第二十三章 解直角三角形 单元练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级上册“解直角三角形”单元卷，通过基础巩固（如特殊角三角函数计算）、能力提升（如勾股定理应用）、创新应用（如旗杆测量情境）的梯度设计，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊角三角函数值、互余角关系、坐标中三角函数（如第5题P(3,4)求sinα）|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|5/15|sin60°计算、勾股定理（如第14题AB=17,BC=8求AC）|强化基础运算，突出数感| |解答题|5/75|三角函数计算（16题）、勾股定理与三角函数值（17题）、实际测量（18题旗杆高度）、坐标系综合（20题垂直平分线与等腰三角形）|分层设计，从纯运算到实际应用，体现模型意识与推理能力|

第二十三章解直角三角形同步练习 2026—2027学年沪科版九年级上册数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．计算cos 60°的值为 （　　） A． B． C． D． 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sin A=，则 ∠A 的度数为（　　） A. 30°　　　 B. 45°　　　 C. 60°　　　 D. 90° 3．若 ∠A 与 ∠B 互余，则 sin A 与 cos B 的关系是（　　） A. sin A = cos B　　B. sin A + cos B = 1　　C. sin A = −cos B　　D. 无法确定 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B的关系为（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A+∠B=90° C. ∠A+∠B=180° D. 无法确定 5．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（　　） A． B． C． D． 6．小明在水平地面上用测角仪测得某旗杆顶端的仰角为 30°，小明到旗杆底部的水平距离为 30 米，则旗杆的高度约为（　　）（取 ≈1.73） A. 10 米　　 　B. 米　　　 C. 15 米　　 　D. 17.3 米 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则tan A的值为（　　） A. B. C. D. 8．如图，在小正方形组成的网格中，的顶点都是格点（网格线的交点），则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结.当最小时，（　　） A． B．2 C．3 D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．计算：sin 60°=______． 12．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则 sin A=，AC=______． 13．若 ∠A=30°，则 sin A + cos A =＿＿＿＿.（结果保留根号） 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17，BC=8，则AC=＿＿＿＿. 15．如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为　 　. 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．计算： (1) ； (2)． 17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，且 a=6，b=8。 （1）求 c 的长； （2）求 sin A、cos A、tan A 的值． 18．如图是旗杆竖直放置在矩形平台EFMC上的示意图，在某一时刻旗杆AB形成的影子的顶端恰好落在斜坡的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得，，，求旗杆的高度． 19．如图，在中，，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）． （1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长； （2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B C B D B B A 11． 12．12 13． 14．15 15． 16. (1) (2)5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式运算法则计算即可； （2）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数等知识计算即可． 【详解】（1）解：原式=+-2× = （2）解：原式 ． 17. 解：∠C=90°，a=6，b=8。 （1）c== ==10。 （2） 18．解：如图：延长交于点 N，则 又∵ ∴四边形为矩形 ∴， 在中， ∵ 在 中， ∵ ∴ ∴ 答：旗杆的高度为． 【解析】【分析】延长交于点 N，先利用解直角三角形的方法求出，再利用线段的和差求出即可。 19．(1) 证明：∵， ∴； (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． （1）由等角对等边，即可证明； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 20．（1）解：由题意得：OA=4，OB=8， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM=BM， 设AM=x，则BM=x，OM=8-x， Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2， ∴42+（8-x）2=x2， 解得：x=5， ∴AM=5. （2）解：如图，①当AP1=AM=5时，OM=OP1=3，此时P1（-3，0）； ②当AM=P2M=P3M=5时，此时P2（-2，0），P3（8，0）； ③如图，作AM的垂直平分线，交AM于E，交x轴于P4， ∴EM= ， sin∠EP4M= =sin∠OAM= ， ∴P4M= ， ∴OP4= -3= ，此时P4（- ，0）， 综上，△PAM为等腰三角形，点P的坐标是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（- ，0）． 【解析】【分析】（1）由点C的坐标可得矩形AOBC的长和宽，又根据线段垂直平分线的性质可知AM=BM，在Rt△AOM中，由OA=4、AM+OM=8，借助勾股定理建立AM的方程即可求解； （2）分AM作底和作腰两种情况考虑：当AM作腰且A为顶角顶点，此时有AM=AP1；当AM作腰且M为顶角顶点，此时有MA=MP2=MP3，利用等腰三角形三线合一和两腰相等的性质，即可分别求出P1、P2、P3的坐标；当AM作底，此时有P4M=P4A，P4E垂直平分AM，通过解Rt△AOM可得sin∠OAM ，进而解Rt△EP4M可得P4M的长，从而确定P4的坐标，据此即可解答。 学科网（北京）股份有限公司 $