第三章 圆锥曲线的方程 单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学圆锥曲线方程，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，题型多样，注重数学思维与运算能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|双曲线离心率、抛物线准线、椭圆标准方程等|基础巩固，考查概念辨析与基本运算| |多选题|3题|椭圆离心率与焦距、曲线方程分类|能力提升，需综合分析选项| |填空题|3题|椭圆焦点三角形周长与面积、离心率范围|注重几何直观与空间观念| |解答题|5题|椭圆方程与面积最值、抛物线等腰直角三角形、双曲线斜率之和等|创新应用，综合考查推理能力与模型观念，贴合高考真题趋势|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B A A A B BC BD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】设抛物线 准线与横轴的交点为,在第二象限，由双曲线的对称性可知: ,这样可以求出的坐标,代入双曲线方程中,得到关于的方程,解方程得到双曲线的离心率的值. 【详解】设抛物线 准线与横轴的交点为,∴的坐标为， 设在第二象限，由双曲线的对称性可知: ， ，∴的坐标为，焦距为， ∴设，又， 把的坐标代入双曲线方程中，得 ， 故本题选C. 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，根据已知得到关于的方程，是解题的关键. 2．A 【分析】计算出当，此时圆心到该直线的距离，建立不等式，计算m的范围，即可． 【详解】当，此时圆心到MN的距离 要使得，则要求，故，解得，故选A． 【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等． 3．C 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率. 【详解】根据渐近线方程为的双曲线，可得， 又， 所以， 则该双曲线的离心率为， 4．B 【解析】先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线的渐近线为 因为两条渐近线均与圆相切， 所以点到直线的距离等于半径 即， 又因为 整理得到， 故双曲线C的离心率为. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 5．A 【解析】由∠F1PF2=90°，利用三角形的面积公式，椭圆的定义，勾股定理以及离心率分别列出方程，解出． 【详解】由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则∴a=3，c=4. ∴b=.∴a+b=3+. 故选：A 6．A 【解析】求出两抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可求出正数的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 由已知条件可得，，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，涉及两点间距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 7．A 【分析】由为的中点，且为的中点，可得是的中位线，即，利用双曲线的定义求出，可得答案． 【详解】设双曲线的右焦点为，则是的中位线， ， 或6，或3. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查学生计算能力，属于基础题． 8．B 【解析】设椭圆的半长轴为a,半短轴为b，半焦距为c,离心率为e.根据长轴长求出a的值，利用离心率并结合的关系求得.然后分两种情况写出椭圆的标准方程. 【详解】设椭圆的半长轴为a,半短轴为b，半焦距为c,离心率为e. 长轴长为4，， e=,, 当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为； 当焦点在y轴上时，椭圆方程为； 故选:B. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，属基础题，已知条件中的长轴长和离心率是与焦点位置无关的，由此求得椭圆的半长轴和半短轴,. 9．BC 【分析】通过椭圆的标准方程得到的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 10．BD 【解析】根据，当时最大，进而求出点的坐标. 【详解】解：记椭圆的两个焦点分别为， 有， 则知， 当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值， ∴点的坐标为或， 故选：BD. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的性质，灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键. 11．ACD 【解析】当时，化简方程可判断出正确；曲线是椭圆，则，解出可判断不正确；由，，，可判断出正确；若，则，可判断出正确． 【详解】当时，方程，化为，表示圆，所以正确； 曲线是椭圆，则，解得，所以不正确； 由，，，所以曲线不可能表示直线，所以正确； 若，则，为双曲线，所以正确； 故选：ACD 12．4 【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求得. 【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y轴上，， 根据椭圆定义， 所以的周长为． 故答案为4． 13． 【分析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值. 【详解】由题可知，∴, 又，代入上式整理得， 由得为直角三角形． 又的面积为4，设，， 则解得 所以椭圆的标准方程为． 14． 【分析】由椭圆上存在一点P，使，可知点P既在椭圆上，又在以为直径的圆上．根据条件写出圆的方程，将其与椭圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，可求得，然后由椭圆的几何性质可得，化简可得a,c之间的关系，进而可得离心率的范围。 【详解】设点．由知，点在以为直径的圆上． 圆的方程是，即。 　① 又点在椭圆上，故 　② 把①代入②，得.故， 因为，所以. 又，∴ ，即， 两边同处，整理得：，即， 解得：或， 又，∴所求椭圆的离心率的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、椭圆的离心率范围性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 15．(1)； (2). 【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为，上顶点为， 可得，可求椭圆标准方程． （2）设，直线的方程为，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到，又，求得的最大值，即可得结果. 【详解】（1）椭圆：的右焦点和上顶点在直线上， 椭圆的右焦点为，上顶点为， 故， ∴所求椭圆标准方程为． （2）设， 直线的方程为 �联立得：， ， 即， , ， 令， 函数在上为增函数， 故当，即时，， 此时三角形的面积取得最大值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【详解】（1）由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； （2）设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 17．（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）设点，，的坐标，用点，，的坐标表示出点，，由即可求顶点的坐标； （Ⅱ）设直线的斜率为，用表示出和，再表示出，再根据基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）设，，， ，同理， 由，，所以， ， ， 由，所以，所以，所以 （Ⅱ）设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则，， 直线的斜率为，，由， 所以，所以， ， ， 由和得， ， 当且仅当时取等号，故的面积的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问，设直线的斜率为，表示出之后，再表示也比较容易，其关键在于使用和，两次基本不等式的使用增加了本题难度. 18．（1）；（2）证明见解析，定点. 【分析】（1）由题可得a的值，结合离心率求得c，利用平方关系得到b; （2）当点是椭圆上顶点时，求得直线的方程，椭圆的对称性可知，若直线经过定点，则定点必在轴上，由此得到可能的定点.然后利用方程组联立，韦达定理和向量共线的条件证明，，三点共线，即证得了一般性. 【详解】（1）由题可得，∴. 又知离心率，所以，则， 所以椭圆的方程为; （2）当点是椭圆上顶点时，直线的方程为， 可得，则：与联立解得， 所以直线的方程为：， 由椭圆的对称性可知，直线经过：轴上的定点， 所以直线经过定点. 以下证明一般性： 设上任意点，设，, 则直线的方程为：, 联立, 消去得, 由韦达定理得，解得, 因为直线的方程为, 联立, 消去得, 由韦达定理得，解得, 直线经过定点，即，，三点共线. 因为，, 因为, 所以，那么，，三点共线, 所以直线经过定点. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的方程，椭圆中的直线过定点问题，属中档题.关键是利用特殊情况和椭圆的对称性先求得直线所过的可能的定点的坐标，然后证明其一般性，证明时常常使用向量共线得方法证明三点共线，可以简化运算过程. 19．（1）；（2）. 【分析】（1）利用，再代入，联立即得解； （2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解 【详解】（1）由已知可得， ∴，解得① 又∵点在E上， ∴② 由① ②可得，. ∴双曲线E的方程为. （2）过点的直线l斜率显然存在， 设l的方程为：，，， 将l的方程代入双曲线E的方程并整理得， 依题意，且， 所以且， 因此，可得，. ∴ . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线 准线交双曲线左支交于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 2．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．渐近线方程为的双曲线的离心率是（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．设P是双曲线=1(a>0，b>0)上的点，F1､F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是7，则a+b等于（    ） A．3+ B．9+ C．10 D．16 6．已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（    ） A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 8．已知椭圆：，长轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 10．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（      ） A． B． C． D． 11．若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（    ） A．曲线C可以表示圆 B．若曲线C是椭圆，则 C．曲线C不可能表示直线 D．若，则C为双曲线 三、填空题 12．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点构成的周长为__________ 13．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______． 14．已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是________. 四、解答题 15．已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值. 16．已知椭圆的离心率为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 17．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标； （Ⅱ）求的面积的最小值. 18．已知椭圆：()的长轴长4，离心率， （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆左，右顶点，已知点为直线：上的动点，直线､与椭圆分别交于､两点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标. 19．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上. （1）求E的方程： （2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $