三角函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

三角函数专题训练 课堂训练 1．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果. 【详解】因为， 而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可， 故选：A. 2．当时，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】通过取特殊值，结合正弦函数和余弦函数的单调性排除错误选项，由此确定正确选项. 【详解】由题意可知，对于选项A，当时，，，且，所以，故选项A错误；对于选项C，当时，，，则选项C错误；对于选项D，当时，，，则选项D错误；排除ACD， 故选：B. 3．（多选）已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是（ ） A. 是其中一个对称中心 B. C. 在上单调递增 D. 【答案】AD 【分析】先根据条件求出和的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心方程可判断A；由的值可判断B；求的单调递增区间可判断C；将代入计算可判断D，进而可得正确选项. 【详解】因为在内单调递减，关于对称， 所以当时，取得最小值， 所以①，且，可得，所以， 因为，所以，且和在同一个单调递减区间， 所以②，两式相减可得：，所以，所以， 因为，所以，，可得， 对于A：由可得：，所以是其中一个对称中心，故选项A正确； 对于B：由计算可知：，故选项B不正确； 对于C：令，得 所以在单调递増，在上单调递减，故选项C不正确； 对于D.：，故选项D正确， 故选：AD. 4、（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数且最小正周期为 C. 的值域是 D. 当时 【答案】ABD A.按照奇函数的定义判断即可； B.分别求出两部分的周期，再求出最小公倍数即周期； C.分析与不可能同时取得，故C错； D.将计算，整理可得出结论. 【详解】A.，故是奇函数，故A正确；B.因为的最小正周期是，的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是，故是的最小正周期，故B正确； C.分析的最大值，因为，，所以，等号成立的条件是和同时成立，而当即时，，故C错误； D.展开整理可得，易知当时，，故D正确. 故选：ABD 5、设函数，，若为的极小值点，则______． 【答案】 【分析】本题根据极小值的信息，求出导函数，令其等于0，根据范围求解，代入求解即可. 【详解】 ， 令， 整理得：或，解得：或． 当时，；当时，；当时，， ∴，∴．故答案为：. 【点睛】本题考查函数的导函数，求极小值点的问题以及三角函数求值问题，是中档题. 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 6、已知函数f（x）＝sinx cosx＋sin2x－. （1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程； （2）设函数，其中常数ω＞0. （ⅰ）若函数g（x）在区间上是增函数，求ω的最大值. （ⅱ）当ω＝4时，函数y＝g（x）－4λf（x）在上的最大值为，求实数λ的值. 【答案】（1），，；（2）（ⅰ）3，（ii）. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数的性质即得； （2）（ⅰ）利用整体代入法结合正弦函数性质列出不等式可求；（ⅱ）由题转化为二次函数型函数已知最大值求参数的值，通过分类讨论即可. 【详解】（1）.所以，， 由，，解得，， 所以，的最小正周期为，其对称轴方程为，. （2）， （i）当时，，因为在区间上是增函数，且， 所以，， 即，化简得，， 因为，所以，又因为，所以，得，所以，的最大值为3. （ii）当时，函数 . 因为，所以，所以， 当时，当且仅当，有最大值为1，与已知不符； 当时，当且仅当，有最大值， 由，解得，所以； 当时，当且仅当，有最大值为， 由，解得，这与相矛盾. 综上所述，. 7．（多选）若函数的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的图像关于对称 C. 函数的图像关于点对称 D. 时，的值域为 【答案】ABD 根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【详解】由图像可知，，即，因为，所以， ，，， 周期，，即，， 对于A，，正确；对于B，，故图像关于对称，正确； 对于C，，错误；对于D，时，，所以，正确； 故选：ABD. 8．（多选）下列四个命题正确的是（ ） A. 函数奇函数； B. 当时，函数的最大值为 C. 已知定义域为R的函数，当且仅当时，成立； D. 函数的最小值3． 【答案】BCD 根据奇偶性函数的定义域关于原点对称可判断A；利用余弦函数的性质即可判断B；去绝对值根据三角函数的性质可判断C；设，利用导数可判断D 【详解】A中函数定义域不关于原点对称，所以A错误； 当时，， 由余弦函数图象可知的值域是，所以B正确； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 综上，时，，所以C正确． 设，，， 所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】本题考查了函数奇偶性、三角函数的性质、利用导数求函数的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 9．（多选）已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在ω，使 B. 存在ω，使 C. 有且仅有一个，使 D. 存在，使 【答案】ABD 【分析】利用特殊值，结合图象确定各个选项的正确性 【详解】对于AB选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”. 此时，故AB选项正确. 对于CD选项，取，画出图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”. ，由图可知在区间上有两个，使，C选项错误. 由图可知，存在，使，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】有关三角函数图象与性质的题目，结合图象可以迅速解答. 思维升华 (1)三角函数周期的一般求法 ①公式法； ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可． (3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． 10、下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 11、若函数f(x)=sin(4x-)()在区间(0，)上单调递增，则实数φ的取值范围是（ ） A. [] B. [] C. [] D. [] 【答案】D 【分析】求出相位的取值区间，再结合正弦函数的单调递增区间列出不等式求解即得. 【详解】当时，，又，则， 因函数在上单调递增，且函数f(x)=sin(4x-)()在区间[0，]上单调递增， 于是得，解得，所以实数φ的取值范围是.故选：D 12、已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 13、设函数（，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设为锐角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据图象的最小值求，根据周期求，再根据“五点法”求，即可得到函数的解析式；（2）根据（1）的结果，代入，求，再利用角的变换求的值. 【详解】（1）由图像，得，最小正周期，所以，所以，由，得，，所以，，因为，所以. （2）由，得，因为，所以，又，所以，所以，所以 . 14、若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________． 答案　 解析　方法一　令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为. 方法二　因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋， 又f(x)在上单调， ＋<a＋≤，即<a≤，所以a的最大值为. 15、已知，． （1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得； （2）由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解. 【小问1详解】因为， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，所以，解得， 所以，所以. 小问2详解】 由，函数的图象关于对称， 所以，，所以，，由，，则， 又函数在上单调，所以，解得，所以当时. 课时精练 1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】先由图象求出函数的周期，从而求出，结合五点法可求出，明确函数的解析式，将所求不等式转化为或，由于自变量为正整数，从而由即可选出正确答案. 【详解】解析：由图可知，即，所以． 由五点法可得，即．所以． 因为， 所以由，得或． 因为， 所以满足题意的最小正整数x为2， 故选:B． 【点睛】关键点睛:本题考查了由三角函数的图象求函数的解析式，本题的关键是求出函数的解析式将所解不等式进行化简. 2．若x1＜x2时，不等式[sin(x1＋)－sin(x2＋)]＜m(x1－x2)恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】(－，] 【考点】不等式的恒成立问题 【解析】由题意，sin(x1＋)－mx1＜sin(x2＋)－mx2，设函数，由条件x1＜x2可得f(x)为单调递增函数，＝sinx＋cosx－mx可得f′(x)＝cosx－sinx－m，由f′(x)≥0恒成立可得，(x＋)恒成立，而的最小值为－，所以m≤，则实数m的取值范围为(－，]． 3．（多选）已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是 A．函数的值域与的值域不相同 B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 C．函数和在区间(，)上都是增函数 D．若是函数的极值点，则是函数的零点 答案：CD 解析：，， 所以函数的值域与的值域相同，A错误，把函数的图象向右平移个单位长度，得到，并不是函数的图象，故B错误；选项C，D都正确，故选CD． 4．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为2 C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)在区间上单调递增 答案　ACD 解析　∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1. ∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． ∵y＝cos 2x在上单调递减，∴f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD. 5．记函数最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，，所以. 故选：A 6．（多选）已知函数，其导函数为，设，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在R上单调递增 C. 是的一个周期 D. 在上的最小值为 【答案】AC 【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可； 对B：利用的导数可判断； 对C：计算，看是否等于即可； 对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值. 【详解】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称， 且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确； 由，得，则． 恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误； 由，得函数的定义域是，故C项正确； 设，当时，， 此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减， ，故D项错误. 故选：AC． 7．(多选)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．f(x)图象的一个对称中心是 C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－ D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称 答案　AC 解析　f(x)＝sin－2sincos＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)， 当k＝0时，⊆，故A正确； f ＝sin ＝1≠0，故B不正确；f ＝－sin ＝－1，故C正确； 将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数专题训练 课堂训练 1．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 2．当时，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3．（多选）已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是（ ） A. 是其中一个对称中心 B. C. 在上单调递增 D. 4、（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数且最小正周期为 C. 的值域是 D. 当时 5、设函数，，若为的极小值点，则______． 【点睛】本题考查函数的导函数，求极小值点的问题以及三角函数求值问题，是中档题. 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 6、已知函数f（x）＝sinx cosx＋sin2x－. （1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程； （2）设函数，其中常数ω＞0. （ⅰ）若函数g（x）在区间上是增函数，求ω的最大值. （ⅱ）当ω＝4时，函数y＝g（x）－4λf（x）在上的最大值为，求实数λ的值. 7．（多选）若函数的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的图像关于对称 C. 函数的图像关于点对称 D. 时，的值域为 8．（多选）下列四个命题正确的是（ ） A. 函数奇函数； B. 当时，函数的最大值为 C. 已知定义域为R的函数，当且仅当时，成立； D. 函数的最小值3． 9．（多选）已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在ω，使 B. 存在ω，使 C. 有且仅有一个，使 D. 存在，使 【点睛】有关三角函数图象与性质的题目，结合图象可以迅速解答. 思维升华 (1)三角函数周期的一般求法 ①公式法； ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可． (3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． 10、下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 11、若函数f(x)=sin(4x-)()在区间(0，)上单调递增，则实数φ的取值范围是（ ） A. [] B. [] C. [] D. [] 12、已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 13、设函数（，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设为锐角，且，求. 14、若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________． 15、已知，． （1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值． 课时精练 1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．若x1＜x2时，不等式[sin(x1＋)－sin(x2＋)]＜m(x1－x2)恒成立，则实数m的取值范围是_________． 3．（多选）已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是 A．函数的值域与的值域不相同 B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 C．函数和在区间(，)上都是增函数 D．若是函数的极值点，则是函数的零点 4．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为2 C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)在区间上单调递增 5．记函数最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 6．（多选）已知函数，其导函数为，设，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在R上单调递增 C. 是的一个周期 D. 在上的最小值为 7．(多选)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．f(x)图象的一个对称中心是 C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－ D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $