湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷（范围：1-2单元）

湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A A B C ACD CD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】由集合A和B，再根据集合交集的基本关系，即可求出A∩B的结果. 【详解】因为集合，所以，故选D. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．A 【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得. 【详解】， ，，，即, . 故选：A． 3．B 【详解】命题，，命题为， 故选B 4．A 【分析】根据二次方程的两根为正数，则一定满足，，，故根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】∵二次方程的两根为正数， ∴，，， 故由使二次方程的两根为正数，一定能推出 ，，， 但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程的两根为正数，故①②③能成为使二次方程的两根为正数的必要非充分条件. 故选A. 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断.掌握必要条件的定义是解题基础． 5．A 【分析】先求出在区间（0，）上单调递增的充要条件，从而得到答案. 【详解】∵，∴， 在区间（0，）上单调递增. 故选：A 【点睛】解决充要条件类问题的四种方法： （1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法. 6．A 【分析】利用配凑，结合均值不等式的取等条件，即可求得的值. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号，所以． 故选：. 7．B 【解析】不等式可化为，分，两种情况讨论即可. 【详解】不等式可化为（*）． 当时，（*）式即． 即． 又（当时取等号） （当时取等号）． 所以， 当时，（*）式为，． 又（当时取等号）， （当时取等号），所以． 综上，． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一道有一定难度的题. 8．C 【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等. 9．ACD 【分析】根据全称量词命题的否定、充分与必要条件、三角函数、向量共线、对数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的否定是：，A选项错误. B选项， 或， 所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确. C选项，若是非零向量，是零向量，则， 但不存在使得，所以C选项错误. D选项，对于“”有， 对于“”，不一定都是正数，所以D选项错误. 故选：ACD 10．CD 【分析】A选项，根据全称命题的否定判断；B选项，分别分析充分性和必要性即可；C选项，根据“，”为假命题得到则“，”为真命题，然后列不等式求解即可；D选项，根据为假命题得到命题为真命题，然后将存在问题转化为，最后求最小值即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”，故A错； 不能推出，比如，，时，满足，但；也不能推出，只能得到， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错； 若“，”为假命题，则“，”为真命题， 所以，解得，故C正确； 若为假命题，则命题为真命题，不等式可整理为， 解得，因为存在，使，所以，即，故D正确. 故选：CD. 11．BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 12． 【详解】试题分析：首先集合中必含有元素，其次还必须含有元素中的至少一个元素，所以满足条件的集合有个. 考点：集合之间的包含关系. 13． 【详解】 在上单调递减,因此时取最小值 ; ,当且仅当时取等号, 所以当时，函数 取最小值为 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.对于不满足基本不等式条件的函数,常常转化为利用导数研究函数单调性 14．10 【分析】利用已知条件将，化简为，然后利用柯西不等式求解最小值即可． 【详解】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强. 15．(1) (2) (3) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）应用等价转化为，求解集； （3）应用分类讨论求含参的一元二次不等式求解集. 【详解】（1），不等式的解集为； （2）不等式，等价于，等价于， 所以，可得，不等式的解集为； （3）由， 当时，解不等式得； 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可； （3）由绝对值的三角不等式可得，再结合（2）将问题转化为即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为； （2）， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； （3）由（2）得，即为， 又因， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 17．(1)2 (2) ①证明：因为恒成立，即恒成立， 所以，         即，所以， 则，所以；    ② 【分析】（1）由基本不等式计算即可求解；   （2）①先由不等式恒成结合判别式得到，再计算即可得证；②先化简，接着分和两种情况结合换元法分析即可求解. 【详解】（1）因为，则， 当且仅当即时取等号， 所以； （2）①略      ②由题，又， 当时不等式恒成立， 当时，恒成立 令，则，则在上恒成立， 又，所以. 18．(1)，为定值2 (2)平方百米 【分析】（1）根据，，求出，进而得到，根据勾股定理即可求出，计算即可求出定值； （2）根据，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由，得，可得， ， ，， ， 的周长为定值． （2） ， 当且仅当，即时等号成立． 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米． 19．（1）；（2）存在，. 【解析】（1）由得到的关系，根据有两个相等实根求，即可写出的解析式； （2）将函数式化为顶点式知，进而有在的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在值. 【详解】（1）由得：①； 由有等根得：有等根， ∴，得， 将代入①得：， ∴； （2）， ∴，即，而对称轴为，即在的左边， ∴由二次函数的性质知：在区间上单调递增， 则有，解得， 故存在实数，使的定义域是，值域是. 【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修上册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛1，3，5｝，则A∩B＝ A．｛1，2，3，4，5｝ B．｛1，3，5｝ C．｛1，4｝ D．｛1，3｝ 2．设，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．对于命题，，命题为 A．， B．， C．， D．， 4．在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．已知函数（），则“”是“在区间（0，）上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知a，b为正实数，且，则取得最小值时ab的值为（    ） A． B． C． D．1 7．已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．，，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 9．下列说法错误的是（    ） A．已知命题，则为 B．“”是“”的充分不必要条件 C．的充要条件是存在唯一的实数，使 D．已知都是实数，则“”是“”的充要条件 10．下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，，则“”的充分不必要条件是“” C．若“，”为假命题，则 D．已知命题p：存在 11．已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．满足的集合的个数是_______________. 13．设，则函数的最小值是_________． 14．已知 ，，则 的最小值为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 16．已知，，. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围. 17．已知函数. (1)若，求的最小值. (2)若恒成立. ①求证：； ②若，且恒成立，求的取值范围. 18．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 19．已知二次函数满足，且方程有两个相等实根. （1）求的解析式； （2）是否存在实数，使的定义域是，值域是.若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $