第三章 圆锥曲线方程（单元分层自测·培优冲刺卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学选择性必修一圆锥曲线单元复习卷，聚焦抛物线、双曲线、椭圆核心知识，融合隧道设计、小米LOGO等时代情境，梯度覆盖基础巩固与创新应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线焦点、双曲线离心率、椭圆性质|第6题隧道设计体现数学眼光观察现实问题| |多选|3/18|椭圆面积、双曲线渐近线、抛物线焦点弦|第10题结合双曲线动点性质考查推理能力| |填空|3/15|共渐近线双曲线、抛物线方程、超椭圆性质|第14题小米LOGO超椭圆融合创新意识| |解答|5/92|双曲线方程与面积、抛物线与圆综合、极线定义应用|第19题笛莎格极线定义考查数学思维与语言表达|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 4 8 9 10 11 A B C B A B B A BD ACD BCD 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 3x2y2 =1 12.82 13.y2=2V5x 14.①②④ 三、解答题（共9小题，共72分） 15.(13分) x2 【答案】3=1 ；(2)26 【详解11)设(-c,0)E(e,0),由已知得：a=V5,c=V3+F 双曲线E的渐近线方程为： =±5，即x±5y=0 -2分 F x+3y=0 设2到双曲线渐近线 的距离是1. bc =b=1 由点到直线的距离公式得：Vb2+3 4分 x2 所以双曲线E的标准方程为3广=」， --5分 (2)设1(，小B(,) 由(1)及题设知：c=V+F=2,(-2,0)F(2,0) 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线I方程为：y=x-2, …7分 [y=x-2 3-广=1，消y得：2x2-12x+15=0 15 x+x=6,X6=2, -9分 y-=k-=V+x-4x, 62-4-6 -11分 又因为 FF=4 5m号F-x4x6=26, ABF 26 即 的面积为 -13分 16.(15分) 【答案10=6：@2 【详解】(1)因为抛物线 =2r与圆+= 都关于轴对称， 所以交点A,B关于x轴对称，弦AB垂直于x轴， 因为A=26 所以4点纵坐标y=6 -2分 把少~ 6代入圆方程：+6=7，解得2=1， 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为x之0，所以x=1,所以46). -3分 将4，v6)代入抛物线方程-2r。 得到6=2p,解得 m6=2p 即P=3 -5分 y2=6x 抛物线的方程为： ---6分 (2)设M(,).N(s) 两点都在抛物线上， =6x 则有y=6x2, 两式作差可得y-y3=6(x1-x2)一(y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2)， 分 1中点23 得y+2=6, kw=4-=6=5=1 直线斜率 x-x2y+26, -10分 9 直线MN方程： y-3=-2, 1整理得少二x) -11分 y=x-2 3 联立y2=6x’ 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 x=y+ 把 代入物统，得到y=6y+引一y-6y-9=0, 由韦达定理可得： y+y=6y2=-9 -13分 又k=1 1 则MN-V+京VG+P-4 =V2√6-4×(-9)=V2V36+36=V2√72=144=12 .-15分 M X 少 17.(15分) x2 y2 【答案1四4+号1，回5-25，-5=0，或5x+25y-5=0 【详解】（山）因为椭圆E:￡+广 :京+F=1(a>b>0)的左焦点为F(-l,0),离心率为5， 2 c=1c=1 c1→ (a-2 →b=va2-c2=V4-1=5 所以 a2 -3分 x2,y2 所以稀圆E的标准方程为4十了1， 4分 (②)当直线斜奉为零时，此时A,B为左右顶点，不管A,B哪一个为左顶点，均不满足M28S, 当直线1斜幸不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然1S2到B不成立， -5分 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =my+1(m≠0) 当直线1存在斜率且不为零时，设直线1的方程为 x=my+1 ￥+-1→(3m2+4)y2+6m-9=0 于是有4+3 =1 显然△=36m+363m2+4)=144m2+14>0 6m -9 设A(,),B(x,),则有%+%=3m+443m+4<0, --8分 4=-2 因为ME卡2BE,所以片，即y=-2, .---10分 6m 611m -9 -2y2+少=- 3m2+4 因此由%+⅓3m+4%3m+4<0→ -9 -12分 (-2y,)y=3m2+4 6m 3m2+4 → ÷26m29 9 m=t2 5, -14分 2y片-3m2+4 气3m+43m+4→m㎡2= 所以直线1的方程为无× x=-25 ,或5y+1 化为一殷式为5-2w5y-5=0,或5x+25-5=0 -15分 VA F B 18.(17分) 【答案】四广=4，(Q02,②直线DE过定点 （4,0) 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)C的焦点 （2 准线方程为 2 因为点M2,为)在C上，MF=3,所以2+号=3.p=2 -2分 所以C的方程为 2=4x 3分 （20F0）,设4B为=少+1，代入广=，消去，得少-0-4=0， 设1(，），B(西），则+⅓=4,5=4 -5分 所以0-乃=(+⅓-42=162+16，M-为=4P+1 1分 又PF1,所以P4B的面积为2×1x4F+1=2P+1≥2，当且仅当，=0时，取等号， 所以△PAB的面积的最小值为2. 9分 B ②设D）,B(）,又P(2,0), 直线AP的方程为 -2加=-2列，与C方程联立，消去‘得-4名-2y-8别=0， 又D是直线AP与C的交点，所以=-8片~了 , 同理少，所以y4=-16, -11分 当4时，1=0，直线DE与轴垂直，DE与x轴的交点为 4,0) 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=-当=4」 4 .y21 当4时 直线的斜率号-号+乃8820中)五。-13分 t≠0 DE yy2 此时，可设直瓷De的方程为+6，与C联立，消去r得)-+=0， 所以=8b 又=-16，所以8b-16,b=2 t -15分 以pE的方程化为宁子-，线过0， 综上，直线DE过定点4,0) --17分 19.(17分) 【答案】(1)x=2;(2)①证明见解析；②证明见解析 4x,0× 【详解】(1)由题意易知，极线，的方程为8+4 =1即x=2 -4分 (2)①设Q(2,m）,设直线AB的方程为：s(x-2)+(y-m)=1, x-2+2)2+2(y-m+m)2=8 又椭圆方程可化为 r-2+20y-m+4x-2)+4m0-m+2m2-4=0 -6分 (x-2)2+2y-m)2+4(x-2)+4m(y-m)+2m2-4=0 由s(x-2)+ty-m)=1 得x-2y°+20y-m)'+4[Gx-2)+m0y-m)ls(x-2)+10-m]+(2m2-4)[s(x-2)+10-m=0 -8分 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设k=上~m x-2,则1+2k2+41+mk)(s+)+2(m2-2)s+ky=0(★) 故eo为(*)的两个解。 41+4ms+2(m2-2）2st21+2ms+2(m2-2）st 所以ko+ke= 2+4mt+2m2-221+2mt+(m2-2jr2, -10分 因为迟过(4,0，故4-2=m+1,故s=mr 2, 故e:+koB= 2+2m+2m3-2 2 m+2m2t+m(m2-2）r2 1+2mt+(m2-2）t2 1+2mt+(m2-2）t =-m m m 又gp=2-4=-2,所以2kpg=ko4+k20 -12分 ②连接QM,QN, 由①中的结论可知 2k=kow+ko2kro=kow+kor 又c=o,故ou=o"即Q,M,N三点共线， -14分 如图所示，设 (0,),T(0,4),T(0,62) 2, -15分 由0中结论知，20=w+e·故2x-%,兰，当 222 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故*5=2 TT ,故T为线段的中点 --17分 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 6．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 13．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 14．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 四、解答题 15．（13分） 已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 16.（15分） 已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 17.（15分） 已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 18.（17分） 已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19．（17分） 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第三章 圆锥曲线的方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 【答案】A 【详解】对于椭圆，得，， 因此，，故, 设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得, 因此的面积. 6．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    8．在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，，，其中，． 则，，即，， ，．设，中点为， 由于，则， ，，三点共线． ，，两式相减得， 整理得， ， ． 故选：A． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 【答案】BCD 【详解】选项A，在抛物线中，，则，所以准线方程为，故A错误. 选项B，抛物线的焦点，设，. 联立，消去x可得. 根据韦达定理，，. 则16. 所以0，则，故B正确. 选项C，当时，直线的方程为，即. 联立，消去可得. 根据韦达定理，，. 则， 点到直线的距离. 所以的面积，故C正确. 选项D，设，因为点在直线上， 联立，消去可得， ，解得或. 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以， 则， ， ， 要验证，即验证： 化简得：， 因为，且. 所以， 所以和同号，即 . 因为， 或时，，与右边相等， 故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 13．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 14．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 【答案】①②④ 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，故①正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，故②正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，故③错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，故④正确. 四、解答题 15．（13分） 已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 16． （15分） 已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 17.（15分） 已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2)，或 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 18.（17分） 已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①2；②直线过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 19.（17分） 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即. （2）①设，设直线AB的方程为：，    又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②连接QM，QN，      由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第三章 圆锥曲线的方程·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 6．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 13．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 14．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 四、解答题 15.（13分） 已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 16.（15分） 已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 17.（15分） 已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 18.（17分） 已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19.（17分） 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $