第23章解直角三角形单元质量检测卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第23章解直角三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 2．已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．如图（见解析），利用锐角三角函数的定义分别求出、、、、，根据边的大小关系进行比较即可得． 【详解】解：如图，在中，，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的斜边长， ∴， 在中，， ∵，， ∴，则选项A错误； ∵，， ∴，则选项B错误； ∵，， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D正确； 故选：D． 3．如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 4．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，勾股定理求出的值，作于点，等积法求出的上，再利用锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：作于点， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 7．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 8．如图，一只正方体箱子沿着斜面向上运动，，箱高米，当米时，点离地面的距离是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，作，过点作于点，先根据角直角三角形的性质得出的长，由平行线的性质得出，再由可得，继而得出，根据正弦的定义得出的长，据此可得出结论．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，作，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵正方体箱子沿着斜面向上运动，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点离地面的距离：（米）． 故选：A． 9．如图，为方便市民休闲，某公园管理处计划对坡角为，坡长为120米的迎坡登山步道进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线的平台．在距离坡角A点30米远的G处是一个信号塔，小明在D点测得信号塔顶部H的俯角为，那么信号塔的高约为多少米？（结果保留一位小数，参考数据：，，，）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形． 过作于，判定，四边形是矩形，得到，由，求出米，得到米，由含30度角的直角三角形的性质得到米，因此（米），得到米，由，求出（米），于是米． 【详解】解：过作于， ， 四边形是矩形， ， 米，是中点， 米， ， ， 米， 米， ， 米， 米， 米， ， ， 米， 米， 故选：C． 10．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． 【答案】 3 【分析】根据多边形的外角即可求出,进而可求出的长度，最后根据面积公式即可求解． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∵, ∴, ∴正方形的面积为：． 12．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 13．如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，余弦的计算，理解图示，掌握余弦的计算方法是关键． 结合角平分线的定义得到，可证，设，则，运用勾股定理得到，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴， 设，则， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 14．如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 15．如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【答案】 【分析】先证得，根据相似三角形的性质得出，，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点在第二象限， ． 16．如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 【答案】9 【分析】根据，得到，根据和正切的概念列出算式，解出算式得到答案 【详解】解：，， ，即． ． ， ，即． 解得． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 18．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）利用线段和差关系求出，利用勾股定理求出，然后得到即可解答． 【详解】（1）解： ， ， 在中， ，， ， ， ． （2）解：，， ， 在中， ， ． 19．如图，在中，，，．求长及的值． 【答案】；． 【分析】本题考查了解直角三角形．根据余弦函数的定义求出，再结合勾股定理即可求得的长；根据正弦函数的定义计算即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∵在中，，，， ∴． 20．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 21．在锐角中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ，，即， ，， ． 22．如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 23．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 24．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第23章解直角三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.已知α为锐角，且 os(a-20)=2 2,则a等于() A.45o B.55° C.60° D.65° 2.己知0°<0<45°，则下列各式中正确的是() A.sino v2 2 B.tan>1 C.sine>cos0 D.sin<tan 3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC,则tan∠AFC的值为( ) G D √5 25 A.2 B.2 c.5 D.5 4.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都是格点，则sinA的值为() ② 7 7 5 A.5 B.25 c.5 D.5 5在发形CD，中DELAR:mA= 5,BE=2则coS∠DBE=（) 试卷第1页（共3页） B E 4 √5 2W5 A.5 B.5 C.2 D.5 (如图，在A4BC中，∠4CB=90,4C=8anAE2,分别以点A?C为圆心大于24C长为半径画 两弧交于点M,N,MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD,CE交于点F,则DF的长度是 () 2W5 4W2 8V2 A.3 B.3 C.3 D.4V2 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E, 则DE的长为() A.2 B.3 C26 D.45 8.如图，一只正方体箱子沿着斜面CD向上运动，∠C=30°，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地 面CE的距离是()米. 试卷第2页（共3页） D E 5 A.2+1 5, B.22 23+4 D. 9.如图，为方便市民休闲，某公园管理处计划对坡角为60°，坡长为120米的迎坡登山步道AB进行改造， 在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE.在距离坡角A点30 米远的G处是一个信号塔，小明在D点测得信号塔顶部H的俯角为15°，那么信号塔GH的高约为多少米？ (结果保留一位小数，参考数据：V5≈1.73，sml15°≈026，cos15°=097，aml5°0,27)（) D A.51.9 B.38.4 C.35.7 D.16.2 10.如图是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为() 1109 2√2 B450 2 2 A.2cos65 B.2sin65 C. c0s65 D. sin65 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E,且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边 形的边长为2，则正方形的面积为 试卷第3页（共3页） 12.如图，AMBC中，anC= ,D是边BC上一点，将AACD沿AD翻折得到AAED,使线段AE、BC 相交于点F,若CF=10,EF=4,则AC=一 D E 13.如图，AB是圆O的直径，点C为左半圆上一点，∠CAB的平分线与圆O交于点D,连接CB交AD DN 5 于点N,若NB5时，则cos∠BAD的值为一 14.如图，小明先将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再将△ABC纸片沿CD方向平移到△EAD处，BC 与AD重合，连接EC.若AB=2,BC=3,则sin∠ACE的值为， 15.如图，点A、B分别在反比例函数 330<0的图5若04108，m1e因 2￥ 则k= 试卷第4页（共3页） B 16.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为 (a=37）,向前行进3米到达B处，从8处看D的御 角为45°（图中各点均在同一平面内，AB、C三点在同一条直线上，CD⊥AC),则建筑物CD的高度 约为. 米（结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） Aa人45° 三、解答题（每题9分，共72分) 17.近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛，某台机器人能轻 松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m,铅直高度BC长4.7m,∠C=90° 该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由， （参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) 18.如图，在等腰三角形ABC中，8=AC-5,sin4- 5,BD1AC,垂足为点D D (1)求AD的长： 试卷第5页（共3页） (2)求cosC的值。 19图。在RA48C中，∠C=90r,1C-2,Qo4-号 =3·求BC长及sinA的值. A 20.计算 a)(2sin30y+cos30°-1， (291an2'30°-23sin60°+V2cos450 21.在锐角AABC中，(amC-v3+2-2sin月=0，求∠A的度数. 22.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若cosB=25 54B=5,BC=3 求∠C的度数及AC的长. 23.我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实.某科研团队研发的人形机器人“小智”， 右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度AB=30cm,前臂长度BC=20cm.如图，“小 智”在工作前，∠ABC=120°，BC与地面平行；工作时，∠AB'C'=135°，AB与地面平行. C FFFFFFFFFFK1777地面 (1)点B与点A在水平方向上的距离为 cm (②求点C与点C在竖直方向上的距离。（结果精确到cm,参考数据： Icm 3≈1.73V2≈1.41) 试卷第6页（共3页） 24.如图，在坡顶的A处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC,某同学沿着坡度为=5：2 的斜坡AP攀行26米到达了点A,点A距建筑物BC底端C为5米，在坡顶A处又测得该建筑物的顶端B 的仰角为76°，求建筑物顶部B到PQ的距离（精确到0.1m).(参考数据：sin76°≈0.97， cos76°≈0.24，tan76°≈4) B 试卷第7页（共3页）