11.1 整式的乘法（第4课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.1 整式的乘法 （第4课时）单项式乘单项式、单项式乘整式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 复习单项式的系数与字母部分 辨认 的系数是。 指数 字母的指数为，字母的指数为。 提醒 单独出现的字母因子不能遗漏。 复习引入 复习　乘方与同底数幂相乘 计算与。 答：；。 解 。 。 方法：分别使用积的乘方和同底数幂乘法。 注意：数系数也要参加乘方。 复习引入 引入　光行进一年的距离 光在真空中的速度约为千米/秒，光年是指光在真空中经过年所行的距离，它是一个长度单位。若取一年的时间约为秒，则光年的距离大约为多少？ 答：约千米。 解 路程。 分组得。 方法：先用速度乘时间列式。 注意：数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘。 新知讲授 探究　把相同类型的因子放在一起 待求乘积 。 交换与结合 。 得到结果 。 新知讲授 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘． 系数相乘 。 字母相乘 ，其余字母因子保留。 新知讲授 按系数和字母逐类计算 原式 。 分别计算 系数为；；。 整理结果 。 新知讲授 只在一个因式中出现的字母 原式 。 分组 。 结果 ；字母都是积的因子。 新知讲授 含乘方时先处理乘方 原式 。 先乘方 。 再相乘 。 新知讲授 探究　单项式乘整式 原式 。 分配律 。 算出结果 。 新知讲授 单项式乘整式的法则 法则 单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加． 字母表示 。 检查 括号里有几项，就应得到几个乘积。 新知讲授 每一项都包括它前面的符号 识别三项 的三项是、、。 逐项相乘 。 特别注意 常数项也必须乘以括号外的单项式。 新知讲授 用面积理解乘法分配律 同一长方形的两种求面积方法 条件： 两块长方形的宽均为，长分别为；均大于。 分块求面积： 两块面积分别为、。 整体求面积： 总面积为。 例题讲解 例 9 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 系数为。 字母为。 解第（2）题 系数为。 字母为。 方法：先乘方，再分别计算系数与同底数幂。 注意：只在一个因式中的字母照样保留。 例题讲解 例 9 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 先乘方得。 系数相乘、指数相加，得。 方法：先乘方，再分别计算系数与同底数幂。 注意：只在一个因式中的字母照样保留。 例题讲解 例 9 计算。 变式 答：。 解 系数为。 字母部分为。 方法：系数先约分，字母按类别合并。 注意：字母只出现一次也不能丢掉。 例题讲解 例 10 求单项式、与的乘积。 答：。 解 系数为。 字母为。 方法：多个单项式仍按系数、同底数幂分类相乘。 注意：每个字母的指数分别累加。 例题讲解 例 10 计算。 变式 答：。 解 系数为。 字母为。 方法：先算数系数，再合并同底数幂。 注意：系数为时通常省略不写。 例题讲解 例 11 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 分配为。 分别相乘得。 方法：把括号外单项式乘到括号内的每一项。 注意：带上各项自己的符号，常数项也要乘。 例题讲解 例 11 计算： （1） （2） （3） 解第（2）题 分配到两项：与。 分别相乘得。 方法：把括号外单项式乘到括号内的每一项。 注意：带上各项自己的符号，常数项也要乘。 例题讲解 例 11 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 依次乘三项，得到、、。 把三个积相加。 方法：把括号外单项式乘到括号内的每一项。 注意：带上各项自己的符号，常数项也要乘。 例题讲解 例 11 计算。 变式 答：。 解 逐项相乘：、、。 把三个乘积相加。 方法：逐项分配，分别确定数系数。 注意：中间项的系数为。 方法总结 从单项式乘法到分配律 方法1　单项式与单项式相乘 ① 系数相乘并判断符号。 ② 每种相同字母的指数相加。 ③ 其余字母因子完整保留。 方法2　单项式乘整式 ① 按项逐一分配。 ② 每项连同前面的符号一起相乘。 ③ 所得各积相加，再合并同类项。 例题讲解 讨论　组合图形的面积 如何求图11-1-1中涂色部分的面积？ 图11-1-1 答：。 解 半圆面积为。 两个长方形面积为与。 相加得。 方法：把图形分成一个半圆和两个长方形。 注意：、；半圆半径为。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 系数为。 字母为。 解第（2）题 先算。 再乘得。 方法：先乘方，再展开，最后整理。 注意：分数系数先约分，平方后的负系数变正。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 把分别乘到、、。 得到。 解第（4）题 先算。 再分配得。 方法：先乘方，再展开，最后整理。 注意：分数系数先约分，平方后的负系数变正。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 展开得。 合并。 解第（2）题 展开得。 合并两个得。 方法：先完整展开各括号，再按同类项整理。 注意：括号前的减号要随单项式分配到每一项。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 展开得。 合并同类项，得。 解第（4）题 展开得。 合并得。 方法：先完整展开各括号，再按同类项整理。 注意：括号前的减号要随单项式分配到每一项。 课堂练习 练习提升　先化简再求值 化简，并求时的值。 答：；值为。 解 展开并合并：。 代入得。 方法：先化简，可减少代入计算的步骤。 注意：代入负数时要加括号。 课堂总结 单项式 乘整式 单项式乘单项式 系数相乘，同底数幂分别相乘。 单项式乘整式 逐项相乘，把所得各积相加。 运算顺序 先乘方，再乘法，最后合并同类项。 检查 符号不丢，项不漏，字母不遗漏。 特别提醒：括号里的每一项都要乘，包括常数项与负项。 针对训练 训练1　选择 下列计算正确的是哪一项？ A. B. C. D. 答：C。 解 每一项都应乘以。 。 方法：同时检查指数与分配律。 注意：系数相乘，指数相加。 针对训练 训练2　填空 填空：。 答：。 解 字母相乘已满足。 系数满足。 方法：分别核对系数与字母部分。 注意：系数乘积为，未知系数应为负。 针对训练 训练3　不同字母不遗漏 计算。 答：。 解 系数为。 字母部分为。 方法：先系数，后逐类字母。 注意：字母保留在乘积中。 针对训练 训练4　乘方后相乘 计算。 答：。 解 先算。 再相乘得。 方法：乘方结束后再相乘。 注意：平方后系数为，再乘得。 方法总结 基础题：单项式乘法核对 方法1　系数 ① 先确定系数乘积的正负号。 ② 分数乘法可先约分。 ③ 系数为时一般省略。 方法2　字母 ① 相同字母的指数相加。 ② 不同字母全部保留。 ③ 没有写出的指数为。 针对训练 训练5　分配到三项 计算。 答：。 解 逐项乘得、、。 把三个乘积相加。 方法：按括号内的原顺序逐项计算。 注意：常数项也乘以。 针对训练 训练6　分数系数的分配 计算。 答：。 解 三个系数乘积为、、。 对应字母为、、。 方法：先分配，再把每项系数约分。 注意：中间项的系数为。 针对训练 训练7　展开后合并 计算。 答：。 解 展开得。 合并得。 方法：先展开两部分，再合并。 注意：括号前乘到每一项。 针对训练 训练8　找出遗漏的一项 小明写。请改正。 答：。 解 前两项计算正确。 漏掉。 方法：检查展开后的项数。 注意：乘以常数项仍得到括号外的单项式。 方法总结 分配律：不漏项、不丢符号 方法1　逐项展开 ① 每一项包括它前面的符号。 ② 用括号外单项式分别相乘。 ③ 可用项数检查是否漏乘。 方法2　展开后整理 ① 先按字母与指数寻找同类项。 ② 只合并同类项的系数。 ③ 不能合并的项按原符号保留。 针对训练 训练9　化简后代入 化简，再求时的值。 答：；值为。 解 展开得。 代入得。 方法：先化简能减少乘方与分数运算。 注意：不要急于把数代入原来的每一项。 针对训练 训练10　确定待定系数 若对任意恒成立，求。 答：。 解 左边展开为。 由得，代入另一项也成立。 方法：展开后比较对应项的系数。 注意：求出后应检查所有对应项。 针对训练 训练11　含多个括号的化简 计算。 答：。 解 展开得。 合并得。 方法：逐个展开后集中合并同类项。 注意：不要漏掉最后独立的一项。 针对训练 训练12　应用：花坛面积 长方形花坛的宽为米，长为米，。求花坛的面积。 长方形花坛 答：平方米。 解 面积。 展开得。 方法：长乘宽，转化为单项式乘整式。 注意：字母取正值保证实际长度为正。 针对训练 训练13　应用：购买文具 每本练习本售价元，第一组买本，第二组买本，其中是正整数。两组共付多少元？ 答：元。 解 费用。 展开合并得。 方法：分别用单价乘数量，再把费用相加。 注意：检查两组的常数项都乘了单价。 方法总结 应用题：把关系写成整式乘法 方法1　列式 ① 长方形面积等于长乘宽。 ② 总价等于单价乘数量。 ③ 多部分的总量分别计算后相加。 方法2　化简与作答 ① 单项式乘到括号内每一项。 ② 展开后合并同类项。 ③ 说明结果表示的量和单位。 $