第23章 解直角三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册解直角三角形单元自测卷，以科技（无人机搜救）、文化（《九章算术注》）、生活（测量酒店高度）情境为载体，覆盖三角函数定义、实际测量等核心知识点，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|特殊角三角函数值、解直角三角形基础|第2题通过污渍题考查推理能力| |填空题|4/20|三角函数计算、文化应用|第13题结合《九章算术注》体现文化传承| |解答题|9/90|综合测量（热气球俯角）、方案选择（树高测量）|第22题提供两种测量方案，培养应用意识与创新思维|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 基础通关 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）的值等于（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 3．（本题4分）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分） _________． 12．（本题5分）在中，，，，则的值为________． 13．（本题5分）《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法：，当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算；某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为___________． 14．（本题5分）如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 16．（本题8分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 17．（本题8分）灵宝市紫金宫建国大酒店是金城灵宝的地标性建筑之一，也是灵宝市的一张城市名片，在灵宝的旅游、商务、文化乃至城市形象展示方面都扮演着非常重要的角色．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量灵宝市紫金宫建国大酒店的高度．张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动54米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求紫金宫建国大酒店的高度．（，结果保留整数） 18．（本题8分）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 19．（本题10分）观众坐在春晚现场的位置观看舞台上的大屏幕．从点看屏幕顶端的仰角约为，看屏幕底端的俯角约为点距离屏幕所在墙面的水平距离约为，求舞台上的大屏幕的高度约是多少米？（精确到，参考数据：，，．） 20．（本题10分）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 21．（本题12分）某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，吊臂绕点O逆时针旋转，保持、长度不变，当时，求货物M上升的高度．（参考数据：，，） 22．（本题12分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 23．（本题14分）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 基础通关 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）的值等于（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 3．（本题4分）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分） _________． 12．（本题5分）在中，，，，则的值为________． 13．（本题5分）《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法：，当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算；某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为___________． 14．（本题5分）如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 16．（本题8分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 17．（本题8分）灵宝市紫金宫建国大酒店是金城灵宝的地标性建筑之一，也是灵宝市的一张城市名片，在灵宝的旅游、商务、文化乃至城市形象展示方面都扮演着非常重要的角色．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量灵宝市紫金宫建国大酒店的高度．张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动54米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求紫金宫建国大酒店的高度．（，结果保留整数） 18．（本题8分）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 19．（本题10分）观众坐在春晚现场的位置观看舞台上的大屏幕．从点看屏幕顶端的仰角约为，看屏幕底端的俯角约为点距离屏幕所在墙面的水平距离约为，求舞台上的大屏幕的高度约是多少米？（精确到，参考数据：，，．） 20．（本题10分）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 21．（本题12分）某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，吊臂绕点O逆时针旋转，保持、长度不变，当时，求货物M上升的高度．（参考数据：，，） 22．（本题12分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 23．（本题14分）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章解直角三角形 基础通关 (考试时间：120分钟满分：150分) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B 0 B A B 0 A B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.号12.413.35.114.273， 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：1518每题8分，19-20题每题10分，21-22 题每题12分，23题14分) 15.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠A=60°，c=10, sin∠A=a C 即sin60°=a 109 2×10=55 根据勾股定理，得a2+b2=c2, 即5+b62=10 解得b=5: (2)解：根据勾股定理，得a2+b2=c2, 答案第1页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即85+(8i=c2 解得C=16V5 在R△4BC中，a=85,b=8i5 .tan∠A=a-85_V5 b8153, 则∠A=30°， .∠B=90°-30°=60° 16.【详解】解：：在RIAABC中，∠C=90°，a=2,c=4, 由勾股定理： b=V2-a=√42-22=√16-4=2=25 sind=4=2=1 c42, ∠A=30°， :∠A+∠B=90°， .∠B=90°-30°=60°， 综上，b=25.∠A=30°∠B=60 17.【详解】解：：AB⊥BD, .∠ABD=90°， :,△ABC和△ABD均为直角三角形， 设BC=x米， BD=(x+54)米， ∠ACB=60°，∠ADB=45°， 4B=BD=x+54 AB=BC.tan ZACB=x :x+54=V5 ,解得：x≈73.7米 .BC≈73.77米 答案第2页，共2页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=V3BC≈128 米 ∴.紫金宫建国大酒店的高度AB约为128米. 18.【详解】解：由题意得，∠CAD=45°，∠BAD=55°，AD=60m, ∴CD=AD=60m,BD=AD.tan∠BAD=60×tan55°≈60x1.428=85.68m, ∴.这栋高楼的高为CD+BD=60+85.68=145.68≈145.7m 19.【详解】解：如图， D 在RtoDAE中，∠DAE=45°，AE=10m, .DE=AE.tan45°=10m, 在RIACAE中，∠EAC=15°，AE=10m ∴.EC=AE.tanl5°≈2.7m .DC=DE+EC=10+2.7=12.7m 答：这个大屏幕的高度DC约是12.7m, 20.【详解】解：过点A作AH⊥BE于点H, 37 h50 B 设BE=x, 则BH=x-250,ED=x-180. CE⊥ED,AH⊥BD ∴，∠CED=∠AHD=90°， 答案第3页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC平行于BE, .∠ECA=90°， ∴四边形ACEH是矩形， ∴AH=CE, .BH.tan50°=DE.tan37, 即-250ytan50°=(x-180tan37元 -250x%(c-180 4, 解得：x=1100 3, .DE=x-180= 560 ≈187 3 答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米. 21.【详解】解：∠BM0=90°，∠BOM=30°，BM=3.5米， sin30°=BM OB .OB=BM3.5 sin30057(米)， 旋转后：OB、BM长度不变，即OB=7米，BM=3.5米，∠OBM=37°， 延长BM,交水平线于点N,则BN⊥ON, B 3 M 水平线30°-d M .△BON为直角三角形， .BN=OB.cos37°=7×0.8=5.6（米）， 上升高度为：5.6-3.5=2.1（米）， 答：货物上升的高度为2.1米. 22.【详解】解：“测角仪”方案， AB⊥CF,AB⊥DB,CD⊥DB, 答案第4页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形CDBF是矩形， .CF=DB=10m,BF=CD=1.6m, ∠ACF=32.5° ∴.tan∠ACF= AF ≈0.64 CR ∴.AF=0.64CF=0.64×10=6.4m, .AB=AF+BF=6.4+1.6=8m: “平面镜”方案， AB⊥DB,CD⊥DB,.∠ABE=∠CDE=9O°，∠CED=∠AEB, .△ABE∽△CDE. AB BE AB 10 CDDE,即1.6=2， ..AB=8m 23.【详解】(1)解：依题意，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠D=∠C=90°， :∠AED=45°，∠BEC=30°，AD=CB=1 EC=_BC 1=5 小DE=AD tan∠BEC√ =1 tan AED 3 :.4B=CD=DE+EC=1+V5=1+1.73≈2.8 答：拉皮筋的两个孩子之间AB的距离为2.8米： AF= AD 1 sin∠AED√2 =V2 (2)解：在 中， Rt△ADE 2 BC 在Rt△EBC中，BE= sin∠BEC =2BC=2 :4E+BE-AB=5+2-1+V5)=1+V2-5≈1+1,41-1,73≈0.7 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了07米 答案第5页，共2页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 基础通关 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 2．（本题4分）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于H．利用正弦求得，利用余弦求得，求出，然后求得的值． 【详解】解：如图，过点C作于H． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴污渍部分内容为． 3．（本题4分）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 4．（本题4分）在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（本题4分）白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴白塔的高度为米． 6．（本题4分）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出平分且为中点，从而求出的长和的度数，最后在中利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，为形槽的深，即， 为等腰三角形，为底边上的高 ， ，， 在中，， ， ． 7．（本题4分）如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离与水平距离的比求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离为（米）， ∴斜坡的坡度是． 8．（本题4分）一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 9．（本题4分）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 10．（本题4分）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分） _________． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 12．（本题5分）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 13．（本题5分）《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法：，当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算；某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为___________． 【答案】 35.1 【分析】先根据等边三角形面积公式求出边长的平方，再拆分变形，代入“不加借算”公式计算即可得到结果． 【详解】解：设等边三角形花园的边长为， 等边三角形的高为， ∴等边三角形花园的面积为， ∴， 整理得， ∵，，，，， ∴，此时最小， ∴． 14．（本题5分）如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 【答案】273 【分析】根据特殊三角函数值进行计算与的值，即可求出建筑物A、B之间的距离． 【详解】解：由题意知， ， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ， 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 【答案】(1) ， (2) ，， 【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出； （2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， 即， 解得； （2）解：根据勾股定理，得， 即， 解得． 在中，， ∴， 则， ∴． 16．（本题8分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，， 17．（本题8分）灵宝市紫金宫建国大酒店是金城灵宝的地标性建筑之一，也是灵宝市的一张城市名片，在灵宝的旅游、商务、文化乃至城市形象展示方面都扮演着非常重要的角色．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量灵宝市紫金宫建国大酒店的高度．张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动54米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求紫金宫建国大酒店的高度．（，结果保留整数） 【答案】紫金宫建国大酒店的高度AB约为128米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米，分别解直角和直角三角形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴和均为直角三角形． 设米，则米， ∵，， ∴，． ∴，解得：米 ∴米 ∴米 ∴紫金宫建国大酒店的高度AB约为128米． 18．（本题8分）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 19．（本题10分）观众坐在春晚现场的位置观看舞台上的大屏幕．从点看屏幕顶端的仰角约为，看屏幕底端的俯角约为点距离屏幕所在墙面的水平距离约为，求舞台上的大屏幕的高度约是多少米？（精确到，参考数据：，，．） 【答案】这个大屏幕的高度约是． 【分析】根据三角函数分别求出，再求出即可． 【详解】解：如图， 在中，， ， 在中， ， ． 答：这个大屏幕的高度约是． 20．（本题10分）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 【答案】187米 【分析】过点作于点，设，先证明四边形是矩形，得到后列方程求解，继而求出． 【详解】解：过点作于点， 设， 则，， ， ， 平行于， ， 四边形是矩形， ， ， 即， ， 解得：， ． 答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米． 21．（本题12分）某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，吊臂绕点O逆时针旋转，保持、长度不变，当时，求货物M上升的高度．（参考数据：，，） 【答案】货物上升的高度为米 【分析】先解直角三角形求出米，延长，交水平线于点N，解直角三角形求出，最后求出货物上升的高度即可． 【详解】解：∵，，米， ∴， ∴（米）， 旋转后：、长度不变，即米，米，， 延长，交水平线于点N，则， ∴为直角三角形， ∴（米）， ∴上升高度为：（米）， 答：货物上升的高度为米． 22．（本题12分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】“测角仪”方案：证明四边形是矩形，得到，，解直角三角形求出，计算即可；“平面镜”方案， 证明，利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：“测角仪”方案， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； “平面镜”方案， ，，，， ， ，即， ． 23．（本题14分）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】(1)拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得    的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； （2）解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $