8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 第八章　平面解析几何 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 课标要求 1.直线与圆的位置关系 设圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l:Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d.由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 3 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0 几何观点 d____r d____r d____r < = > > = < 4 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1:(x－x1)2＋(y－y1)2＝， C2:(x－x2)2＋(y－y2)2＝， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系: 5 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 __________ __________ _____________ _________ __________ 图示 公切线 条数 4 0 2 1 3 d>r1+r2 d<|r1-r2| |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d=r1+r2 6 3.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝____________. (2)代数法:设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 2 7 常用结论与微点提醒 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 8 常用结论与微点提醒 2.设圆C1:x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2:x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， (1)若两圆相交，两式相减得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程. (2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程. 9 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)过圆上一点的直线必与圆相交.(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆有两条公切线.(　　) (4)过圆O:x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (1)过圆上一点的直线与圆相切或相交;(2)除外切外，还可能内切;(3)两圆可能相交、内切或内含，公切线条数分别为2条、1条与0条. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × × × 10 2.(苏教选修一P66T2原题)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 B 由题意可得<1， 即a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外. 11 3.(北师大选修一P36T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1，2)处的切线方程为(　　) A.x－2y＋3＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x＋2y－5＝0 D.2x－y－4＝0 C 圆心为O(0，0)，kOP＝2，故切线的斜率为－， 故切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 12 4.(人教A选修一P98T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为　　　　.  ∵(x2＋y2－4)－(x2＋y2－4x＋4y－12)＝4x－4y＋8＝0， 即x－y＋2＝0，为两圆的公共弦所在直线方程， 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，到直线x－y＋2＝0的距离d＝， ∴公共弦长d＝2＝2. 2 13 例1 (1)(2026·湖北八市联考)已知圆C:(x－1)2＋y2＝1和直线l:y＝kx－，则“k>”是“直线l与圆C有公共点”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B 考点一　直线与圆的位置关系 法一(代数法)　联立(x－1)2＋y2＝1与y＝kx－的方程，消去y得(k2＋1)x2－2(k＋1)x＋3＝0， 由Δ≥0解得k≥，所以“k>”是“直线l与圆C有公共点”的充分不必要条件. 法二(几何法)　圆C:(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径r＝1， 若直线l与圆C有公共点，则圆心C到直线l的距离d＝≤r＝1，解得k≥， 所以“k>”是“直线l与圆C有公共点”的充分不必要条件. (2)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax＋by－r2＝0与圆C:x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 ABD 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝.若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确; 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确; 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误; 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确. 感悟提升 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系; (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断; (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 训练1 (1)直线l:mx－y＋1－m＝0与圆C:x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 A 法一(代数法) 由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交. 法二(几何法)　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d＝<1<＝r， 所以直线l与圆相交. 法三(定点法)　直线l:mx－y＋1－m＝0， 整理得m(x－1)－y＋1＝0过(1，1)， 而12＋(1－1)2<5， 即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是　　　　.  由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A'(－2，2a－3)， 所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0. 由题意知直线A'B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点， 易知圆心为(－3，－2)，半径为1， 所以≤1， 整理得6a2－11a＋3≤0， 解得≤a≤， 所以实数a的取值范围是. 角度1　弦长问题 例2 (2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C:(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　　　　　　　　　　　　.  考点二　圆的弦长、切线问题 设直线x－my＋1＝0为直线l， 由条件知☉C的圆心为C(1，0)，半径r＝2， 则圆心C到直线l的距离d＝， 2(答案不唯一,可以是±,±2中任意一个) |AB|＝2＝2＝. 由S△ABC＝，得××， 整理得2m2－5|m|＋2＝0， 解得m＝±2或m＝±，故答案可以为2. 角度2　切线问题 例3 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程; 由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上. 又kPC＝＝－1， ∴切线的斜率k＝－＝1. ∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0. (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长. ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意， ∴直线x＝3是圆C的切线. 当切线的斜率存在时， 设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝， ∴过点M的圆C的切线长为＝1. 角度3　最值(范围)问题 例4 (2026·南京调研)已知点P为直线l:x＋y－2＝0上的一点，过点P作圆C: (x＋1)2＋(y＋1)2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为(　　) A. B. C. D. A 由题意可得AC⊥PA， 即∠PAC＝90°， 所以cos∠PCA＝， 设圆心C到直线l的距离为d， 则|PC|≥d＝＝2， 故cos∠PCA＝≤， 所以cos∠PCA的最大值为. 感悟提升 1.对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条;两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误. 2.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条;若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 3.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 训练2 (1)(2025·天津卷)l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝　　　　.  2 因为直线l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B， 所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6. 因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2. 圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)， 圆心到直线l1的距离d＝， 所以r＝＝2. (2)(2026·石家庄质检)若圆M:(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7，5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|的值为　　　.  如图，因为圆M的方程为(x－1)2＋(y－m)2＝25， 所以M(1，m)，圆M的半径r＝5. 又直线3x－4y－7＝0被圆M截得的弦长为10， 所以此直线过圆心M，所以3－4m－7＝0， 解得m＝－1，即M(1，－1). 连接PM，AM，因为P(－7，5)，且PA与圆M相切于点A， 所以|PA|＝＝＝5. 5 1.教材母题 (1)(人教A选修一P103T20)已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0. ①求证:直线l过定点; ②直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长. (2)(人教B选修一P121T5)求经过圆(x－2)2＋y2＝16内一点(1，1)且被圆截得弦长最短的直线的方程. 最短弦问题 教考衔接 2.过圆内一定点的直线所形成的弦中最长的为直径，最短的为与该条直径垂直的弦，此时定点恰为最短弦的中点，命题时往往给出定点或含参数的初直线(挖掘定点)，进而求解最短弦长或其所在直线的方程. 典例 (2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.2 C 因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a代入直线， ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，直线过点P(1，－2). 圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且P在圆C内. 因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值， 易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝2＝4. 例5 已知两圆C1:x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2:x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; 考点三　圆与圆的位置关系 ∵C1:(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆心C1(1，3)，半径r1＝; C2:(x－5)2＋(y－6)2＝16，圆心C2(5，6)，半径r2＝4. ∴|C1C2|＝＝5， ∵4－<|C1C2|＝5<4＋， ∴圆C1和圆C2相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0. 圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离 d＝＝3， 由此可得公共弦的长 l＝2＝2＝2. 感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 训练3 (1)(2026·东北四市调研)已知直线x＋2y－6＝0与x，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，不重合的两点M，N满足|OM|＝|ON|＝2，|MA|＝2|MB|，|NA|＝2|NB|，则直线MN的方程为(　　) A.x－2y＋1＝0 B.x－2y－1＝0 C.x＋2y－1＝0 D.x＋2y＋1＝0 A 由题得A(6，0)，B(0，3)，设M(x，y)， ∵|OM|＝2，∴点M在圆O:x2＋y2＝4上. ∵|MA|＝2|MB|， ∴(x－6)2＋y2＝4[x2＋(y－3)2]， 整理得x2＋y2＋4x－8y＝0， ∴点M在圆x2＋y2＋4x－8y＝0上， 同理可得点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，由两圆方程作差可得x－2y＋1＝0， 即直线MN的方程为x－2y＋1＝0，故选A. (2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则 k的最大值是　　　　.  圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1， 则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆. 若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， 则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2， 即≤2，解得0≤k≤，即k的最大值为. 一、单选题 1.已知圆O1:(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2:(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 C 根据题意得圆O1的圆心O1(1，－2)，半径为3，圆O2的圆心O2(－2，－1)，半径为4，圆心距|O1O2|＝， 因为4－3<<4＋3，所以两圆相交. 2.已知圆O:x2＋y2＝4，直线l:y＝kx＋2与圆O恰有一个公共点，则k的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D. B ∵直线l:kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，∴直线l与圆O相切， 法一　圆O:x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为2， ∴圆心到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0. 法二　由直线l:y＝kx＋2过定点M(0，2)， 由M在圆O:x2＋y2＝4上，直线与圆O相切， 故点M即为切点，故直线l⊥OM，即斜率k＝0. 3.(2026·厦门质检)直线l:x－y＝0被圆C:(x－1)2＋y2＝1所截得的弦长为(　　) A.1 B. C. D.2 A 法一(几何法)　由题知，圆心C(1，0)，半径r＝1，点C到直线l:x－y＝0的距离d＝， 所以所求弦长为2＝2＝1.故选A. 法二(代数法)　联立 消去y并整理得x(2x－1)＝0， 解得x1＝0，x2＝， 所以直线l与圆C交于A(0，0)，B两点. 所以|AB|＝1.故选A. 4.圆C:x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过的定点为(　　) A.(－2，1)，(2，－1) B.(－1，－2)，(2，1) C.(－1，－2)，(1，2) D.(－2，－1)，(2，1) D 圆C:x2＋y2＋ax－2ay－5＝0的方程化为a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0， 由 故圆C恒过定点(－2，－1)，(2，1). 5.(2026·南昌模拟)直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，O为坐标原点，若|OA|＝，则|OB|＝(　　) A. B. C. D. C 法一　联立消去y并整理， 得5x2－2x－3＝0，解得x＝1或x＝－，故A(1，2)，B， 所以|OB|＝. 法二　圆的方程x2＋y2－2x－3＝0可化为(x－1)2＋y2＝4， 则其圆心为点(1，0)，半径为2， 则圆心到直线y＝2x的距离为， 故|AB|＝2， 所以|OB|＝|AB|－|OA|＝. 6.(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3)　 C.(3，＋∞) D.(0，＋∞) B 易得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2. 若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个， 则d－1<r<d＋1，即1<r<3，故选B. 7.过点E(a，－1)向圆M:(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则(　　) A.a＝2或a＝－1 B.a＝－2或a＝1 C.a＝－3或a＝1 D.a＝3或a＝－1 D 圆M:(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心M(1，1)，半径r＝， 连接AM，ME，依题意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝， 则|EM|＝2|AM|＝2， 于是＝2， 整理得a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1. 二、多选题 8.(2026·贵阳七校联考)已知直线l:kx＋y＋2k－1＝0与圆C:x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　 　) A.直线l恒过某一定点 B.当k＝1时，|AB|取得最大值 C.|AB|的最小值为4 D.当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点 ACD 直线l:kx＋y＋2k－1＝0，整理为k(x＋2)＋y－1＝0，不管k为何值， 直线l始终过点D(－2，1)，A正确; D(－2，1)在圆C内，当l过圆C的圆心C时，|AB|取得最大值，为直径. 当k＝1时，直线l的方程为x＋y＋1＝0，它不过圆C的圆心C(0，3)，B错误; 如图，连接CD，当l⊥CD时，|AB|取得最小值. 圆C:x2＋(y－3)2＝16的半径r＝4，|CD|＝＝2， 所以|AB|min＝2＝4，C正确; 当k＝2时，直线l:2x＋y＋3＝0，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0， 即x2＋y2－6y－7＋λ(2x＋y＋3)＝0，显然该曲线过直线l与圆C的交点，D正确. 9.(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　 　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 ACD 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋， 又4＋<5＋＝10，故A正确; 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4， 又－4<－4＝1，故B不正确; 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时， 点P与N重合， |PB|＝＝3;当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确. 三、填空题 10.(2026·昆明质检)已知点A(4，0)，B(2，2)，若直线l过O(0，0)且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为　　　　.  因为直线l过点O(0，0)，且平分△OAB的面积， 则直线l过线段AB的中点M. 因为A(4，0)，B(2，2)，所以M(3，1)， 所以直线l的方程为y＝x，即x－3y＝0. 设线段OA的中点为N，则N(2，0)， 则有|BN|＝|ON|＝|NA|＝2， 所以△OAB的外接圆是以N(2，0)为圆心，r＝2为半径的圆， 即圆N的方程为(x－2)2＋y2＝4，点N到直线l的距离d＝， 所以直线l被△OAB的外接圆截得的弦长为2＝2. 11.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1:x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为　　　　　　　.   由定义可知，mx＋ny＝1与x2＋y2＝1相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx＋ny ＝1的距离等于1，则d＝＝1，m2＋n2＝1. m2+n2=1 12.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4， x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一,只需写出上述三个 方程中的一个即可) 　　　　　　　　　. 所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2， 所以两圆外切，公切线有三种情况: ①易知公切线l1的方程为x＝－1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x， 由 由对称性可知公切线l2过点. 设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)， 则点O(0，0)到l2的距离为1， 所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋(x＋1)， 即7x－24y－25＝0. ③还有一条公切线l3与直线l:y＝x垂直， 设公切线l3的方程为y＝－x＋t， 易知t>0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝， 解得t＝或t＝－(舍去)， 所以公切线l3的方程为y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0. 综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 四、解答题 13.已知两圆C1:x2＋y2＋2x－6y＋1＝0和C2:x2＋y2－6x－12y＋m＝0. (1)当m取何值时两圆外切? 由已知可得两个圆的标准方程分别为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，(x－3)2＋(y－6)2＝45－m，两圆的圆心距d＝＝5，两圆的半径之和为3＋，由两圆的半径之和为3＋＝5，可得m＝41. (2)当m＝－9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 当m＝－9时，两圆的方程分别为x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，x2＋y2－6x－12y－9＝0，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y＋5＝0.第一个圆的圆心(－1，3)到公共弦所在直线的距离为d＝＝2，可得公共弦的长为2＝2. 14.已知圆C:(x－3)2＋(y－4)2＝4. (1)若直线l:(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明:无论m为何值，直线l都与圆C相交; 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0， 可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0， 所以直线l恒过点(2，3)， 由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4， 得点(2，3)在圆内，即直线l恒过圆内一点， 所以无论m为何值，直线l都与圆C相交. (2)若过点P(1，0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程. 由C的圆心为(3，4)，半径r＝2， 易知此时直线m的斜率存在且不为0， 故设直线m的方程为x＝ny＋1(n≠0)， 直线m的一般方程为ny－x＋1＝0， 圆心到直线m的距离d＝， 所以|AB|＝2＝2， 所以S2＝＝·， 令t＝，可得S2＝4t－t2， 当t＝2时，＝4，所以△ABC面积的最大值为2， 此时由2＝，得7n2－8n＋1＝0， 得n＝1或n＝，符合题意， 此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. 由 $