第14章全等三角形单元质量检测卷 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第14章全等三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，点为边的中点，求得，由，得，而，则，即点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：，点为边的中点， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为． 3．如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而证明，再利用三角形全等的性质即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 4．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 共有四对．分别为，，，，从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法逐个寻找即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴共有四对全等三角形． 故选：C． 5．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长点距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处，若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识．过点C作于点E，由题意可知， ，，证明，得，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即小丽在C处时距离地面的高度是， 故选：A． 6．为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，方案1利用得到，得到；方案2利用得到，得到，即可． 【详解】解：方案1：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 方案2：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 故两种方案均可行； 故选C． 7．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 8．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 9．如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 10．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及动点问题的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合动点的运动路程与速度、时间的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设运动时间为秒，则，，， ①若≌， 则，， 即 解得； ②若≌， 则，， 即 解得 故或． 故选：C ． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得 ，，利用三角形内角和定理求出 的度数，进而得到 的度数，最后根据角的和差关系求解． 【详解】解：， ，， 在 中，， ， ， ， ． 12．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则______． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 13．如图，，，若，，则的度数为________． 【答案】/40度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理．利用定理证明，得出，，再由直角三角形两锐角互余的性质得出的度数，最后通过三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 14．如图，在中，为的中线，延长至E，使，若，，，则______．（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，延长到H，使得，连接，证明得到，；再证明，得到，则，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 15．已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 16．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； （2）解：如图所示，线段即为所求． 的面积． 18．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 19．如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 21．如图，，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ， 与均为直角三角形， 在和中： ， ， ． 【分析】先利用，等式两边同时加，推导出，再结合已知，通过HL证明，由全等三角形对应边相等即可证得． 【详解】略 22．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】 证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】略 23．在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 24．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第14章全等三角形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.下列图形中，是全等图形的是() A.a,b,c,d B.a与b C.b,c,d D.a与c 2.如图，在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=14cm,CD>AB,∠B=∠C,点E为AB边的中点， 点P在BC边上由点B向点C运动，同时点Q在CD边上由点C向点D运动，连接PE、PO.当 △BPE≌ACOP 时，点运动的路程为() P A.6cm B 8cm C.9cm D 10cm 3.如图，为测量旗杆AB的高度，李林在地面上选取一点C,使得BC=2米，并测得∠ACB=76°，随后， 在点C处竖立一根高为2米的竹竿CD,在地面上的点E处测得∠DEC=14°，并用皮尺量得CE=8米.己 知AB⊥BE,DC⊥BE,点B、C、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆AB的高度 为() A.8m B.6m c.12m D.10m 4.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,连接AO,则图 试卷第1页（共3页） 中的全等三角形一共有() A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m,O点距地面高度2.5m, 摆动水平距离BD为l1.6m,然后向后摆到最高点C处，若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成 90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是() D A.0.9m B.1.3m c.1.6m D.2m 6.为了测量水池两边A,B间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案.对于方案1,2，说法正确的 是() 方案1 方案2 B B E D E ①过点A作射线AE ①在水池外取AB的垂线BF上的点C, ②过点B作BD⊥AE于点D D,使得BC=CD ③在AD的延长线上截取DC,使得 ②再作BF的垂线DE,使点E,A,C DC=AD 在同一条直线上 ④测量BC的长即可. ③测量DE的长即可. A.方案1可行、方案2不可行 B.方案1不可行、方案2可行 C.方案1、2都可行 D.方案1、2都不可行 7.如图，△PBC的面积为3cm2,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,连接BP,则△ABC的面积为 试卷第2页（共3页） () B A.3 B.4 c.5 D.6 8.在锐角三角形ABC中AB=5,△ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若M、N分别是 BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为() D M A.10 B.6 C.12 D.9 9.如图，在△ABC中，D是BC的中点，AB=5,AC=3,则AD的取值范围是() D A.2<AD<4 B.1<AD<4 C.1<AD<7 D.1<AD<8 10.如图，在△ABC中，AB=AC=16厘米，BC=12厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以 2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为v 厘米/秒，则当△BPD与△CP9全等时，运动速度v为()厘米/秒 B 试卷第3页（共3页） 8 8 .8 A.3 B.3或3 C.2或3 D.3 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，△A0B≌aCOD,OB⊥0C,∠B=35°，∠C=40°，则∠B0D=° 12.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE=DC,AC=BE,若BD=4, 则AD= 13.如图，BE⊥AC,CF⊥AB,若BE=CF,∠EBC=20°，则∠A的度数为 C 14.如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长BC至E,使EC=AB,若AE=2AD,∠E=a°， ∠EAD=b°，则∠ACB=°.（用含a,b的式子表示） D 15.已知三角形的两边长为m和，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生 数 (1)若m=2,n=3,则伴生数为 (2)若m=7,n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是 16.如图，△ABC顶点在同一平面直角坐标系下，A点的坐标 3,4).B点的坐标为 ,9)AB=BC、 试卷第4页（共3页） AB⊥BC,则点C的坐标为— 0 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A,B,C均在格点上，请按要 求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母。 B 图1 图2 (I)如图1，在网格内找一点P,使得△PCB≌△ABC,作出△PBC(P与A不重合). (2)如图2，作AC边上的中线BD,并求出△BDC的面积. 18.如图，点C,D在线段BE上，且BD=EC,AB=FE,AC=FD.试说明：∠B=∠E. 19.如图，△ADF≌aBCE,∠B=40°，∠F=22°. E D C (1)求∠1的度数： (2)若AB=30,AC=18,求CD的长， 20.如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AB的延长线上，AE=AC,连接DE. 试卷第5页（共3页） D B (I)求证：△ACD≌△AED (2)已知AC=3,AB=2,则BE的长为 21.如图，∠ACB=9O°，∠DCA=∠ECB,AB=DE,BC=EC.求证：AC=DC. A D 22.【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，AD是△ABC的中线，AB>AC,求证： ∠DAC>∠BAD B D 图1 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与己学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问： 题目所涉及的∠DAC和∠BAD并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强 同学由“AD是△ABC的中线”想到了一种思路：如图2，延长AD至E,使DE=AD,连接BE,得到 △BDE,易证△ACD≌△BDE,这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一 个三角形中两个角的大小关系.请根据小强同学的思路写出证明∠DAC>∠BAD的完整过程， 图2 23.在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形△ABC和△AEF创作几何艺术装置.其中AB=AC, AE=AF,∠CAB=∠EAF,BE交FC于O点.请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 试卷第6页（共3页） E (图1) (图2) (1)直角风格的装置 如图l,当∠CAB=90时，求证：BE=CF,BE⊥CF; (2)六十度风格的装置 如图2，当∠CAB=60°时，求∠BOC的度数： (3)猜想：任意顶角的装置 当LCAB=a时(0°<a<90),∠B0C的度数为： 一（直接用含的式子表示） 24.如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架AD⊥BC,垂足为点O,DE=DF, AD平分∠EDF,这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB=OC)，从而平稳飞行. E D 图① 图② (1)请说明这样设计的理由： (2)要给骨架贴上布面，连接BD、CD,若风筝主骨架AD的长为40cm,BC=50cm,则需要的布料面 积（即四边形ABDC的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 试卷第7页（共3页）