √ 2.若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则实数m的值为(　　) A.16 B.-4 C.-4或16 D.-7 3.若直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　) C D 4. 过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为(　　) A 由题意可知直线的斜率k=tan 45°=1,又直线过原点, 所以直线的方程为x-y=0.圆的方程可化为x2+(y-2)2=4, 则圆心为(0,2),半径r=2, 5.过点A(3,5)作圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为　　　　　.  5x-12y+45=0或x-3=0 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 直线与圆的位置关系及其应用 例1　(1)(多选)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 ABD 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 由已知得,圆心到直线的距离为=2,圆的半径为3,故直线与圆相交,圆上到直线的距离为1的点有3个. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为　　　　. 因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a的对称直线的方程为y-a=-x,即(3-a)x-2y+2a=0. 由题意得,圆心C(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径, 所以≤1,解得≤a≤. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.判断直线与圆的位置关系,若已知直线与圆的方程,或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法. 2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想,结合图形,利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 (1)(2025新高考Ⅰ,7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) B 由题意知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心到直线的距离d==2,要使圆上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-1<r<d+1,即1<r<3.故选B. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 BC 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 圆的切线与弦长问题 命题角度1 求圆的切线方程(切线长) 例2　(1)过点(2,0)作直线l与圆x2+y2-2x-6y+9=0相切,则直线l的方程为 (　　) A.4x+3y-8=0 B.4x+3y-8=0或x=2 C.x=2 D.x+2=0 B x2+y2-2x-6y+9=0可化为(x-1)2+(y-3)2=1,即圆的圆心为(1,3),半径r=1. 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2,此时直线l与圆相切. 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0, 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度2求弦所在直线的方程或弦长 例3　(1)若a,b,c为△ABC的三个内角所对的边,且csin C=3asin A+3bsin B,则直线l:ax-by+c=0被圆O:x2+y2=12所截得的弦长为(　　) C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,l的方程为(　　) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0 A 由已知得点(-2,3)在圆内,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 则圆心为(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为 当l⊥l1时,|AB|取得最小值,此时直线l的斜率为1, 因此直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上,则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线. 2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知圆O:x2+y2=5,则过点P(2,-1)的圆O的切线方程是　　　　　　. 2x-y-5=0 由题意可知点P在圆x2+y2=5上. 所以切线的斜率k=2,所以切线的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)已知三角形的三个顶点为O(0,0),M(6,0),N(8,4),过点(3,5)作其外接圆的弦,若最长弦与最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为　　　　　. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 圆与圆的位置关系及其应用 例4　(1)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为(　　) C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交所得公共弦所在直线的方程为 　　　　　　　　　　,其长度为　　　　　.  2x+4y-5=0 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸 (1)若把本例第(1)小题条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为　　　　　.  由圆C1与圆C2内切,得=1,即(a+b)2=1. 则ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,故ab的最大值为. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)若把本例第(1)小题条件中的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　.  相离 由两圆存在四条公切线,知两圆外离, 则>3, 故(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3. 所以圆心(a,b)到直线x+y-1=0的距离d=>1, 所以直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相离. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.判断两圆的位置关系通常用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.若用代数法,则要从方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论. 2.解决两圆位置关系中的含参数问题,有时需要将问题进行转化,注重数形结合思想的应用. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 (1)已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为(　　) A.3 B.1 C. D. B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　　　　　　　　.  2x+2y+5=0 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 未对曲线方程正确等价变形致错 典例1　若直线l:y=x+b与曲线 恰有两个公共点,则实数b的取值范围是　　　　　.  解题心得1.注意曲线方程的等价变形,尤其要明确含根式的取值范围,如上述典例中的曲线均为半圆. 2.求解两条曲线上的点之间的距离的最值,要灵活运用曲线的性质进行转化.如典例2中点P在半圆上,故应将问题转化为半圆上的点到直线的距离的最值问题求解. 位置关系 几何法 代数法 相交 d < r Δ > 0 相切 d = r Δ = 0 相离 d > r Δ < 0 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 位置关系 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1+r2 无解 外切 d=r1+r2 一组实数解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解 A.[-] B.[-2,2] C.[--1,-1] D.[-2-1,2-1] 圆C2的方程可化为(x-4)2+(y+4)2=32-m(m<32). 由两圆相切,可得|C1C2|==5=|1±|, 解得m=16或m=-4. 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为2,圆心C到直线l的距离d= 若直线l与圆C恒有公共点,则2,解得-2-1≤m≤2-1.故选D. A.2 B.3 C.4 D.8 所以圆心到直线x-y=0的距离d=, 所以所求弦长为2=2 圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心为C(1,2), ∵|CA|=>2,∴点A(3,5)在圆C外. 显然,当直线斜率不存在时,直线x=3与圆C相切,即切线方程为x-3=0. 当切线斜率存在时,可设所求切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0. 则圆心C到切线的距离d==2,解得k=,故切线方程为5x-12y+45=0. 综上所述,所求切线方程为5x-12y+45=0或x-3=0. 由已知得圆心C(0,0)到直线l的距离d= 若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|, 所以直线l与圆C相切,故A正确. 若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|, 所以直线l与圆C相离,故B正确. 若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|, 所以直线l与圆C相交,故C错误. 若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2, 所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确. []　 (2)已知圆O:x2+y2=1上恰有两个点到直线l:y=kx+1的距离为,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.[0,)∪() B.[0,)∪(,π) C.()∪() D.()∪(,π) 直线l:y=kx+1过定点P(0,1),圆心O到直线l的距离d= 如图,要使圆O:x2+y2=1上恰有两个点到直线l:y=kx+1的距离为, 需1,解得-<k< 故直线l的倾斜角的取值范围为[0,)∪(,π).故选B. (3)(多选)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值可以是(　　) A.-1 B.- C.0 D.1 由已知得圆心的坐标为(3,2),半径为2, 圆心到直线y=kx+3的距离为, |MN|=22,即1,解得-k≤0. 结合选项可知选BC. 则有=1,解得k=-,此时直线l的方程为4x+3y-8=0. 综上所述,直线l的方程为x=2或4x+3y-8=0. 设直线y=x+1上的一点为P,切点为Q,圆心为M, 则|PQ|为切线长,|MQ|为圆的半径, 即|MQ|=1,|PQ|= 要使|PQ|最小,只需|PM|最小,|PM|最小为圆心M到直线y=x+1的距离. 因为圆心M到直线y=x+1的距离d==2,所以|PM|min=2 所以|PQ|min= 故切线长的最小值为 A.4 B.2 C.6 D.5 由正弦定理及csin C=3asin A+3bsin B,可得c2=3(a2+b2). 因为圆O:x2+y2=12的圆心为O(0,0),半径为r=2, 所以圆心O到直线l的距离d= 所以直线l被圆O所截得的弦长为 2=2=6.故选C. k==-1. 对点训练2 (1)已知过点的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. x+y-2=0或x=1 由题意可知圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线l的距离为=1. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,显然圆心(0,0)到直线l的距离为1,满足题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0. 圆心(0,0)到直线l的距离为=1,解得k=- 所以直线l的方程为y-=-(x-1),即x+y-2=0. 综上所述,直线l的方程为x+y-2=0或x=1. 因为kOP==-, 20 设△OMN的外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由O(0,0),M(6,0),N(8,4), 得解得 因此圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=52,点(3,5)在圆内部. 由题意得|AC|=2×5=10,点(3,5)到圆心(3,4)的距离为1,则|BD|=2=4,且AC⊥BD, 故四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=10×4=20 A. B. C. D.2 由圆C1与圆C2外切,可得=2+1=3, 即(a+b)2=9.则ab, 当且仅当a=b=时,等号成立.故选C. 两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为2x+4y-5=0. 因为圆心(0,0)到该直线的距离d=, 所以公共弦长为2 由已知得两圆的标准方程为(x+2a)2+y2=4和x2+(y-b)2=1, 圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2,1. 因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,所以=2+1=3, 即4a2+b2=9,所以a2+b2=1, 所以=()(a2+b2)=+2=1, 当且仅当a2=,b2=3时,等号成立. 圆C的标准方程为(x+2)2+(y+2)2=3,圆心为C(-2,-2),半径为 因为过原点O作圆C的两条切线,切点分别为A,B, 所以|OA|=|OB|=,所以点A,B在圆x2+y2=5上. 所以直线AB为圆C:x2+y2+4x+4y+5=0与圆x2+y2=5的公共弦所在的直线. 由得2x+2y+5=0. 故直线AB的方程为2x+2y+5=0. 1-x= 答案:[0,-1) 解析:1-x=可化为(x-1)2+y2=1,其中1-x≥0,即x≤1, 该曲线是半径为1,圆心为(1,0)的半圆. 如图,当直线l与曲线相切于点A时,直线l与该曲线只有一个公共点; 当直线l过点O,B时,恰有两个交点,所以有解得0≤b<-1. 故实数b的取值范围是[0,-1). 典例2　已知点P是函数y=-的图象上的任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为　　　　　.  答案:-2 解析:函数y=-的图象是圆(x-1)2+y2=4位于x轴及x轴下方的半圆. 令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0, 故点Q在直线x-2y-6=0上. 如图,因为圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=>2, 所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,所以|PQ|的最小值为-2. $