11.1 整式的乘法（第3课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.1 整式的乘法 （第3课时）积的乘方 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 复习两条幂运算性质 同底数幂相乘 。 幂的乘方 。 指数条件 是正整数，先识别运算结构。 复习引入 复习　同一算式中的两种运算 计算。 答：。 解 先乘方：。 再相乘：。 方法：先乘方，后乘法。 注意：指数先相乘再相加。 复习引入 引入　两个数的积再平方 比较与，你发现了什么？ 答：两者都等于。 解 。 。 方法：用数字比较两个算式的结果。 注意：接下来说明这个关系为何成立。 新知讲授 积的平方怎样展开 乘方意义 。 交换与结合 。 计算结果 。 新知讲授 积的立方怎样展开 乘方意义 。 按因子分类 共有个与个相乘。 计算结果 。 新知讲授 从具体次数到一般次数 展开 中有个相乘。 重新组合 运用交换律、结合律，分别集中与。 得到公式 ，是正整数。 新知讲授 积的乘方性质 性质 积的乘方，等于乘方的积． 字母表示 （是正整数）． 使用方法 把积中的每一个因子分别乘方，再相乘。 新知讲授 数系数也是一个因子 正确计算 。 常见错误 只把平方而不把平方，会漏掉因子。 分数系数 。 新知讲授 负号也要参加乘方 奇数次幂 。 偶数次幂 。 检查要点 先看负号是否在乘方的括号内。 新知讲授 因子本身是幂怎么办 分配外层指数 。 再算幂的乘方 。 得到结果 。 新知讲授 推广到三个因子的积 分组 。 继续展开 。 范围 是正整数；每一个因子都要乘方。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 分别平方：。 计算系数得。 解第（2）题 分别立方：。 分子、分母都立方，得。 方法：系数、每个字母因子都分别乘方。 注意：分数的分子和分母都要乘方。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 写成。 得。 解第（4）题 写成。 得。 方法：系数、每个字母因子都分别乘方。 注意：分数的分子和分母都要乘方。 例题讲解 例 6 计算。 变式 答：。 解 系数为。 字母部分为。 方法：把系数与字母各自乘方。 注意：负数的奇数次幂为负。 例题讲解 例 7 计算： （1） （2） 解第（1）题 分别乘方：。 得。 解第（2）题 先以为共同底数相乘。 原式。 方法：有相同整体底数时，先合并幂更简便。 注意：三个因子全部乘方，不能遗漏任何字母。 例题讲解 例 7 计算。 变式 答：。 解 共同底数为。 原式。 方法：先把相同底数幂合成一个幂。 注意：合并后总次数为奇数，系数为负。 例题讲解 例 8 计算： （1） （2） （是正整数） （3） （结果用幂的形式表示） 解第（1）题 各项化为。 合并同类项得。 方法：先乘方，再乘法，最后合并同类项。 注意：系数的乘方与字母指数运算要分别完成。 例题讲解 例 8 计算： （1） （2） （是正整数） （3） （结果用幂的形式表示） 解第（2）题 两项分别为、。 合并得。 方法：先乘方，再乘法，最后合并同类项。 注意：系数的乘方与字母指数运算要分别完成。 例题讲解 例 8 计算： （1） （2） （是正整数） （3） （结果用幂的形式表示） 解第（3）题 分别乘方得。 合并得。 方法：先乘方，再乘法，最后合并同类项。 注意：系数的乘方与字母指数运算要分别完成。 例题讲解 例 8 计算。 变式 答：。 解 第一项为，第二项为。 原式。 方法：把每一项化简后再合并。 注意：乘方后的系数是。 方法总结 三种幂运算性质的选择 方法1　从结构选择 ① 同底数幂相乘：指数相加。 ② 幂的乘方：指数相乘。 ③ 积的乘方：每个因子分别乘方。 方法2　从顺序检查 ① 先计算括号外的乘方。 ② 再计算乘积，最后加减。 ③ 特别检查系数与负号。 课堂练习 练习1　判断并改正 （1）。 × 应为，系数也要平方。 （2）。 × 应为，指数要相乘。 （3）。 √ 每个因子都正确地取了三次方。 （4）。 × 应为。 方法：逐项核对系数、指数与符号。 注意：分母的三次方是。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） 解第（1）题 系数为。 字母为。 解第（2）题 系数为。 字母分别平方得。 方法：将外层指数作用到每一个因子。 注意：原来没有指数的字母也要乘方。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （是大于的正整数） （3） （结果用幂的形式表示） （4） 解第（1）题 分别得。 指数相加：。 方法：相反底数的偶数次幂相同，可统一底数。 注意：统一底数前先判断指数的奇偶性。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （是大于的正整数） （3） （结果用幂的形式表示） （4） 解第（2）题 第一项为。 第二项为，相减得。 方法：相反底数的偶数次幂相同，可统一底数。 注意：统一底数前先判断指数的奇偶性。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （是大于的正整数） （3） （结果用幂的形式表示） （4） 解第（3）题 。 原式。 方法：相反底数的偶数次幂相同，可统一底数。 注意：统一底数前先判断指数的奇偶性。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （是大于的正整数） （3） （结果用幂的形式表示） （4） 解第（4）题 两项分别为、。 因，两项相等，差为。 方法：相反底数的偶数次幂相同，可统一底数。 注意：统一底数前先判断指数的奇偶性。 课堂总结 积的乘方 性质 。 系数 数系数、负号都参加乘方。 字母 每个字母的原指数乘外层指数。 综合 先乘方，再乘法，最后加减。 特别提醒：乘积中的每个因子都要乘方；不要误用于和或差。 针对训练 训练1　选择 下列计算正确的是哪一项？ A. B. C. D. 答：D。 解 积中每个因子都要平方。 。 方法：重点检查系数是否乘方。 注意：平方后的系数不能保留负号。 针对训练 训练2　填空 填空：。 答：；。 解 系数为。 字母指数为。 方法：系数和字母部分分开计算。 注意：系数乘方，指数相乘。 针对训练 训练3　分数系数 计算。 答：。 解 系数平方为。 字母平方为。 方法：分数的分子分母分别平方。 注意：分母不是。 针对训练 训练4　三个字母因子 计算。 答：。 解 系数为。 字母分别得。 方法：按系数、各字母的顺序逐个计算。 注意：外层指数不能只作用到最后一个因子。 方法总结 积的乘方：逐因子检查 方法1　计算清单 ① 系数单独乘方。 ② 各字母的指数乘外层指数。 ③ 结果按习惯顺序书写。 方法2　符号清单 ① 负号在括号内就参加乘方。 ② 负系数的偶数次幂为正。 ③ 负系数的奇数次幂为负。 针对训练 训练5　连续乘方与乘法 计算。 答：。 解 先合并为。 再分别乘方，得。 方法：共同底数相同时先合并。 注意：合并后的指数是。 针对训练 训练6　负号在括号内外 计算与。 答：；。 解 第一式的负号在乘方外。 第二式中整体平方得。 方法：看清负号是否属于底数。 注意：两式仅负号位置不同，结果互为相反数。 针对训练 训练7　化简含字母指数的式子 计算，是正整数。 答：。 解 两项为与。 相减得。 方法：先完成乘方与乘法。 注意：指数相同的项才可合并。 针对训练 训练8　确定未知指数 若对任意恒成立，求正整数。 答：。 解 左边化为。 由得。 方法：分别比较同一个字母的指数。 注意：不同字母的指数不能彼此相加。 方法总结 综合运算：先化简每一项 方法1　同底数的积 ① 可先合并共同底数的幂。 ② 再把积中的各因子分别乘方。 方法2　含加减的式子 ① 按先乘方后乘法的顺序计算。 ② 统一字母部分后合并同类项。 ③ 保留不能合并的项。 针对训练 训练9　整体底数的运算 计算。 答：。 解 第一项为。 相减得。 方法：把保持为同一个整体。 注意：数系数也要取三次方。 针对训练 训练10　逆用积的乘方 计算。 答：，即。 解 。 得。 方法：指数相同可逆用积的乘方。 注意：先看底数相乘能否形成整十、整百数。 针对训练 训练11　纠正积与和的混淆 小明把写成。用检验。 答：两边分别为、，不相等。 解 左边为。 右边为。 方法：用一组具体数检验错误等式。 注意：积的乘方性质不能直接用于和的乘方。 针对训练 训练12　应用：正方形花坛 正方形花坛的边长为米，。求花坛的面积。 答：平方米。 解 面积。 分别平方得。 方法：先写面积为边长的平方。 注意：边长中的系数也要平方。 针对训练 训练13　应用：正方体包装盒 正方体包装盒的棱长为分米，。求包装盒的容积。 答：立方分米。 解 容积。 分别立方得。 方法：正方体容积等于棱长的三次方。 注意：每个因子均需立方，单位也变成立方单位。 方法总结 应用题：几何关系中的积的乘方 方法1　建立关系 ① 正方形面积用边长的平方。 ② 正方体体积用棱长的立方。 方法2　完成计算 ① 先列完整带括号的乘方式。 ② 把系数与每个字母分别乘方。 ③ 核对面积、体积的单位。 $