精品解析：江苏无锡市宜兴市阳羡高级中学2027届高三年级第一次阶段性检测数学试题

2026年秋学期高三年级第一次阶段性检测 数学试卷 2026.09 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. {3} D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为集合与集合的交集相对于集合的补集， 即. 因为， 所以. 2. 已知条件p：是有理数，结论q：a和b是有理数，则p是q的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】当时，是有理数，但是a和b都不是有理数， 因此由p不一定推出q， 当a和b是有理数时，一定是有理数， 因此由q一定能推出p，所以p是q的必要不充分条件. 3. 已知，且x＞y，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，为周期函数，故，使得，则A选项错误； 对于B选项，， 由和基本不等式可得，故， 所以，即，所以，B选项正确； 对于C选项，函数为单调递减函数，故，使得，故C选项错误； 对于D选项，，使得，故D选项错误 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以在单调递增， 且的值在上越来越大，在上越来越小， 即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误． 5. 已知的取值范围为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系将原式转化为关于正切平方的表达式，结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 6. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数求出参数，分析时函数单调递增，结合奇函数性质得到在上单调递增，算出，将函数不等式转化为普通一元一次不等式求解． 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以当时，， 因为，在上均单调递增， 所以在上单调递增， 由奇函数对称区间单调性一致，得在上单调递增， 又，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 7. 已知函数，，则下列各组中的两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式及图象平移判断即可. 【详解】 若两个三角函数的图象仅通过平移就能重合，则二者振幅相等，最小正周期也相等，且平移变换仅针对自变量进行. 对于A：，振幅为； 振幅为，二者振幅不等，无法通过平移重合，A错误. 对于B：，振幅为，最小正周期为；，振幅为，二者振幅不等，无法通过平移重合，B错误. 对于C：，. 若将平移个单位，所得函数为， 无法对任意满足，故无法通过平移重合，C错误. 对于D：，. 由诱导公式，可得， 即将的图象向左平移个单位，即可得到的图象， 故二者可仅通过平移重合，D正确. 8. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可利用韦达定理的结论将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【详解】定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，因为是一个具体的值，故，则A选项错误； 对于B选项，故B选项正确； 对于C选项，， ，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项正确. 10. （多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递减； B. 的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象； C. 的图象在区间内只有个对称中心； D. 当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是． 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据对称轴和对称中心的距离求出周期，确定，再结合对称轴或对称中心求出，得到，对A由得，再根据正弦函数的单调性判断可得；对B直接由图象平移可得判断可得；对C先计算函数的对称中心，再判断在区间内的对称中心有个可得；对D先由可得，再将不等式转化为，再由包含关系可得结果. 【详解】已知距离轴最近的对称轴为，最近的对称中心为， 因为正弦函数相邻对称轴与对称中心的水平距离为，所以， 解得，则. 将对称中心代入，得， 即，结合，得，故. 选项A：由，得， 由正弦函数在上单调递减，故在该区间单调递减，A正确； 选项B：由的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得，B错误； 选项C：因为函数对称中心满足，即. 在内，当时，；当时，；当时，， 即函数在内共个对称中心，C错误； 选项D：当时，，，故. 因为不等式等价于， 所以，，解得，因此实数的取值范围是，D正确. 11. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 函数有极小值为 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用判断A选项；求导，结合函数单调性判断B选项；结合AB选项可判断C选项；利用以及单调性可判断D选项. 【详解】由得，故的定义域为， 因为， 所以曲线关于直线对称，故A正确； ， 当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值，故B正确； 因为，所以，则， 则，故C正确； 因为，且，所以， 因为在上单调递增，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 计算：______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 故原式 ． 13. 通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，记．记，则＝______ 【答案】 【解析】 【分析】将代入原式，利用二倍角的正、余弦公式及诱导公式化简即可得出答案. 【详解】把代入原式得 原式 . 14. 已知函数，则方程的解有______个 【答案】1 【解析】 【分析】利用换元法得到，再结合题意将问题转化为求，，解的个数之和，最后分类讨论并结合导数求解个数即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 令，则求的解即可， 当时，令，解得，符合题意， 当时，令，若求解的个数， 则求和的交点个数即可， 而，可得， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，， 当时，，当时，， 得到和有2个交点，记，， 则有2个解，且，， 若求方程解的个数， 则求，，解的个数之和即可， 对于，当时，恒成立， 此时无解，不符合题意， 当时，令，即求解的个数， 则求与交点的个数， 而，可得， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，， 当时，，当时，， 得到与有1个交点， 可得有1个解，即该情况共1个解， 对于，，由已知得，当时，， 当时，，综上可得， 而，，故此时方程无解，不符合题意， 故方程的解有1个. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 设命题p：，不等式恒成立，q：， （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按分类，结合一元二次不等式恒成立列式求解. （2）利用对数函数单调性化简命题，再结合（1）的结论，按真假、假真分类求解. 【小问1详解】 由p为真命题，得，不等式恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得，因此， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 因此命题，由（1）得命题， 而命题p，q有且只有一个是真命题，则当真假时，；当假真时，， 所以实数m的取值范围是或. 16. 设函数 （1）当时，求函数的最小值并求出对应的的值； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1）函数 的最小值为 ，对应的 （2） 的取值集合为 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式展开，再用辅助角公式合并，得到 ；由 的范围确定整体角 的范围，结合正弦函数在该区间上的单调性求最小值. （2）利用（1）的化简结果，将 转化为 ，再借助正弦函数的图象与周期性写出不等式的解集. 【小问1详解】 . 因为 ，所以 . 设 ，则 ，正弦函数 在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最小值 . 所以 的最小值为 ，此时对应的 . 【小问2详解】 由（1）知 . 由 ，得 ，即 . 由正弦函数的图象可知， 等价于 ，. 解得 ，. 所以 的取值集合为 . 17. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，解指数方程并结合对数的定义求解. （2）利用指数函数、对数函数单调性求出给定区间上的值域，再由已知借助集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由方程，得，即，解得或， 由方程的两根为和，得，解得， 又，因此，所以. 【小问2详解】 当时，函数， 当时，，则当时，；当时，， 因此当时，函数的值域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， ，即， 因此当时，函数的值域为， 由对任意的，都存在，使得， 得函数在上的值域包含于函数在上的值域，即， 于是，解得， 所以m的取值范围是. 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，结合点坐标求出，展开后联立求出，代入诱导公式化简求值可得； （2）利用两角差的正弦、余弦公式及二倍角公式求出和，结合角的范围确定的值. 【小问1详解】 由题意知，，所以. 因为，所以. 因为点的横坐标是，且，所以，. 又，，所以. 由，得， 整理得，即， 代入 ，得， 化简整理得，即， 解得或. 又，  ①若，且，所以，. 验证：，符合题意. 所以原式 . ②若，且，所以，. 验证：，符合题意. 所以原式.  综上所述，原式的值为或. 【小问2详解】 由（1）知 或， 又因为，且，所以，， 所以，. 当时，且， 所以，， 所以， . 因为，所以是第二象限角，结合， 因此，. 当时， . . 因为，所以是第二象限角，结合， 因此，. 综上所述，或. 19. 已知函数有两个零点 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数c的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 【答案】（1） （2） （3）不妨设，则由（2）可知，则， 欲证，只需证， 因为在上单调递减，所以只需证， 令， 则， 因为，所以，则， 则在上单调递增，则，故， 故命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出； （2）利用导函数求出单调性以及极值即可求出； （3），求证即可. 【小问1详解】 ， 当时，，， 则函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若，则，则在上单调递增， 则至多有一个零点，不符合题意； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 若函数有两个零点，则，得， 此时，时， 故函数有两个零点时实数c的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期高三年级第一次阶段性检测 数学试卷 2026.09 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. {3} D. 2. 已知条件p：是有理数，结论q：a和b是有理数，则p是q的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，且x＞y，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的取值范围为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则下列各组中的两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递减； B. 的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象； C. 的图象在区间内只有个对称中心； D. 当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是． 11. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 函数有极小值为 C. 若，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 计算：______ 13. 通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，记．记，则＝______ 14. 已知函数，则方程的解有______个 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 设命题p：，不等式恒成立，q：， （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 16. 设函数 （1）当时，求函数的最小值并求出对应的的值； （2）若，求的取值集合． 17. 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求a的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知函数有两个零点 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数c的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $