第二章直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章过关检测直线和圆的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点在直线上，为原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2.已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3.已知点是圆上任意一点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4.若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5.若分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6.若直线是圆在点处的切线，是圆上的动点，则点到直线的距离的最大值等于（ ） A. B. C. D. 7.若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（ ） A.直线的斜率是 B.直线的方程是 C.点的坐标是 D. 10.直线与圆交于两点，且满足，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11.在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在直线上求一点，使它到点的距离相等，则点的坐标为________. 13.如图所示，一座半圆形拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面，水面宽是，当水面下降后，水面宽是______. 14.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.则圆的方程为________；若圆与直线相切，则的值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)过点分别作两条互相平行的直线，使它们在轴上截距之差的绝对值为，求这两条直线的方程. 16. (15分)如图所示，在中，已知，直角顶点，点在轴上. (1)求外接圆的方程； (2)求过点且与外接圆相切的直线的方程. 17. (15分)已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且. (1)求直线的方程； (2)求圆的方程. 18. (17分)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 19.(17分)如图，某市有相交于点的两条公路，一条是东西走向的公路，另一条是南北走向的公路.这两条公路都与一个半径为(单位:)的圆形公园相切.欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与圆形公园也相切. (1)当距处时，求的长； (2)当公路长最短时，求的长. 参考答案 1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8.B 9.ABC 10.AC 11.BCD 12. 解析:设点的坐标是， 由题意可知，即，解得，故点的坐标是. 13. 解析:以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系.(图略)由题意可设圆的方程为(其中为圆的半径)，因为拱顶离水面，水面宽是，所以设点，代入圆的方程中，得，所以圆的方程为，当水面下降后，设点，代入圆的方程中，得，故此时水面宽为. 14. 解析:设圆心坐标为，则.因为圆与轴相切于点，则，，所以圆的圆心坐标为，半径.则圆的方程为.由直线与圆相切，则有，解得. 15.解:(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为，它们在轴上截距之差的绝对值为，满足题意. (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为，则两条直线的方程分别为.令，分别得. 由题意得，即. 则直线的方程为，即. 综上可知，两条直线的方程分别为和，或和. 16.解:(1)由题意可知点在轴的正半轴上，可设其坐标为，又，则，即. ，解得.所求圆的圆心为中点，即，半径，故所求圆的方程为. (2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为，即. 当圆与直线相切时，有，解得或，故所求直线方程为或，即或. 17.解:(1)直线的斜率，中点的坐标为，直线方程为，即. (2)设圆心，则由点在直线上，得.① 又直径，所以， 所以.② ①②联立，解得或所以圆心的坐标为或. 所以圆的方程为或. 18.解:(1)因为点，所以线段的中点坐标为. 而直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是，即. 由圆心的坐标是方程组的解， 解得 所以圆心的坐标是. 圆的半径长，所以圆心为的圆的标准方程是. (2)因为，所以点在圆内. 又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为，符合题意. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以， 解得，则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 19.解:(1)以为原点，公路分别为轴、轴建立平面直角坐标系，以为单位长度，则圆的方程为， 由题意可设点坐标为，则直线的方程为，即，因为与圆相切， 所以，解得，故当距处时，的长为. (2)设点，则直线的方程为，即，因为与圆相切， 所以，化简得，即.因此. 因为，所以，于是. 又，解得，或.因为，所以， ，当且仅当时取等号，所以最小值为，此时. 故当公路最短时，两点距离两公路的交点都为，此时的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $