11.1 整式的乘法（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.1 整式的乘法 （第2课时）幂的乘方 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 复习同底数幂的乘法 性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 举例 。 辨别 不能直接合并。 复习引入 复习　相同幂连续相乘 计算，并说出指数怎样得到。 答：。 解 指数相加得。 也可以把写成。 方法：把重复加法改写成乘法。 注意：因子有个，每个因子的指数是。 复习引入 引入　一个幂再乘方 表示什么？它等于的几次幂？ 答：。 解 。 指数为。 方法：先读懂外层平方的意义。 注意：外层指数表示相乘的次数。 新知讲授 观察字母幂的乘方 展开 。 计算 。 联系 。 新知讲授 内层指数与外层指数 内层指数 中，每个因子有个。 外层指数 外层指数表示有个相乘。 总个数 共有个，所以结果为。 新知讲授 一般的幂的乘方 乘方意义 是个相乘。 指数相加 指数为个的和，即。 得到公式 ，是正整数。 新知讲授 幂的乘方性质 性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 字母表示 （是正整数）． 运算转化 幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算． 新知讲授 两条性质怎样区分 同底数幂相乘 。 幂的乘方 。 识别结构 先看是两个幂相乘，还是一个幂再乘方。 新知讲授 带负号的底数 保留底数 。 判断符号 。 另一情形 。 新知讲授 整式可以作为底数 整体识别 的底数是。 指数相乘 。 书写要求 不能把拆成两部分分别处理。 新知讲授 多层乘方的计算 逐层计算 。 再算一层 。 核对结果 指数为。 例题讲解 例 3 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 底数不变。 原式。 解第（2）题 内外指数相乘。 原式。 方法：看清底数，内外指数相乘。 注意：负数、整式底数的括号不能漏。 例题讲解 例 3 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 底数整体为。 原式。 解第（4）题 底数整体为。 原式。 方法：看清底数，内外指数相乘。 注意：负数、整式底数的括号不能漏。 例题讲解 例 3 计算。 变式 答：。 解 先算。 再算。 方法：从内向外逐层计算。 注意：指数连续相乘：。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） 解第（1）题 两个乘方都化为。 原式。 解第（2）题 先算各幂，得。 再算。 方法：先进行幂的乘方，再算同底数幂相乘。 注意：内外指数相乘，幂相乘时指数相加。 例题讲解 例 4 计算，尝试先合并外层指数。 答：。 解 共同底数是。 原式。 方法：共同底数明显时可先合并。 注意：结果应与逐项乘方的方法相同。 例题讲解 例 4 计算。 变式 答：。 解 以为共同底数。 原式。 方法：相同整体底数先合并。 注意：最后一个相对于整体的指数为。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） 解第（1）题 乘方得。 乘法得。 方法：分别处理乘方与乘法，最后做加减。 注意：不同次幂不能合并成一个幂。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） 解第（2）题 前三项之和为。 后两项为。 方法：分别处理乘方与乘法，最后做加减。 注意：不同次幂不能合并成一个幂。 例题讲解 辨析　相乘指数与相加指数 辨析 某同学写。请改正。 答：。 解 先算。 再算。 方法：每一步单独判断运算类型。 注意：最后一步是幂的乘法，不能乘指数。 方法总结 混合运算的两条路线 方法1　一般路线 ① 先把每个幂的乘方算出来。 ② 再把相同底数幂的指数相加。 ③ 最后合并同类项。 方法2　整体路线 ① 找出共同的幂作整体底数。 ② 先合并整体幂的外层指数。 ③ 再计算幂的乘方。 课堂练习 练习1　判断并改正 （1）。 × 应为。 （2）。 × 应为。 方法：先识别运算结构再选性质。 注意：幂的乘方与同底数幂相乘不能混淆。 课堂练习 练习2 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（1）题 。 原式。 解第（2）题 两个负号对应的系数相乘得。 原式。 方法：分清每个指数所在的层次。 注意：整体底数与括号要完整保留。 课堂练习 练习2 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（3）题 两个乘方都等于。 原式。 解第（4）题 共同底数为。 原式。 方法：分清每个指数所在的层次。 注意：整体底数与括号要完整保留。 课堂练习 练习2 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（5）题 保持不变。 原式。 解第（6）题 先乘方，得。 原式。 方法：分清每个指数所在的层次。 注意：整体底数与括号要完整保留。 课堂练习 练习3 随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛。米纳米，那么米²纳米²。 答：。 解 边长米的正方形边长为纳米。 面积为纳米²。 方法：面积换算需把长度换算倍数平方。 注意：面积单位的换算倍数不同于长度。 课堂练习 练习提升　根据结构找指数 填空：，方框内填正整数。 答：。 解 设方框内为，则。 解得，所以。 方法：先把左边化成一个幂。 注意：外层乘方完成后再与相乘。 课堂总结 幂的乘方 意义 同一个幂连续相乘。 性质 。 辨别 乘方指数相乘；幂相乘指数相加。 应用 面积与体积单位换算要乘方。 特别提醒：先看结构再选性质，复合底数保留括号。 针对训练 训练1　选择 下列运算正确的是哪一项？ A. B. C. D. 答：B。 解 幂的乘方应把指数相乘。 。 方法：把运算结构和对应性质配对。 注意：加法不适用两条幂运算性质。 针对训练 训练2　填空 填空：；。 答：；。 解 第一空：。 第二空：。 方法：内外指数的乘积等于结果指数。 注意：指数相乘，不是相加。 针对训练 训练3　带负号的底数 计算。 答：。 解 先算。 偶数次幂为。 方法：先算总指数，再处理底数前的负号。 注意：负号属于底数时要一起乘方。 针对训练 训练4　多层乘方 计算。 答：。 解 先算。 再算。 方法：从内向外计算。 注意：总指数是。 方法总结 乘方计算：底数与层次 方法1　确定底数 ① 负数底数保留负号与括号。 ② 整式底数保持完整。 方法2　确定指数 ① 两层指数相乘。 ② 多层指数逐层相乘。 ③ 算完再检查负号是否保留。 针对训练 训练5　乘方后再相乘 计算。 答：。 解 两个乘方分别为、。 原式。 方法：先分别乘方，再相加指数。 注意：不要把全部指数直接连乘。 针对训练 训练6　化简含字母指数的式子 计算，是正整数。 答：。 解 。 原式。 方法：把复合指数看作一个代数式。 注意： 针对训练 训练7　合并同类项 计算。 答：。 解 前两个式子都等于。 原式。 方法：先化为同次幂，再合并。 注意：不能将三个指数相加。 针对训练 训练8　求未知指数 若对任意恒成立，求正整数。 答：。 解 按性质有。 解得，所以。 方法：根据指数关系列方程。 注意：先乘后加，关系为。 方法总结 综合计算：按结构选法则 方法1　逐项化简 ① 幂的乘方把指数相乘。 ② 同底数幂相乘把指数相加。 ③ 同类项相加只加系数。 方法2　求未知指数 ① 先把两边写成同底数幂。 ② 根据恒等关系比较指数。 ③ 代回原式核对。 针对训练 训练9　整体底数综合 计算。 答：。 解 先得。 指数相加得。 方法：保持这个整体不变。 注意：不要展开括号里的差。 针对训练 训练10　逆用性质求值 已知，求。 答：。 解 。 代入得。 方法：把目标指数写成已知指数的倍数。 注意：用乘方性质把已知量整体代入。 针对训练 训练11　两种方法求同一结果 计算，写出两种过程。 答：。 解 方法一：。 方法二：。 方法：共同整体明显时可先合并外层幂。 注意：两种过程使用性质的顺序不同。 针对训练 训练12　应用：面积换算 厘米毫米。一块面积为平方厘米的纸板，面积是多少平方毫米？ 答：平方毫米。 解 平方厘米平方毫米。 总面积。 方法：先求单位面积的换算倍数。 注意：长度换算倍数要平方。 针对训练 训练13　应用：正方体体积 一个正方体的棱长为厘米，。它的体积是多少立方厘米？ 答：立方厘米。 解 体积等于棱长的三次方。 体积。 方法：体积关系给出外层指数。 注意：指数，单位为立方厘米。 方法总结 应用题：量与单位同时考虑 方法1　几何关系 ① 正方形面积为边长的平方。 ② 正方体体积为棱长的立方。 方法2　单位换算 ① 先写长度单位的换算关系。 ② 面积用平方，体积用立方。 ③ 最后核对结果所用单位。 $