第二章直线和圆的方程 单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程单元卷，含单选、多选、填空、解答题，覆盖直线斜率、圆的方程等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养数学运算、几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线斜率、平行垂直、距离公式、圆的位置关系|基础概念辨析，如第1题斜率计算、第4题圆上点到直线距离| |多选题|3|直线与圆位置关系、面积与距离最值|多维度考查，如第9题结合面积与距离最值分析| |填空题|3|弦长与参数求解|逆向思维训练，如第12题由弦长求m值| |解答题|5|平行垂直直线方程、圆的方程、两圆位置关系、对称问题|综合应用，如第16题求圆方程及两圆相交弦长，第18题结合弦长与钝角条件，体现推理与模型观念|

高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 解析答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C B C A AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 2．A 【详解】因为，所以，所以. 3．D 【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 4．C 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 5．C 【分析】由题意可知，，所以的斜率之积为，可得到的斜率，再由过点，即可得到答案． 【详解】设直线的斜率分别为，由可知，， 由题意可知，，所以，所以． 因为过点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为， 即． 故选：C. 6．B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：    曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 7．C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 8．A 【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 9．AC 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 10．ACD 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可. 【详解】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 11．ACD 【分析】求出圆心和半径，并得到到直线的距离，AB选项，举出实例得到A正确，B错误；C选项，求出圆C与两坐标轴的交点坐标，根据得到点B在线段OM上，或点A在线段ON上，一定与相交；D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即，举出实例可得D正确. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 由，得和均不为零且符号相同. 到直线的距离. 当直线与圆C相交时，设截得的弦长为，则， A选项，要想弦长为4，需满足，故， 不妨设，，满足，直线过点C，此时弦长为4，故A正确； B选项，令，，此时，解得， 截的弦长可能为3，故B错误； C选项，直线与轴交于点，与轴交于点， 中，令得，令得， 当，时， 圆C与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 因为，所以点B在线段OM上，或点A在线段ON上， 即A，B至少有一点在圆C内，所以一定与C相交； 当，时，同理可得，一定与C相交，故C正确； D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即， 当时，，此时满足要求，故D正确. 故选：ACD. 12．4 【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理表示弦长，进而求出即可. 【详解】由可得, 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 又因为，即，解得， 所以，即，解得或（由舍去）， 所以， 故答案为：4 13．或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 14． 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式列式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得， 所以圆心到直线的距离，即到直线的距离，即， 解得. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）设所求直线方程为，代入点可得结果； （2）根据直线垂直可得所求直线斜率，代入点即可求解； （3）设点关于直线对称的点的坐标，利用垂直和中点坐标关系解方程组可得结果. 【详解】（1）可设所求直线方程为 将点代入得，解得 所以所求直线方程为； （2）可设所求直线方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线方程为； （3）设点关于直线对称的点的坐标为， 则有，解得， 即所求点的坐标为； 16．(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 17．(1) (2)或 【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程； （2）设点是的中点，连接，则，利用勾股定理求得的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆与直线相切， ， 所以圆的方程为． （2）设直线的方程为，即， 设点是的中点，连接，则， 则, 又由，得， 解得或 所以直线的方程为或． 18．(1)或 (2) 【分析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，从而写出圆的方程，讨论直线斜率存在和不存在，写出直线方程，由垂径定理求出弦长，从而求得直线方程； （2）由垂直求得直线斜率，设直线方程，与圆方程联立方程组，设交点坐标后由韦达定理求得交点坐标与参数的关系，然后利用向量数量积建立不等式，从而求得纵截距的取值范围，注意讨论共线的情况. 【详解】（1）由题意得，圆心到直线的距离为圆的半径长， 所以 所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离，解得， 此时，即. 所以所求直线方程为或； （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为， 设直线的方程为. 与圆的方程联立，整理得． 设，，则是方程的两个不同的根， 所以，即，解得. 所以，， ， ， 因为为钝角，所以，又，， 所以 ，解得． 当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去. 综上，直线的纵截距的取值范围是． 19．(1) (2) 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2）略 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 一、单选题 1．若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 3．平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 4．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 7．过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 二、多选题 9．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 10．已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 11．已知直线与圆，则（   ） A．截的弦长可能为4 B．截的弦长不可能为3 C．当时，一定与相交 D．当时，可能与相切 三、填空题 12．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为______. 13．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________． 14．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为______. 四、解答题 15．已知直线和点． (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程； (3)求点关于直线对称的点的坐标； 16．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 17．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于两点， (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 18．已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 学科网（北京）股份有限公司 $