8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心考点，依据高考评价体系明确判断位置关系、解决实际问题的考查要求。通过近三年考情分析（2023-2025年新课标卷及全国卷均有考查），梳理知识表格（几何与代数特征）、结论总结（切线、切点弦）及易错判断，归纳位置关系判断、弦长计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2025年全国一卷真题解析，通过几何法（弦心距、半径、半弦长关系）和代数法（联立方程求韦达定理）突破弦长问题，培养数学思维（推理、运算能力）与数学语言（模型应用意识）。提供分层训练与方法总结，助力学生掌握答题技巧，为教师提供系统复习资料，提升教学效率。

第八章　平面解析几何 8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 高三一轮数学 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷T6   全国一卷T7 新课标Ⅱ卷T15 新课标Ⅱ卷T10   必备知识　回顾 1.直线与圆的位置关系 设圆的半径为r(r>0),圆心到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系如下表所示. 1 知识梳理 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离 __ ______ 无实数解 0 d>r 必备知识 回顾 返回 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相切 __ d=r __________实数解 相交 2 ______ __________实数解 1 两组相同的 d<r 两组不同的 必备知识 回顾 返回 2.圆与圆的位置关系 位置 关系 图示 (R>r) 公共点 个数 公切线 条数 几何特征 (|O1O2|=d) 两个圆的方程组成的方程组的解 外离 0 4 __________ 无实数解 外切 1 3 __________ 两组相同的实数解 d>R+r d=R+r 必备知识 回顾 返回 位置 关系 图示 (R>r) 公共点 个数 公切线 条数 几何特征 (|O1O2|=d) 两个圆的方程组成的方程组的解 相交 2 2 R-r< d<R+r 两组不同的实数解 内切 1 1 __________ 两组相同的实数解 内含 0 0 __________ 无实数解 d=R-r d<R-r 必备知识 回顾 返回 与切线、切点弦有关的结论 (1)已知圆O1:x2+y2=r2; 圆O2:(x-a)2+(y-b)2=r2; 圆O3:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①若点M(x0,y0)在圆上,则过M的切线方程分别为x0x+y0y=r2;(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;x0x+y0y+D·+F=0. ②若点M(x0,y0)在圆外,过点M引圆的两条切线,切点分别为M1,M2,则切点弦(两切点的连线)所在直线的方程分别为x0x+y0y=r2;(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;x0x+y0y+D·+F=0. 知识拓展 必备知识 回顾 返回 (2)圆x2+y2=r2的斜率为k的两条切线方程为y=kx±r. (3)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引圆的切线,T为切点,切线长公式为|MT|=. (4)若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交或相切(外切或内切),则相对应的两圆的公共弦、在公切点处的公切线所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　 　) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　 　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有两组相同的实数解,则直线与圆相切. (　 　) (4)“k=0”是“直线x+y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件. (　 　) 基础检测 × × √ × 必备知识 回顾 返回 2.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是 (　 　) A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能 解析:圆C的圆心坐标为(1,0),半径为2,直线l的方程为x-y+1=0,圆心到直线l的距离为<2,所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选A. A 必备知识 回顾 返回 3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线l:x+2y+4=0被圆C:(x-3)2+(y+1)2=9截得的弦长为 (　 　) A.2 B.2 C.4 D.2 解析:圆C:(x-3)2+(y+1)2=9,所以圆心C(3,-1),半径r=3,所以弦心距d=,所以弦长l=2=4.故选C. C 必备知识 回顾 返回 4.(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)圆x2+y2=1与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是( 　 　) A.相交 B.外切 C.外离 D.内含 解析:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,可知两圆圆心距为2,恰好等于两圆半径之和,所以两圆外切.故选B. B 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 直线与圆的位置关系 命题角度1　直线与圆位置关系的判断 【例1】　(1)(2025·北京海淀区三模)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:mx-y-2m=0,则直线l与圆C的公共点个数为 (　 　) A.0 B.1 C.2 D.与m的取值有关,不能确定 C 关键能力 提升 返回 【解析】　由直线l的方程可化为m(x-2)-y=0,则直线l恒过定点A(2,0),圆C的圆心为(1,2),半径为5,而|AC|=<5,所以点A在圆C内,故直线l恒与圆C相交,故有2个交点.故选C. 关键能力 提升 返回 (2)已知直线y=kx-2与圆C:(x-1)2+(y-1)2=1有公共点,则k的最小值为(　 　) A. C. 【解析】　由题可知,直线与圆有公共点,故圆心C(1,1)到直线y=kx-2的距离d小于或等于半径1,即≤1,解得k≥,则k的最小值为.故选C. C 关键能力 提升 返回 判断直线与圆的位置关系的常用方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断. (2)代数法:联立方程并消元后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判定直线与圆相交. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度2　弦长问题 【例2】　已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则实数k的取值范围为 (　 　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B. C. D.[-,] C 关键能力 提升 返回 【解析】　圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心坐标为(2,3),半径r=2,当弦长|AB|=2时,弦心距d==1,若|AB|≥2,则d≤1,即≤1,解得k∈.故选C. 关键能力 提升 返回 直线被圆截得的弦长的两种求法 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度3　切线问题 【例3】　过点P(2,4)引圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为_________________. 【解析】　易知点P在圆C外,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即d==1,解得k=,所以所求切线方程为=0,即4x-3y+4=0.综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=0. x=2或4x-3y+4=0 关键能力 提升 返回 求过某点的圆的切线的方法 (1)确定点与圆的位置关系,再求切线方程. (2)若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线. 注意:①圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立等量关系解决问题.②验证斜率不存在时是否满足题意. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度4　直线与圆的最值(范围)问题 【例4】　已知直线l:x-y-2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,则∠APB的最大值为 (　 　) A. C. C 关键能力 提升 返回 【解析】　由题意可知圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,则圆心O到直线l的距离为>1,可知直线l与圆O相离,如图所示.因为∠APB=2∠APO,且sin∠APO=, 所以当|OP|最小时,sin∠APO最大,可得∠APO最大,即∠APB最大,又因为|OP|的最小值即为圆心O到直线l的距离,此时sin∠APO=,∠APO=,所以∠APB取得最大值.故选C. 关键能力 提升 返回 直线与圆的位置关系的问题中,对于与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数,利用求函数值域的方法求得结果. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)(2025·北京大兴区三模)已知直线l:x+y-1=0与圆C:(x+1)2+(y-2)2=4,则( 　 　) A.l与C相离 B.l与C相切 C.l平分C D.l与C相交但不平分C 解析:已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为(-1,2),半径为2,圆心到直线l的距离d==0,即直线经过圆心.故选C. C 关键能力 提升 返回 (2)(2025·江西萍乡二模)过点P(3,1)作圆C:x2+y2+2x+4y-4=0的切线,记其中一个切点为A,则|PA|= (　 　) A.16 B.4 C.21 D. 解析:圆C:(x+1)2+(y+2)2=9的圆心C(-1,-2),半径r=3,则|PC|==5,所以|PA|==4.故选B. B 关键能力 提升 返回 (3)在平面直角坐标系xOy中,已知直线kx-y-k+1=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 　) A. C.2 解析:直线方程kx-y-k+1=0可化为k(x-1)-y+1=0,令所以直线过定点P(1,1),圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,当OP⊥AB时,|AB|有最小值,如图所示, 即圆心到直线的距离的最大值dmax=|OP|=,所以|AB|min=2,所以|AB|的最小值为2.故选C. C 关键能力 提升 返回 (4)(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:x+2y+2=0,M为直线l上的动点,过点M作圆C的切线MA,MB,切点分别为A,B,当四边形MACB的面积取最小值时,直线AB的方程为___________. x+2y+1=0 关键能力 提升 返回 解析:圆C:x2+y2-2x-2y-2=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心C(1,1),半径r=2.连接CM(图略),则四边形MACB的面积S=2S△CAM=|CA||AM|=2|AM|=2,要使四边形MACB的面积最小,则需|CM|最小,此时CM与直线l垂直.易得直线CM的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立,得得M(0,-1),则|CM|=,则以CM为直径的圆的方程为,与圆C的方程作差,可得直线AB的方程为x+2y+1=0. 关键能力 提升 返回 考点2 圆与圆的位置关系 【例5】　(多选)(2025·贵州毕节二模)已知圆O:x2+y2=4,圆C:x2+y2+2y+a=0,则( 　 　) A.当a=0时,圆O与圆C内切 B.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且直线MN的方程为y=- C.当0<a<1时,圆O与圆C相交 D.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2 AB 关键能力 提升 返回 【解析】　圆C:x2+(y+1)2=1-a,则a<1,圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心C(0,-1),半径r2=,则|OC|=1,r1+r2=2+,|r1-r2|=|2-|.对于A,当a=0时,r1+r2=3,|r1-r2|=1,则|OC|=|r1-r2|,故两圆内切,故A正确;对于B,D,当a=-3时,r1+r2=4,|r1-r2|=0,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,故两圆相交,又圆O与圆C的半径相等,所以两圆圆心O(0,0),C(0,-1)关于直线MN对称,故直线MN的方程为y=-,圆心O到直线MN的距离为,则|MN| =2×,故B正确,D错误;对于C,若两圆相交,则|r1-r2|<|OC| <r1+r2,即|2-,解得-8<a<0,故C错误.故选AB. 关键能力 提升 返回 1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有(　 　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=22,则圆心坐标为(2,0),半径为2;由x2+y2+4x+3=0,得(x+2)2+y2=12,则圆心坐标为(-2,0),半径为1.故两圆的圆心距为4,半径之和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.故选D. D 关键能力 提升 返回 (2)(2025·山东泰安二模)已知直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1和圆(x+1)2+(y+1)2=36均相切,则l的方程为 (　 　) A.x+2y-23=0 B.x+2y+23=0 C.3x+4y-23=0 D.3x+4y+23=0 C 关键能力 提升 返回 解析:圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为M(2,3),半径R1=1,圆(x+1)2+(y+1)2 =36的圆心为N(-1,-1),半径R2=6.因为|MN|==5=R2-R1,所以两个圆内切,因此与两圆均相切的直线l有且只有一条,其方程为(x+1)2+(y+1)2-(x-2)2-(y-3)2=36-1,整理得l:3x+4y-23=0.故选C. 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 (2025·全国一卷)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　 　) A.(0,1)　　　　　　　　　　B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) (人教A版选择性必修第一册P99习题2.5T13)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b,b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1? 考教衔接 B 关键能力 提升 返回 高考真题 　 解析:圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心E(0,-2),半径为r,则圆心E(0,-2)到直线y==2,如图,当r=1时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有一个点(点A)到直线y=x+2的距离等于1,当r=3时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有三个点(点B,C,D)到直线y=x+2的距离等于1,则r的取值范围为(1,3)时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=x+2的距离等于1.故选B. 关键能力 提升 返回 课时作业58 1.(5分)(2025·浙江温州三模)已知圆x2+y2=1和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有公共点,则r的取值范围为 (　 　) A.[2,+∞) B.[2,4] C.[3,4] D.[1,4] 解析:由题意得|r-1|≤3≤r+1,解得2≤r≤4.故选B. 基础巩固 B 返回 课时作业 2.(5分)(2025·天津红桥区二模)已知直线l:kx-y-1=0(k≠0)与圆C:x2+y2-4x+3=0相切,则k=(　 　) A. C. 解析:圆C:x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,可得圆心C(2,0),半径r=1,依题意可知圆心C(2,0)到直线l的距离d==1,又k≠0,所以k=.故选D. D 返回 课时作业 3.(5分)(2025·浙江绍兴二模)直线x=2被圆(x-1)2+(y-2)2=5截得的弦长为(　 　) A.2 B.4 C.2 解析:圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径r=,又圆心(1,2)到直线x=2的距离d=|2-1|=1,所以弦长为2=4.故选B. B 返回 课时作业 4.(5分)已知直线mx+y-2=0与圆C:x2+y2+2x-3=0交于A,B两点,若|AB|=2,则m的值为 (　 　) A.1± C.3± B 返回 课时作业 解析:圆C:x2+y2+2x-3=0的标准方程为(x+1)2+y2=4,圆心为C(-1,0),半径r=2.因为|AB|=2,所以圆心C到直线AB的距离d=.因为直线AB:mx+y-2=0,C(-1,0),所以d=,解得m=2±.故选B. 返回 课时作业 5.(5分)已知圆C:x2+y2-4y+2=0,直线l:x-y+1=0,则圆上到直线的距离等于的点的个数为(　 　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:由C:x2+y2-4y+2=0,可得x2+(y-2)2=2,所以圆心C的坐标为(0,2),半径为,所以圆心C到直线l:x-y+1=0的距离d=,所以圆C与直线l相交,且圆C上与直线l的距离等于的点共有3个.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)过圆O:x2+y2=4外一点P(3,4)作圆O的切线,切点分别为A,B,则|AB|=(　 　) A. C. A 返回 课时作业 解析:如图,由题意知|OA|=|OB|=2,PA⊥OA,PB⊥OB,|OP|==5,所以|AP|=,根据圆的对称性易知OP⊥AB,则×|OA|×|AP|×2,解得|AB|=.故选A. 返回 课时作业 7.(5分)(2025·浙江宁波三模)已知点M(a,0),N(2,3)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条,则a的取值范围为 (　 　) A.(-2,0) B.(-2,6) C.(0,6) D.(2,6) 解析:以M(a,0)为圆心,2为半径的圆为(x-a)2+y2=4,以N(2,3)为圆心,3为半径的圆为(x-2)2+(y-3)2=9,若符合题设的直线恰有2条,则上述两圆相交,又|MN|=,所以由1<|MN|<5⇒1<<5,可得1<(2-a)2+9<25,所以-4<2-a<4⇒-2<a<6.故选B. B 返回 课时作业 8.(5分)(2026·北京延庆区一模)已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为 (　 　) A.4　　　 B.5 C.6　　　 D.7 C 返回 课时作业 解析:以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2,圆心为原点,半径r1=m.圆C:(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4,3),半径r2=1.要使圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则圆O与圆C有公共点,所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|,即|m-1|≤≤|m+1|,所以解得4≤m≤6,所以m的最大值为6.故选C. 返回 课时作业 9.(8分,多选)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=x+1,则(　 　) A.直线l在y轴上的截距为1 B.直线l的倾斜角为 C.直线l与圆C有2个交点 D.圆C上的点到直线l的最大距离为 ABC 返回 课时作业 解析:对于A,直线l:y=x+1,当x=0时,y=1,直线l在y轴上的截距为1,故A正确;对于B,直线l的斜率为1,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=1,故θ=,所以直线l的倾斜角为,故B正确;对于C,圆C的圆心为(0,0),半径为1,则圆心到直线的距离d=<1,所以直线l与圆C相交,所以直线l与圆C有2个交点,故C正确;对于D,由C可知,圆C上的点到直线l的最大距离为+1,故D错误.故选ABC. 返回 课时作业 10.(8分,多选)(2026·山东潍坊一模)已知点P(2,2),圆C:x2+y2=18,则(　 　) A.点P在圆C内 B.点P与圆C上的点之间的最大距离为6 C.以P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0 D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为 AC 返回 课时作业 解析:对于A,因为22+22=8<18,所以点P在圆C内,故A正确;对于B,圆C的圆心为(0,0),半径r=3,则|PC|=,所以点P与圆C上的点之间的最大距离为2,故B错误;对于C,由kOP==1,可知以P为中点的弦所在直线的斜率k=-1,故以P为中点的弦所在直线的方程为y-2=-(x-2),即x+y-4=0,故C正确;对于D,由圆的性质可知,当过P的弦与OP垂直时,所得弦长最短,此时弦长为2,故D错误.故选AC. 返回 课时作业 11.(8分,多选)已知直线l:kx-y-2k+2=0,圆C:(x-1)2+y2=1,下列结论正确的是(　 　) A.直线l与圆C总有公共点 B.点C到直线l的距离的最大值为 C.若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)与圆C有交点,则r的取值范围是[4,6] D.当k变化时,若过直线l上任意一点总能作圆C的切线,则实数k的取值范围为 BC 返回 课时作业 解析:对于A,圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0)到直线l:kx-y-2k+2=0的距离d=,圆C的半径r1=1,令≤1,解得k≥,此时直线l与圆C总有公共点,故A错误;对于B,直线l:kx-y-2k+2=0恒过定点A(2,2),则圆心C(1,0)到直线l的距离的最大值为|AC|=,故B正确;对于C,圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为r1=1,圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)的圆心为M(4,4),半径为r,|CM|==5,因为圆C与圆M有交点,所以|r-r1|≤|CM|≤r+r1,即|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6, 返回 课时作业 即r的取值范围是[4,6],故C正确;对于D,当k变化时,若过直线l上任意一点总能作圆C的切线,则直线和圆C相离或相切,所以圆心C(1,0)到直线l:kx-y-2k+2=0的距离d=≥1,解得k≤,所以实数k的取值范围为,故D错误.故选BC. 返回 课时作业 12.(3分)(2026·北京丰台区一模)已知直线x-y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)有且仅有一个公共点,则r=. 解析:由题意得,直线x-y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)相切,圆心为(0,0),半径为r,则=r,所以r=. 返回 课时作业 13.(3分)(2025·湖北黄冈二模)已知方向向量为(1,2)的直线l与圆x2+y2=5相切,则l的方程为____________. 解析:圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为,因为直线l的方向向量为(1,2),所以设直线方程为y=2x+c,即2x-y+c=0,又直线l与圆x2+y2=5相切,所以圆心到直线的距离为,解得c=±5,所以直线方程为y=2x±5. y=2x±5 返回 课时作业 14.(4分)直线y=k(x-1)与圆(x-2)2+(y-1)2=r2交于A,B两点,若|AB|的最大值为4,则|AB|的最小值为_____. 解析:因为直线y=k(x-1)与圆(x-2)2+(y-1)2=r2交于A,B两点,所以当|AB|的值最大时,其为圆的直径,而|AB|的最大值为4,得到r=2,则圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心到直线的距离为d,如图,记圆心C(2,1),直线y=k(x-1)必过定点P(1,0),由圆的性质得,当CP⊥AB时,圆心C到直线AB的距离d最大,此时|AB|的值最小,由斜率公式得kCP==1,此时kAB=-1,由题意得直线AB的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0,由点到直线的距离公式得d=,由勾股定理得()2+=4,解得|AB|=2.综上可得,|AB|的最小值为2. 2 返回 课时作业 15.(8分,多选)(2025·广东广州二模)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),其“欧拉线”为l,圆M:(x-a)2+y2=1,则(　 　) A.过A作圆M的切线,切点为P,则|AP|的最小值为4 B.若直线l被圆M截得的弦长为2,则a=-1 C.若圆M上有且只有两个点到l的距离为1,则-1-2 D.存在a,使圆M上有三个点到l的距离都为1 BC 素养提升 返回 课时作业 解析:由题意,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2), C(1,0),在圆M:(x-a)2+y2=1中,圆心M(a,0),半径r=1,则|AM|==.对于A,过A作圆M 的切线,切点为P,如图所示,则AP⊥PM,∴|AP|== ,∴当a=3时,|AP|取得最小值,|AP|min=,故A错误;对于B,△ABC的重心为G,即G(1,2),AB所在直线l1:y-4=(x-3),即y=,线段AB的中点 返回 课时作业 D(1,3),∴线段AB的垂直平分线的方程为y=-2x+5,同理可得,线段AC的垂直平分线的方程为y=-x+3,由, ∵l过G(1,2)和E,∴l:y-2=(x-1),即y=x+1,∵直线l被圆M截得的弦长为2,恰好为圆的直径,∴直线l过圆心M(a,0),∴a+1=0,即a=-1,故B正确;对于C,圆M上有且只有两个点到l的距离为1,∴圆心M(a,0)到直线l:y=x+1即x-y+1=0的距离小于直径,∴<2,解得-2-1,故C正确;对于D,由几何知识得,圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1,故D错误.故选BC. 返回 课时作业 16.(8分,多选)(2025·湖北黄冈二模)四照花美观而鲜艳,具有清热解毒、收敛止血的功能.曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|(x,y不同时为0)的轨迹和四照花颇为相似,下列说法正确的是(　 　) A.曲线C所表示的图形有4条对称轴 B.能完全覆盖曲线C的最小圆的面积为8π C.直线x+y-5=0是曲线C与圆D:x2+y2-6y+7=0的公切线 D.若P为曲线C上第一象限的点,直线l:2x+3y-6=0与坐标轴交于E,F两点,则不存在点P使得∠EPF为直角 ABD 返回 课时作业 解析:对于A,设(x,y)为曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|(x,y不同时为0)上任意一点,将(-x,y),(x,-y),(y,x),(-y,-x)分别代入方程x2+y2=2|x|+2|y|,显然均满足,所以曲线关于直线x=0,y=0,y=x,y=-x均对称,故A正确;对于B,当x≥0,y≥0(x,y不同时为0)时,x2+y2-2x-2y=0,再结合A中对称性, 可得曲线如图,在第一象限,可知曲线对应的圆的圆心坐标为(1,1),半径为,所以 返回 课时作业 曲线在第一象限内的点到原点的距离的最大值为,所以能完全覆盖曲线C的最小圆,应该是以(0,0)为圆心,2为半径的圆,其面积为8π,故B正确;对于C,在第一象限,可知曲线对应的圆的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x+y-5=0的距离为,所以直线x+y-5=0与曲线C不相切,故C错误;对于D,不妨令E(3,0),F(0,2),则以EF为直径的圆的圆心坐标为,半径为,所以该圆的方程为+(y-1)2=,即x2+y2-3x-2y=0,当x>0,y>0时,曲线C:x2+y2-2x-2y=0,两方程相减可得x=0,不满足x>0,所以不存在点P使得∠EPF为直角,故D正确.故选ABD. 返回 课时作业 本课结束 $