专题11.1 整式的乘法【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题11.1 整式的乘法（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的运算。 · 掌握单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则。 · 能运用整式乘法解决图形面积、不含项、新定义等综合问题。 · 体会整体思想、转化思想在整式乘法中的应用。 · 培养运算能力、逻辑推理能力和几何直观能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（m、n 为正整数）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ。 · 注意符号和指数运算。 ※ 典型例题 1 题目：已知 aᵐ = 3，aⁿ = 2，求 aᵐ⁺ⁿ 的值。 解析：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ = 3 × 2 = 6。 答案：6 ☆ 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（m、n 为正整数）。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−x⁵)² 的结果是（  ） A. −x¹⁰   B. x¹⁰   C. −x⁷   D. x⁷ 解析：(−x⁵)² = (−1)² · (x⁵)² = x¹⁰。 答案：B ☆ 3. 积的乘方 法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ（n 为正整数）。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ。 · 注意符号和多个因式的情况。 ※ 典型例题 3 题目：计算 (−2x²y³)³ 的结果是（  ） A. −8x⁶y⁹   B. 8x⁶y⁹   C. −6x⁵y⁶   D. 6x⁵y⁶ 解析：(−2)³ · (x²)³ · (y³)³ = −8x⁶y⁹。 答案：A ☆ 4. 单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍是单项式。 ※ 典型例题 4 题目：计算 (−\frac{3}{2}xy²)² · 4xy 的结果是（  ） A. −9x²y³   B. 6x²y³   C. 6x³y⁵   D. 9x³y⁵ 解析：先算积的乘方：(−\frac{3}{2}xy²)² = \frac{9}{4}x²y⁴，再乘 4xy 得 9x³y⁵。 答案：D ☆ 5. 单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 m(a+b+c) = ma+mb+mc。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 5 题目：计算 −2x³ · (4x − 2xy) 的结果是（  ） A. −8x⁴ + 4x⁴y   B. −8x⁴ + 4x³y   C. −8x⁴ − 4x⁴y   D. 8x⁴ − 4x⁴y 解析：−2x³ · 4x = −8x⁴，−2x³ · (−2xy) = 4x⁴y，所以结果为 −8x⁴ + 4x⁴y。 答案：A ☆ 6. 多项式乘以多项式 法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd。 · 注意不漏项，符号要正确。 · 合并同类项得到最简结果。 ※ 典型例题 6 题目：若 (x+1)(x−2) = x²+mx−2，则 m 的值为（  ） A. −1   B. 1   C. 2   D. 3 解析：(x+1)(x−2) = x²−2x+x−2 = x²−x−2，所以 m = −1。 答案：A ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 注意符号，负号偶次幂为正 积的乘方 每个因式分别乘方 逆用可简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘 只在一个单项式中的字母照写 单项式×多项式 单项式乘多项式的每一项 注意符号，不要漏项 多项式×多项式 用一个多项式的每一项乘另一个 合并同类项，结果最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的乘法（第1–5题） ※方法总结 · 直接应用：aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ，用于已知幂求值。 · 注意底数可以是整式，指数相加。 1．（2026•礼泉县模拟）计算m4•m3的结果为（　　） A．m12 B．m7 C．m5 D．m 【分析】根据同底数幂的除法的运算法则进行计算． 【解答】解：m4•m3＝m7． 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是关键． 2．（2026•雷州市模拟）若10a×102＝100000，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解；∵10a×102＝10a+2＝100000＝105， ∴a+2＝5， ∴a＝3． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2026春•砀山县月考）已知am＝3，an＝2，则am+n＝（　　） A．5 B．1 C．6 D．8 【分析】根据同底数幂的乘法运算即可． 【解答】解：由条件可得：am+n＝am•an＝3×2＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 4．（2022秋•铁西区校级月考）已知a3•am•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值　7　 ． 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可． 【解答】解：∵a3•am•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0）， ∴a3+m+2m+1＝a25， ∴3+m+2m+1＝25， 解得m＝7， 故填7． 【点评】运用同底数幂的乘法法则时需要注意： （1）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质：am•an•ap＝am+n+p相乘时（m、n、p均为正整数）； （2）公式的特点：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂指数相加． 5．（2025春•大丰区校级月考）已知xa+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3． 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得a+b+2b﹣a＝9，计算出b的值，再代入即可． 【解答】解：∵xa+b•x2b﹣a＝x9， ∴a+b+2b﹣a＝9， 解得：b＝3， （﹣3）b+（﹣3）3＝（﹣3）3+（﹣3）3＝﹣27﹣27＝﹣54． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则． 【考点2】幂的乘方（第6–12题） ※方法总结 · 直接应用：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ，用于比较大小或求值。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 6．（2026春•碑林区校级期中）已知2x＝3，2y＝6，则22x+y的值为（　　） A．18 B．30 C．54 D．50 【分析】利用幂的乘方，和同底数幂的乘法进行计算即可． 【解答】解：∵（2x）2＝22x＝32＝9， ∴22x•2y＝22x+y＝9×6＝54， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，利用法则计算是解题的关键． 7．（2026•普陀区二模）下列关于（x2）3计算所得的结果中，正确的是（　　） A．x5 B．x6 C．x8 D．x9 【分析】利用幂的乘方底数不变指数相乘进行计算． 【解答】解：∵（x2）3＝x6， 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方运算，记住乘方运算的法则公式是解题的关键． 8．（2026春•福田区校级期中）已知a＝244，b＝333，c＝522，那么a，b，c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【分析】利用幂的乘方法则将a、b、c变为指数相同的，再比较底数即可． 【解答】解：a＝244＝（24）11＝1611，b＝333＝（33）11＝2711，c＝522＝（52）11＝2511， ∵1611＜2511＜2711， ∴a＜c＜b， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键． 9．（2026•鼓楼区校级模拟）已知：2x+3y﹣3＝0，计算：4x•8y的值＝　8　 ． 【分析】先求出2x+3y＝3，再对所求代数式进行变形，整体代入求值即可． 【解答】解：∵2x+3y﹣3＝0， ∴2x+3y＝3， ∴4x⋅8y＝22x⋅23y＝22x+3y＝23＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法，解题关键是正确变形以及整体代入． 10．（2026春•长寿区校级月考）已知x满足2x+2﹣2x+1＝32，则x＝　4　 ． 【分析】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【解答】解：2x+2﹣2x+1＝32， 2x•22﹣2x•21＝32， 2x（4﹣2）＝32， 2•2x＝32， 2x+1＝25， x+1＝5， 解得 x＝4． 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 11．（2026春•江都区期中）（1）已知2x+3y＝4，求4x•8y的值； （2）已知9b＝6，3a＝2，求33a+2b的值． 【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）4x•8y ＝22x•23y ＝22x+3y， ∵2x+3y＝4， ∴原式＝24＝16； （2） ∴33a+2b ＝33a×（32）b ＝（3a）3×9b， ∵9b＝6，3a＝2， ∴原式＝23×6＝48． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 12．（2026春•延庆区期中）阅读下面材料： 材料一：比较28和82的大小 材料二：比较322和411的大小 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82． 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，所以322＞222，即322＞411． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较260，450，826的大小； （2）比较320，415，510的大小． 【分析】（1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【解答】解：（1）∵450＝（22）50＝2100，826＝（23）26＝278， ∵100＞78＞60， ∴450＞826＞260； （2）∵320＝（34）5＝815，415＝（43）5＝645，510＝（52）5＝255， ∵25＜64＜81， ∴510＜415＜320． 【点评】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，掌握有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则是关键． 【考点3】积的乘方（第13–20题） ※方法总结 · 直接应用：(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ，用于简化计算。 · 注意多个因式的情况，如 (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ。 13．（2025秋•曲靖期末）计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2025•灞桥区校级模拟）计算（﹣a2b3）3的结果是（　　） A．﹣a6b3 B．﹣a6b9 C．﹣a5b6 D．a5b6 【分析】利用积的乘方的运算法则计算即可． 【解答】解：积的乘方的运算法则可得： 原式＝﹣（a2）3（b3）3＝﹣a6b9， 故选：B． 【点评】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 15．（2026春•城关区期中）已知an＝4，bn＝10，则（ab）n＝　40　 ． 【分析】利用积的乘方进行计算即可． 【解答】解：∵an＝4，bn＝10，∴（ab）n＝an•bn＝4×10＝40， 故答案为：40． 【点评】本题考查了积的乘方，运用积的乘方运算法则进行计算是解题的关键． 16．（2026•北辰区一模）计算（﹣b3）2的结果为b6 ． 【分析】根据偶正奇负得到符号，再根据底数不变，指数相乘即可求解． 【解答】解：根据偶正奇负得到符号，再根据底数不变，指数相乘计算：（﹣b3）2＝b6， 故答案为：b6． 【点评】本题考查了幂的乘方运算，掌握其运算法则是关键． 17．（2025秋•奉贤区期末）计算：（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【分析】先利用幂的运算，分别化简每一项，再进行合并同类项即可． 【解答】解：原式＝﹣8x6+x6﹣9x6＝﹣16x6． 【点评】本题考查了幂的运算，包括幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键． 18．（2026春•同步）计算： （1）[（﹣2a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3． 【分析】（1）本题可根据积的乘方与幂的乘方运算法则来计算．先根据积的乘方运算法则计算（﹣2a2b3）3，再对所得结果进行平方运算． （2）本题同样依据积的乘方与幂的乘方运算法则分别计算（﹣2xy2）6和（﹣3x2y4）3，然后将所得结果相加． 【解答】解：（1）原式＝（﹣2a2b3）6 ＝（﹣2）6×（a2）6×（b3）6 ＝64a12b18； （2）原式＝（﹣2）6x6（y2）6+（﹣3）3（x2）3（y4）3 ＝64x6y12﹣27x6y12 ＝（64﹣27）x6y12 ＝37x6y12． 【点评】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方运算法则．熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 19．（2026春•同步）计算： （1）（102）8； （2）（xm）2； （3）[（﹣a）3]5； （4）﹣（x2）m． 【分析】（1）对于（102）8，可根据幂的乘方法则，即幂的乘方，底数不变，指数相乘来进行计算． （2）对于（xm）2，同样依据幂的乘方法则，底数x不变，指数m与2相乘． （3）对于[（﹣a）3]5，先根据幂的乘方法则，底数﹣a不变，指数3与5相乘，然后确定符号即可． （4）先根据幂的乘方法则计算（x2）m，再取其相反数． 【解答】解：（1）原式＝102×8 ＝1016； （2）原式＝xm×2 ＝x2m； （3）原式＝（﹣a）3×5 ＝（﹣a）15 ＝﹣a15； （4）原式＝﹣x2×m ＝﹣x2m． 【点评】本题主要考查了幂的乘方运算法则．幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为（am）n＝amn（m、n是正整数）．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 20．（2015秋•宁城县期末）已知xn＝2，yn＝3，求（x2y）2n的值． 【分析】利用积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘把代数式化简，再把已知代入求值即可． 【解答】解：∵xn＝2，yn＝3， ∴（x2y）2n ＝x4ny2n ＝（xn）4（yn）2 ＝24×32 ＝144． 【点评】本题主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 【考点4】单项式乘以单项式（第21–25题） ※方法总结 · 系数相乘，同底数幂相乘。 · 只在一个单项式中出现的字母，连同指数照写。 · 注意符号运算。 21．（2025•陕西模拟）计算：（　　） A．﹣9x2y3 B．6x2y3 C．6x3y5 D．9x3y5 【分析】先由积的乘方运算化简，再由单项式乘单项式运算法则计算即可得到答案． 【解答】解：原式9x3y5． 故选：D． 【点评】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘单项式等知识，熟练掌握乘方运算、单项式乘单项式等知识是解决问题的关键． 22．（2025•瑶海区模拟）计算（﹣2x2）3•x2的结果是（　　） A．﹣6x7 B．6x7 C．﹣8x8 D．8x8 【分析】根据相关运算法则进行计算即可． 【解答】解：根据相关运算法则进行计算可得： （﹣2x2）3•x2＝﹣8x6•x2＝﹣8x8； 故选：C． 【点评】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握 相关运算法则是关键． 23．（2022秋•浦东新区校级期中）计算：　　 ． 【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再按照单项式乘单项式运算法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则，准确计算． 24．（2022春•肥东县期末）（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2． 【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，再合并同类项即可求解． 【解答】解：（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2 ＝4y6﹣64y6﹣4y2•（9y4） ＝4y6﹣64y6﹣36y6 ＝﹣96y6． 【点评】考查了积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 25．（2013秋•单元）已知（2x3y2）•（﹣3xmy3）•（5x2yn）＝﹣30x4y2，求m+n的值． 【分析】已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出m+n的值． 【解答】解：（2x3y2）•（﹣3xmy3）•（5x2yn）＝﹣30xm+5yn+5＝﹣30x4y2， ∴m+5＝4，n+5＝2，即m＝﹣1，n＝﹣3， 则m+n＝﹣4． 【点评】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点5】单项式乘以多项式（第26–32题） ※方法总结 · 用单项式乘多项式的每一项，积相加。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果项数与原多项式相同。 26．（2026春•东阳市月考）已知单项式A，B满足4x（A﹣7x）＝8x2y2+B，则AB＝（　　） A．﹣56x3y2 B．﹣56x2y3 C．﹣28x2y2 D．﹣28x3y3 【分析】根据题意，把原式展开，分类讨论，分别得到A，B所代表的式子，即可得到结果． 【解答】解：4x（A﹣7x）＝8x2y2+B， 4x•A﹣28x2＝8x2y2+B， 4x•A﹣B＝8x2y2+28x2， 若B＝﹣28x2，则A＝2xy2， ∴AB＝﹣56x3y2， 若B＝﹣8x2y2，则A＝7x， ∴AB＝﹣56x3y2， 综上，AB＝﹣56x3y2， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 27．（2025秋•龙华区期中）若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【分析】将x2+2x﹣1＝0整理得x2+2x＝1，然后代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握整式的化简求值是解题的关键． 28．（2025春•碧江区 校级月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：﹣2x3•（4x﹣2xy）＝4x4y﹣8□，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（　　） A．x B．y C．x2y D．x4 【分析】单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可． 【解答】解：原式＝﹣2x3×4x﹣2x3×（﹣2xy） ＝﹣8x4+4x4y ＝4x4y﹣8x4， 故被墨水污染了的应是x4， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 29．（2024秋•清水县期中）已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，则这个多项式是（　　） A．4x+xy﹣3 B．﹣4x﹣2xy+3 C．4x﹣2xy﹣6 D．4x+2xy﹣3 【分析】利用多项式除以单项式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得这个多项式是： （28x4y2+7x4y3﹣21x3y2）÷7x3y2＝4x+xy﹣3； 故选：A． 【点评】本题考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 30．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为　1　 ． 【分析】根据多项式的定义、乘方的运算法则即可得解． 【解答】解：由条件可知：a﹣3＝0，4+b＝0， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2024＝（3﹣4）2024＝（﹣1）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了多项式、乘方的运算等知识点，熟练掌握多项式的定义、乘方的运算法则是解决本题的关键． 31．（2024春•即墨区期中）小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，结果还是25，则m的值为 　±5　 ． 【分析】先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m． 【解答】解：（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n） ＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣33m2﹣12mn ＝m2， 所以这个结果与n的取值无关，是25， ∵m2＝25， ∴m＝±5； 故答案为：±5． 【点评】本题考查了整式的混合运算，正确理解题意、熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 32．（2024秋•静安区校级期中）（a2b+ab2﹣3b3）•（4ab2）﹣（﹣2ab2）2． 【分析】利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【解答】解：原式＝a2b•（4ab2）+ab2•（4ab2）﹣3b3•（4ab2）﹣4a2b4 ＝4a3b3+4a2b4﹣12ab5﹣4a2b4 ＝4a3b3﹣12ab5． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．熟练掌握运算法则是关键． 【考点6】多项式乘以多项式（第33–40题） ※方法总结 · 用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项。 · 注意不要漏项，合并同类项。 · “不含某项”问题，令该项系数为0。 33．（2026春•沙坪坝区校级期中）若（2ax+3）（x2﹣x+1）的结果不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．2 【分析】根据题意，得出关于a的方程，据此进行求解即可． 【解答】解：由题知， （2ax+3）（x2﹣x+1）＝2ax3﹣2ax2+2ax+3x2﹣3x+3＝2ax3+（3﹣2a）x2+（2a﹣3）x+3． 因为运算结果中不含x2项， 所以3﹣2a＝0， 解得a． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式及合并同类项，熟知多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 34．（2025秋•文山市期末）已知（x+1）（x﹣2）＝x2+mx﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【分析】首先利用整式的乘法化简展开左边，与右边比较同类项即可求解m的值． 【解答】解：利用整式的乘法化简展开左边可得： （x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2， ∵（x+1）（x﹣2）＝x2+mx﹣2， ∴x2﹣x﹣2＝x2+mx﹣2， ∴m＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查整式的乘法化简、同类项的判断，整式的乘法化简是解题的关键． 35．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【解答】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4] ＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10） ＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10， ＝2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 36．（2024秋•漳州期末）下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（　　） A．m（m+n）+m（n﹣1） B．n（m+n﹣1）+m2 C．（m+n）（m+n﹣1）﹣n（n﹣1） D．m2+（2n﹣1）m 【分析】根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【解答】解：根据题意列式表示出该阴影部分的面积： n（m+n﹣1）+m2或（m+n）（m+n﹣1）﹣m（n﹣1）， 故选：B． 【点评】此题考查了多项式乘法与图形面积．熟练掌握以上知识点是关键． 37．（2026春•瑞安市期中）已知关于x的等式（x+p）（x+13）＝x2+2mx+13恒成立，则m＝　7　 ． 【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行计算、求解． 【解答】解：∵（x+p）（x+13） ＝x2+px+13x+13p ＝x2+（p+13）x+13p ＝x2+2mx+13， ∴13p＝13， 解得p＝1， 2m＝13+1， 解得p＝7， 故答案为：7． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 38．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】先计算积的乘方运算，再由单项式乘多项式运算展开即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 39．（2026•东莞市一模）如图，有一块长为（5a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含a，b的式子表示）； （2）当a＝3，b＝2时，求绿化区域的面积． 【分析】（1）根据整式的乘法法则计算； （2）将a，b的值代入计算得出答案． 【解答】解：（1）绿化区域的面积为（5a+b）（2a+b）﹣2（a+b）2 ＝10a2+7ab+b2﹣2（a2+2ab+b2） ＝8a2+3ab﹣b2． 答：绿化区域的面积为（8a2+3ab﹣b2）平方米； （2）当a＝3，b＝2时，8a2+3ab﹣b2＝8×32+3×3×2﹣22＝86． 答：绿化区域的面积为86平方米． 【点评】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 40．（2026春•盐都区期中）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【分析】（1）根据幂的运算，逆用幂的乘法和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式不含某一项的问题，先利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，合并同类项后，令x3和x2项的系数为0，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵ax＝2，ay＝3， ∴a2x+y＝（ax）2•ay＝22×3＝12； （2）∵（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3﹣（3m﹣n）x2+（4m﹣3n）x+4n； ∵结果不含x3和x2项， ∴4+m＝0，3m﹣n＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12， ∴m+2n＝﹣4+2×（﹣12）＝﹣28． 【点评】本题考查了整式的化简，熟练掌握整式运算法则是关键． 【考点7】创新及压轴题（第41–43题） ※方法总结 · 归纳规律：如 (x−1)(xⁿ+xⁿ⁻¹+...+1) = xⁿ⁺¹−1。 · 几何解释：利用面积模型验证恒等式。 · 因数分解：利用整数因数分解求参数。 41．（2024秋•永城市校级期中）你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1　 ； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1　 ； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1　 ； … （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1　 ． （2）请你利用上面的结论计算： 299+298+…+2+1． 【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1； （2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1． 故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；2100﹣1 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 42．（2024春•牡丹区期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图②中的几何图形的面积来表示． （1）请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2 ； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 【分析】（1）利用矩形的面积相等列关系式即可； （2）画一个长为（a+3b），宽为（a+b）的矩形即可； （3）一个含有a，b的代数恒等式可以是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，然后画一个长为（a+2b），宽为（a+b）的矩形即可． 【解答】解：（1）根据图形可得： （2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； （2）画图如下（答案不唯一）： （3）恒等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，如图所示（答案不唯一）． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 43．（2011春•铁西区月考）若a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+36，试探讨m可能取的值有哪些？（要有解答过程） 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：m的值应该是36的两个因数的和，从而得出m的值． 【解答】解：∵36＝1×36＝﹣1×（﹣36）＝2×18＝（﹣2）×（﹣18）＝3×12＝（﹣3）×（﹣12）＝4×9＝（﹣4）×（﹣9）＝6×6＝（﹣6）×（﹣6） 则m的值可能为：1+36，﹣1+（﹣36），2+18，﹣2+（﹣18），3+12，（﹣3）+（﹣12），4+9，（﹣4）+（﹣9），6+6，（﹣6）+（﹣6）， 故m的值可能为：37，﹣37，20，﹣20，15，﹣15，13，﹣13，12，﹣12． 【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：幂的运算判断练习2：不含二次项与常数项练习3：多项式乘法求值练习4：图形面积练习5：错看问题 【练习1】（2026春•福田区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．（﹣x5）2＝（﹣x2）5 B．x2+x3＝x5 C．（x3）3＝x6 D．2x3•x2＝2x5 【分析】根据整式的运算法则解答即可． 【解答】解：根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下： A、（﹣x5）2＝x10，（﹣x2）5＝﹣x10，故原选项计算错误，不符合题意； B、x2与x3不是同类项，不能合并同类项，故原选项计算错误，不符合题意； C、（x3）3＝x9，故原选项计算错误，不符合题意； D、2x3•x2＝2x5，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键． 【练习2】（2026春•鄞州区期中）已知多项式ax+b与2x²﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则aᵇ的值为（　　）ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【分析】根据题意先求出（ax+b）（2x2﹣x+1）的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【解答】解：∵（ax+b）（2x2﹣x+1）＝2ax3+（2b﹣a）x2+（a﹣b）x+b， ∴，解得：， ∴ab＝42＝16． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 【练习3】（2026春•瑞安市期中）已知（x+2m）（x+3n）＝x²+5x+a（a是常数），则2²ᵐ•8ⁿ的值为　32　 ．x+2m）（x+3n）＝x2+5x+a（a是常数），则22m•8n的值为　32　 ． 【分析】根据多项式乘多项式运算法则化简后整体代入计算即可． 【解答】解：根据多项式乘多项式运算法则可知： （x+2m）（x+3n）＝x2+（2m+3n）x+6mn＝x2+5x+a， ∴2m+3n＝5， ∴22m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 47．（2026春•亭湖区期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为（4a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为a米的正方形区域内种植芍药． （1）求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝2时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【分析】（1）根据题意列出郁金香种植面积的代数式即可； （2）根据题意代入计算即可． 【解答】解：（1）郁金香种植面积＝长方形面积﹣正方形面积， （4a﹣b）（a+2b）﹣a2＝3a2+7ab﹣2b2． （2）由条件可得：3a2+7ab﹣2b2＝61（平方米）． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 【练习4】（2026春•亭湖区期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为（4a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为a米的正方形区域内种植芍药．x+a）（x+b）时，甲把【练习5】（2026春•高州市月考）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到的结果是x²+9x+18；乙把a错看成了﹣a，得到的结果是x²+x﹣12．错看成了6，得到的结果是x2+9x+18；乙把a错看成了﹣a，得到的结果是x2+x﹣12． （1）求a，b的值； （2）计算（x+a）（x+b）的正确结果． 【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+9x+18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣12，得出6a＝18，﹣a+b＝1，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【解答】解：（1）∵（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+9x+18， （x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣12， ∴6a＝18，﹣a+b＝1， 解得a＝3，b＝4； （2）当a＝3，b＝4时，（x+a）（x+b）＝（x+3）（x+4）＝x2+7x+12． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：单项式乘以多项式作业2：面积表示作业3：卡片拼图作业4：多项式乘法求系数作业5：面积增加作业6：不含一次项作业7：通道面积作业8：错看问题作业9：因式分解求参数作业10：图形面积等式 ❤ 复习建议 牢记幂的运算法则：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，注意符号和指数运算。 乘法法则要熟练：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，注意符号和合并同类项。 “不含某项”列方程：合并同类项后令该项系数为0，是求参数的常用方法。 图形面积模型：利用面积验证恒等式，体会数形结合思想。 新定义与规律：认真阅读，转化为已学知识，培养归纳推理能力。 【作业1】（2024秋•文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy²+6x²y+■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写（　　）xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【分析】先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【解答】解：根据单项式乘多项式运算法则计算得： ∵﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+3xy＝﹣12xy2+6x2y+□， ∴□内上应填写3xy． 故选：A． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 【作业2】（2025秋•中山区期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　）①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据长方形面积公式判断各式是否正确即可． 【解答】解：①（2a+b）（m+n），正确； ②a（m+n）+b（m+n），错误； ③m（2a+b）+n（2a+b），正确； ④2am+2an+bm+bn，正确 故正确的有①③④ 故答案为：C． 【点评】本题考查了长方形的面积问题，掌握长方形的面积公式是解题的关键． 【作业3】（2026春•雁塔区校级期中）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（3m+2n），宽为（m+3n）的大长方形，那么需要C类卡片　11　张．A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（3m+2n），宽为（m+3n）的大长方形，那么需要C类卡片　11　 张． 【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案． 【解答】解：应用多项式乘多项式的运算法则进行计算可得： （3m+2n）（m+3n）＝3m2+9mn+2mn+6n2＝3m2+11mn+6n2， ∵C类卡片的面积为mn， ∴需要11张C类卡片． 故答案为：11． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 【作业4】（2025秋•黄浦区校级月考）如果x²+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　）x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 【分析】由（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4结合（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q，即可得出p、q的值． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4，且（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q， ∴p＝3，q＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【作业5】（2026春•宜兴市期中）如图，某市有一块长为18米，宽为10米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加x米，则广场面积增加了（　　）x米，则广场面积增加了（　　） A．（x2+28x﹣180）平方米 B．（x2+2x）平方米 C．（x2+28x+180）平方米 D．（x2+28x）平方米 【分析】由题意得出改造后广场的长、宽后即可算出增加的面积． 【解答】解：依题意得，广场面积增加了（18+x）（10+x）﹣18×10＝（x2+28x）平方米． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积，解题关键是熟练掌握整式的乘法的应用． 【作业6】（2026春•栖霞区期中）如（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　﹣6　 ．x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　﹣6　 ． 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，然后求解即可． 【解答】解：∵2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项， ∴（2x+m）（x+3）＝2x2+（6+m）x+3m， ∴6+m＝0， ∴m＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算． 【作业7】（2023秋•磐石市期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可． （2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积计算即可． 【解答】解：（1）b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2 ＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2 ＝6ab+5b2（平方米）． 答：通道的面积是（6ab+5b2）平方米． （2）（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2） ＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2 ＝8a2+12ab+4b2（平方米）， 答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米． 【点评】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． 【作业8】（2024春•城关区校级期中）小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x²﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x²﹣x﹣6．x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）式子中的a，b的值各是多少？ （2）请计算出原题的答案． 【分析】（1）根据两人出错的结果列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； （2）将a与b的值代入计算即可求出正确的结果． 【解答】解：（1）∵（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6， ∴2b﹣3a＝﹣13①， ∵（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6， ∴2b+a＝﹣1②， 联立方程①②， 可得， 解得：； （2）（2x+a）（3x+b）＝（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业9】（2024春•单元）如果多项式x²﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？x2﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？ 【分析】本题将（x+b）（x+c）展开后，与x2﹣（a+5）x+5a﹣1类比，再由b、c为整数这一条件即可分别就得a、b、c的值． 【解答】解：由已知条件得：x2﹣（a+5）x+5a﹣1＝（x+b）（x+c）＝x2+（b+c）x+bc 所以，⇒ ∵b、c为整数 ∴或﹣6 代入上式得c＝﹣6或﹣4 把b＝﹣4，c＝﹣6代入5a﹣1＝bc，得a＝5． 把b＝﹣6，c＝﹣4代入5a﹣1＝bc，得到a＝5， 综上所述，a的值是5． 【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，还要注意类比法的运用． 【作业10】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b²．a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 整式的乘法（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的运算。 · 掌握单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则。 · 能运用整式乘法解决图形面积、不含项、新定义等综合问题。 · 体会整体思想、转化思想在整式乘法中的应用。 · 培养运算能力、逻辑推理能力和几何直观能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（m、n 为正整数）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ。 · 注意符号和指数运算。 ※ 典型例题 1 题目：已知 aᵐ = 3，aⁿ = 2，求 aᵐ⁺ⁿ 的值。 解析：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ = 3 × 2 = 6。 答案：6 ☆ 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（m、n 为正整数）。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−x⁵)² 的结果是（  ） A. −x¹⁰   B. x¹⁰   C. −x⁷   D. x⁷ 解析：(−x⁵)² = (−1)² · (x⁵)² = x¹⁰。 答案：B ☆ 3. 积的乘方 法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ（n 为正整数）。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ。 · 注意符号和多个因式的情况。 ※ 典型例题 3 题目：计算 (−2x²y³)³ 的结果是（  ） A. −8x⁶y⁹   B. 8x⁶y⁹   C. −6x⁵y⁶   D. 6x⁵y⁶ 解析：(−2)³ · (x²)³ · (y³)³ = −8x⁶y⁹。 答案：A ☆ 4. 单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍是单项式。 ※ 典型例题 4 题目：计算 (−\frac{3}{2}xy²)² · 4xy 的结果是（  ） A. −9x²y³   B. 6x²y³   C. 6x³y⁵   D. 9x³y⁵ 解析：先算积的乘方：(−\frac{3}{2}xy²)² = \frac{9}{4}x²y⁴，再乘 4xy 得 9x³y⁵。 答案：D ☆ 5. 单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 m(a+b+c) = ma+mb+mc。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 5 题目：计算 −2x³ · (4x − 2xy) 的结果是（  ） A. −8x⁴ + 4x⁴y   B. −8x⁴ + 4x³y   C. −8x⁴ − 4x⁴y   D. 8x⁴ − 4x⁴y 解析：−2x³ · 4x = −8x⁴，−2x³ · (−2xy) = 4x⁴y，所以结果为 −8x⁴ + 4x⁴y。 答案：A ☆ 6. 多项式乘以多项式 法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd。 · 注意不漏项，符号要正确。 · 合并同类项得到最简结果。 ※ 典型例题 6 题目：若 (x+1)(x−2) = x²+mx−2，则 m 的值为（  ） A. −1   B. 1   C. 2   D. 3 解析：(x+1)(x−2) = x²−2x+x−2 = x²−x−2，所以 m = −1。 答案：A ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 注意符号，负号偶次幂为正 积的乘方 每个因式分别乘方 逆用可简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘 只在一个单项式中的字母照写 单项式×多项式 单项式乘多项式的每一项 注意符号，不要漏项 多项式×多项式 用一个多项式的每一项乘另一个 合并同类项，结果最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的乘法（第1–5题） ※方法总结 · 直接应用：aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ，用于已知幂求值。 · 注意底数可以是整式，指数相加。 1．（2026•礼泉县模拟）计算m4•m3的结果为（　　） A．m12 B．m7 C．m5 D．m 2．（2026•雷州市模拟）若10a×102＝100000，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026春•砀山县月考）已知am＝3，an＝2，则am+n＝（　　） A．5 B．1 C．6 D．8 4．（2022秋•铁西区校级月考）已知a3•am•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值　 　 ． 5．（2025春•大丰区校级月考）已知xa+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3． 【考点2】幂的乘方（第6–12题） ※方法总结 · 直接应用：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ，用于比较大小或求值。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 6．（2026春•碑林区校级期中）已知2x＝3，2y＝6，则22x+y的值为（　　） A．18 B．30 C．54 D．50 7．（2026•普陀区二模）下列关于（x2）3计算所得的结果中，正确的是（　　） A．x5 B．x6 C．x8 D．x9 8．（2026春•福田区校级期中）已知a＝244，b＝333，c＝522，那么a，b，c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 9．（2026•鼓楼区校级模拟）已知：2x+3y﹣3＝0，计算：4x•8y的值＝　 　 ． 10．（2026春•长寿区校级月考）已知x满足2x+2﹣2x+1＝32，则x＝　 　 ． 11．（2026春•江都区期中）（1）已知2x+3y＝4，求4x•8y的值； （2）已知9b＝6，3a＝2，求33a+2b的值． 12．（2026春•延庆区期中）阅读下面材料： 材料一：比较28和82的大小 材料二：比较322和411的大小 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82． 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，所以322＞222，即322＞411． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较260，450，826的大小； （2）比较320，415，510的大小． 【考点3】积的乘方（第13–20题） ※方法总结 · 直接应用：(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ，用于简化计算。 · 注意多个因式的情况，如 (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ。 13．（2025秋•曲靖期末）计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 14．（2025•灞桥区校级模拟）计算（﹣a2b3）3的结果是（　　） A．﹣a6b3 B．﹣a6b9 C．﹣a5b6 D．a5b6 15．（2026春•城关区期中）已知an＝4，bn＝10，则（ab）n＝　 　 ． 16．（2026•北辰区一模）计算（﹣b3）2的结果为　 　 ． 17．（2025秋•奉贤区期末）计算：（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 18．（2026春•同步）计算： （1）[（﹣2a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3． 19．（2026春•同步）计算： （1）（102）8； （2）（xm）2； （3）[（﹣a）3]5； （4）﹣（x2）m． 20．（2015秋•宁城县期末）已知xn＝2，yn＝3，求（x2y）2n的值． 【考点4】单项式乘以单项式（第21–25题） ※方法总结 · 系数相乘，同底数幂相乘。 · 只在一个单项式中出现的字母，连同指数照写。 · 注意符号运算。 21．（2025•陕西模拟）计算：（　　） A．﹣9x2y3 B．6x2y3 C．6x3y5 D．9x3y5 22．（2025•瑶海区模拟）计算（﹣2x2）3•x2的结果是（　　） A．﹣6x7 B．6x7 C．﹣8x8 D．8x8 23．（2022秋•浦东新区校级期中）计算：　 　 ． 24．（2022春•肥东县期末）（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2． 25．（2013秋•单元）已知（2x3y2）•（﹣3xmy3）•（5x2yn）＝﹣30x4y2，求m+n的值． 【考点5】单项式乘以多项式（第26–32题） ※方法总结 · 用单项式乘多项式的每一项，积相加。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果项数与原多项式相同。 26．（2026春•东阳市月考）已知单项式A，B满足4x（A﹣7x）＝8x2y2+B，则AB＝（　　） A．﹣56x3y2 B．﹣56x2y3 C．﹣28x2y2 D．﹣28x3y3 27．（2025秋•龙华区期中）若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 28．（2025春•碧江区 校级月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：﹣2x3•（4x﹣2xy）＝4x4y﹣8□，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（　　） A．x B．y C．x2y D．x4 29．（2024秋•清水县期中）已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，则这个多项式是（　　） A．4x+xy﹣3 B．﹣4x﹣2xy+3 C．4x﹣2xy﹣6 D．4x+2xy﹣3 30．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为　 　 ． 31．（2024春•即墨区期中）小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，结果还是25，则m的值为 　 　 ． 32．（2024秋•静安区校级期中）（a2b+ab2﹣3b3）•（4ab2）﹣（﹣2ab2）2． 【考点6】多项式乘以多项式（第33–40题） ※方法总结 · 用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项。 · 注意不要漏项，合并同类项。 · “不含某项”问题，令该项系数为0。 33．（2026春•沙坪坝区校级期中）若（2ax+3）（x2﹣x+1）的结果不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．2 34．（2025秋•文山市期末）已知（x+1）（x﹣2）＝x2+mx﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 35．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 36．（2024秋•漳州期末）下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（　　） A．m（m+n）+m（n﹣1） B．n（m+n﹣1）+m2 C．（m+n）（m+n﹣1）﹣n（n﹣1） D．m2+（2n﹣1）m 37．（2026春•瑞安市期中）已知关于x的等式（x+p）（x+13）＝x2+2mx+13恒成立，则m＝　 　 ． 38．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 39．（2026•东莞市一模）如图，有一块长为（5a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含a，b的式子表示）； （2）当a＝3，b＝2时，求绿化区域的面积． 40．（2026春•盐都区期中）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【考点7】创新及压轴题（第41–43题） ※方法总结 · 归纳规律：如 (x−1)(xⁿ+xⁿ⁻¹+...+1) = xⁿ⁺¹−1。 · 几何解释：利用面积模型验证恒等式。 · 因数分解：利用整数因数分解求参数。 41．（2024秋•永城市校级期中）你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　 　 ； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　 ； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　 ； … （x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝　 　 ． （2）请你利用上面的结论计算： 299+298+…+2+1． 42．（2024春•牡丹区期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图②中的几何图形的面积来表示． （1）请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式　 　 ； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 43．（2011春•铁西区月考）若a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+36，试探讨m可能取的值有哪些？（要有解答过程） 随堂检测 · 精选练习 练习1：幂的运算判断练习2：不含二次项与常数项练习3：多项式乘法求值练习4：图形面积练习5：错看问题 【练习1】（2026春•福田区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．（﹣x5）2＝（﹣x2）5 B．x2+x3＝x5 C．（x3）3＝x6 D．2x3•x2＝2x5 【练习2】（2026春•鄞州区期中）已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【练习3】（2026春•瑞安市期中）已知（x+2m）（x+3n）＝x2+5x+a（a是常数），则22m•8n的值为　 　 ． 【练习4】（2026春•亭湖区期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为（4a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为a米的正方形区域内种植芍药． （1）求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝2时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【练习5】（2026春•高州市月考）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到的结果是x2+9x+18；乙把a错看成了﹣a，得到的结果是x2+x﹣12． （1）求a，b的值； （2）计算（x+a）（x+b）的正确结果． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：单项式乘以多项式作业2：面积表示作业3：卡片拼图作业4：多项式乘法求系数作业5：面积增加作业6：不含一次项作业7：通道面积作业8：错看问题作业9：因式分解求参数作业10：图形面积等式 ❤ 复习建议 牢记幂的运算法则：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，注意符号和指数运算。 乘法法则要熟练：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，注意符号和合并同类项。 “不含某项”列方程：合并同类项后令该项系数为0，是求参数的常用方法。 图形面积模型：利用面积验证恒等式，体会数形结合思想。 新定义与规律：认真阅读，转化为已学知识，培养归纳推理能力。 【作业1】（2024秋•文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【作业2】（2025秋•中山区期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【作业3】（2026春•雁塔区校级期中）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（3m+2n），宽为（m+3n）的大长方形，那么需要C类卡片　 　 张． 【作业4】（2025秋•黄浦区校级月考）如果x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 【作业5】（2026春•宜兴市期中）如图，某市有一块长为18米，宽为10米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加x米，则广场面积增加了（　　） A．（x2+28x﹣180）平方米 B．（x2+2x）平方米 C．（x2+28x+180）平方米 D．（x2+28x）平方米 【作业6】（2026春•栖霞区期中）如（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 　 ． 【作业7】（2023秋•磐石市期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 【作业8】（2024春•城关区校级期中）小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）式子中的a，b的值各是多少？ （2）请计算出原题的答案． 【作业9】（2024春•单元）如果多项式x2﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？ 【作业10】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $